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In unserem dritten Beispiel zur Vektorrechnung geht es darum den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, wenn die beiden Vektoren bekannt sind. Wir nutzen dazu die Definition des Skalarprodukts. Sehen wir uns also genauer an wie das funktioniert.

Theorie
Wir haben in der Theorie zu den Vektoren auch diskutiert, dass wir aus dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können. Genau das wollen wir uns heute anschauen. Wir wollen uns also ansehen, wie wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können. Das ist insbesondere interessant, wenn wir den Winkel wissen wollen, den eine Kraft- resultierende beispielsweise mit einer Koordinatenachse einschließt. Auch das werden wir uns dann in konkreten technischen Mechanik Beispielen noch genauer ansehen. Hier aber wollen wir es erst einmal allgemein diskutieren.

Rechenweg über das Skalarprodukt
Wir haben also zwei Vektoren A und B gegeben, mit Zahlenwerten, also ganz konkrete Vektoren, und möchten den Winkel zwischen diesen beiden bestimmen. Wie machen wir das? Wer sich nicht erinnert, noch einmal zurück geschaut auf das Vektorrechnung Theorievideo, nämlich aus dem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt war ja in seiner Definition: A skalar in B ist gleich Betrag von A mal Betrag von B mal Cosinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren. Ich nenne ihn hier einfach Gamma.

Skalarprodukt berechnen
Was müssen wir also bestimmen? Wir müssen zuerst einmal bestimmen, das Skalarprodukt A skalar in B, also die linke Seite unserer Gleichung. Das lautet, gleich als Zeilenvektor angeschrieben, 3, 6, 9 skalar in minus 2, 3 und 1. Wir wissen, beim Skalarprodukt müssen wir einfach nur die erste Komponente mit der ersten Komponente multiplizieren. Zweite mit der Zweiten usw. Wir können das ganze natürlich auch anschreiben als Spaltenvektor 3 6 9. skalar minus 2, 3, 1. Je nachdem, wie es angenehmer und praktischer ist. Und landen hier dann insgesamt bei einem 3 Mal minus 2, also minus 6, 6 mal 3, also 18. Und 9 mal 1, also 9. Addiert ergibt sich ein Skalarprodukt von 21. Wir haben hier keine Einheiten. Wir werden dann später auch noch über Einheiten diskutieren und wie wichtig die für die technische Mechanik sind. Hier aber im Allgemeinen haben wir jetzt keine Einheiten gegeben. Sind also einfach nur Zahlen. Die Zahl 21 ist das Ergebnis des Skalarprodukts A mit B.

Beträge der Vektoren berechnen
Und dann brauchen wir natürlich noch die rechte Seite, nämlich den Betrag von A und den Betrag von B. Der Betrag von A, auch hier zurückerinnert an das Theorie Video, errechnet sich aus dem dreidimensionalen Satz von Pythagoras, den wir diskutiert haben, also einfach die Wurzel aller Komponenten quadriert und die Summe aus diesen Komponenten. 3 Quadrat plus 6 Quadrat plus 9 Quadrat. Und die Wurzel daraus ist also der Betrag von A. Hier ergibt sich Wurzel 126. Ich lasse es jetzt als Wurzel stehen. Wir werden gleich sehen, warum. Das gleiche für den Vektor B. Auch hier Wurzel aller Komponenten quadriert: minus 2 Quadrat plus 3 Quadrat plus 1 Quadrat Wurzel daraus. Hier als Nebenbemerkung: minus 2 Quadrat könnten wir auch gleich als 2 Quadrat schreiben, weil ja das negative Vorzeichen durch das Quadrieren wegfällt. Hier aber der Vollständigkeit halber noch hinzugefügt. Werde ich nicht immer machen. Hier ist es einfach noch dabei. Und das ergibt dann die Wurzel 14. Wir brauchen jetzt insgesamt das Produkt aus diesen beiden Beträgen, nämlich Produkt A Betrag mit B Betrag. Und hier ergibt sich eine Wurzel 126 mal Wurzel 14. Natürlich lassen sich die beiden Wurzel zusammenführen und hier eine Wurzel 126 mal 14 schreiben. Und wenn wir das ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen, landen wir bei einem schönen Ergebnis, aus dem man auch die Wurzel ziehen kann, nämlich 42.

Einsetzen
Und damit können wir jetzt in unsere Formel hier oben für das Skalarprodukt hineingehen, umformen auf Cosinus Gamma und können damit den Winkel Gamma bestimmen. Ich habe sie Gleichung (1) genannt, also aus der Gleichung (1) umgeformt auf Cosinus Gamma haben wir dann skalar A in B dividiert durch die Beträge der beiden Vektoren A und B Produkt daraus. Die haben wir berechnet. Wir haben hier noch einmal markiert, einmal 21 und einmal 42 als Skalarprodukt und als Produkt der Beträge. Wir haben also 21 dividiert durch 42, das ist ein Halb und der Cosinus von ein halb ist, wie vielleicht bekannt ist. Und wenn der Cosinus eines Winkels ein Halb ist, wie vielleicht bekannt ist, dann ist der Winkel Gamma 60 Grad. Wir haben also über das Skalarprodukt sehr einfach den Winkel Gamma bestimmt. Natürlich sind das hier sehr schöne Zahlenwerte, das wird nicht immer so schön aussehen, aber es funktioniert immer genau analog zu dem, wie es hier gezeigt wurde.

Ich hoffe das war verständlich erklärt. Wenn es Fragen gibt wie immer, bitte gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und ich beantworte sie natürlich. Ich freue mich, dass du wieder dabei warst und ich freue mich auch, dich beim nächsten Beitrafg wieder zu sehen.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus

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