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Heute sehen wir uns das erste konkrete Beispiel zur Vektorrechnung an. Wir besprechen hier wie wir ein Dreieck mittels Vektoren beschreiben und die Hypotenuse aus den beiden Katheten berechnen können. Damit wenden wir erstmals die zuletzt besprochenen Regeln der Vektorrechnung auf ein konkretes Beispiel an. Zum Schluss begegnet uns sogar eine altbekannte Regel für spezielle Dreiecke – nämlich der Satz von Pythagoras.

Wir haben in den letzten Wochen darüber gesprochen, dass wir in der technischen Mechanik die Vektorrechnung sehr dringend benötigen. Heute wollen wir uns das erste konkrete Beispiel zur Vektorrechnung ansehen.

Als erstes Beispiel zur Vektorrechnung, wollen wir uns ein allgemeines Dreieck ansehen, so wie es hier aufgezeichnet ist. Das Dreieck ist gegeben durch die Vektoren A, B und C. Zwischen A und B haben wir einen Winkel Alpha.
Die erste Frage ist nun, wie berechnet sich die Seite C als Funktion der anderen beiden Seiten A und B?
Zweite Frage: Wie sieht der allgemeine Zusammenhang aus zwischen den Betragsquadraten all dieser Vektoren?
Und die dritte Frage: der spezielle Zusammenhang zwischen den Betragsquadraten, für den Fall, dass dieser Winkel Alpha hier Pi halbe ist.

Erste Frage
Schauen wir uns das Ganze also konkret an. Wir wissen, wir können einen Vektor C, der hier an der Basis von B beginnt und bis an die Spitze von A reicht, einfach als Vektoraddition dieser beiden Vektoren B und A aufschreiben.
Das ist auch schon die Antwort auf die Frage A, nämlich die Seite C Vektor als Funktion von A und B ist nichts anderes als die Summe der beiden Vektoren A und B.
Erste Frage beantwortet.

Zweite Frage
Wie sieht der Zusammenhang für die Betragsquadrate aus? Hier können wir uns zunutze machen, dass wir ja bereits den Zusammenhang kennen und hier einfach auf beiden Seiten das gleiche durchführen dürfen. Es handelt sich ja auch um eine Gleichung. Nämlich Betrag von C Quadrat auf der linken Seite das Betragsquadrat einführen.
Und genau das gleiche auf der rechten Seite.

Hier allerdings bitte aufpassen. Wir müssen natürlich das Ganze wie eine Klammer behandeln und Betrag von A plus B und davon das Quadrat ausführen.
Das heißt, wir wissen aus unserer theoretischen Behandlung der Vektoren, dass das Quadrat eines Vektors gleichbedeutend ist mit dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.
Nachdem wir jetzt hier eine Summe von Vektoren haben, können wir also das Skalarprodukt A plus B skalar mit noch einmal A plus B anschreiben.
Genau analog zum Quadrieren einer Klammer aus zwei Zahlen, wo wir auch Klammer mal Klammer rechnen dürfen. Jetzt müssen wir diese Skalarprodukt ausmultiplizieren.
Und das funktioniert auch hier mit der Klammerregel: erster Term mal erster Term, erster Termin mal zweiter, zweiter mal erster zweiter mal zweiter.
All diese Produkte müssen wir einfach anschreiben.
Das heißt, wir landen bei einem A skalar in A. Erster mit dem ersten Term. Plus A skalar in B. Erster mit dem zweiten Term. Plus B skalar in A, zweiter mit dem ersten und B skalar in B, zweiter mit dem zweiten Term.
Dann können wir das Ganze wieder entsprechend zusammenfassen. Wir haben ja hier A skalar in A und wissen, das ist A Betragsquadrat.
Wir haben hinten B skalar in B ist B Betragsquadrat. Und wir haben so etwas wie einen Mischterm, wo wir aber wissen beim Skalarprodukt gilt Kommutativität. Das heißt, wir können A mal B gleichsetzen mit B mal A bzw. hier B mal A umdrehen auf A mal B und haben dann diesen Mischterm einfach zwei Mal.
Das heißt, wir erhalten A Betragsquadrat plus B Vektor Betragsquadrat, plus zweimal Skalarprodukt A in B.

Und das ist genau das, was auch aus der Quadrierung einer Klammer aus zwei Termen bekannt sein sollte. Klammer klein a plus klein b als einfache Variablen keine Vektoren, sondern Skalare quadriert gibt ja genau das gleiche: a Quadrat plus b Quadrat plus zwei a mal b, und auch das erhalten wir hier für Vektoren.
Zweite Frage beantwortet. Das ist der allgemeine Zusammenhang zwischen den Betragsquadraten der Vektoren.

Dritte Frage
Führt auf einen auch sehr bekannten Spezialfall hinaus. Nämlich was passiert, wenn dieser Winkel Alpha hier zwischen den beiden Vektoren A und B Pi halbe ist. Ist gleich Alpha 90 Grad übersetzt in die Grad-Schreibweise.
Hier ist es ja so, dass der Vektor A dann normal auf B steht.
Wenn das hier ein rechter Winkel ist, und damit gilt, wenn wir uns zurückerinnern an das Skalarprodukt aus zwei Vektoren, die normal aufeinander stehen, dass dieses Skalarprodukt verschwinden muss, dass A skalar in B für diesen Fall also den Nullvektor ergibt.
Und damit können wir aus dem allgemeinen Zusammenhang b) oben feststellen, dass A plus B Vektor Quadrat, gleich erster Term A Quadrat plus B Quadrat plus zweimal Nullvektor – also dieser Mischterm hier verschwindet.
Und damit haben wir A Vektor Quadrat plus B Vektor Quadrat.
Und das ist vielleicht bekannt. Das ist nämlich der berühmte Satz von Pythagoras. Auch diesen können wir natürlich vektoriell hinschreiben.

Und damit haben wir uns hier ein erstes Mal überlegt, wie wir die Rechenregeln, die wir in der Theorie schon besprochen haben, auf konkrete Beispiele anwenden können.

Wenn es dazu Fragen gibt, dann stell die Frage bitte gerne in den Kommentaren. Ich schau mir wie immer alles durch und beantworte alles.
Und ich freue mich, wenn du beim nächsten Mal wieder dabei bist.

Bis dann,
Markus

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