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In diesem Beitrag besprechen wir wie das Volumen eines sogenannten Parallelepipeds (Körper aus drei Vektoren) bestimmt werden kann. Dabei wenden wir das im Theorievideo zur Vektorrechnung bereits diskutierte Spatprodukt an.

Einleitung
Wir haben jetzt bereits das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt an konkreten Beispielen diskutiert und uns auch überlegt, wie wir einen Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts berechnen können. Heute wollen wir uns anschauen, wie wir mit dem Spatprodukt das Volumen eines Körpers berechnen können.

Aufgabenstellung
Wir bestimmen heute das Volumen eines Körpers. Ein Körper aus Vektoren, nämlich den Vektoren A, B und C, hier auch mit konkreten Längeneinheiten, nämlich Millimeter. Und ein solcher Körper allgemein wird Parallelepiped genannt. Lass dich aber nicht von diesem eher komplizierten Wort abschrecken. Das ist einfach nur ein beliebiger Körper aus drei Vektoren. Wie sieht das Ganze aus? Zeichnen wir es uns am besten einmal auf. Wir haben einen Vektor A, den ich hier als Höhe verwende. Wir haben einen Vektor B. Ich strichliere gleich, weil dieser hier hinten liegen wird, dann im Körper. Und wir haben einen Vektor C als zweite Grundflächenseite. Wir können das Ganze dann, so wie wir das in der Theorie diskutiert haben, hier verbinden und erhalten ein mehr oder weniger schönes Parallelepiped. Also einen Körper, der aus diesen drei Vektoren aufgespannt wird.

Volumen berechnen
Wie berechnen wir jetzt das Volumen dieses Parallelepipeds? Ganz einfach, wie in der Theorie diskutiert aus dem Spatprodukt. Das Spatprodukt ist ja Vektor A ist unsere Höhe skalar multipliziert auf das Kreuzprodukt von B und C und dieses Kreuzprodukt B mit C ist unsere Grundfläche. Wir haben also hier die Grundfläche. Die ich hier markiere und wir haben unsere Höhe – Vektor A. Damit können wir einfach dieses Produkt ausführen und erhalten sofort das Volumen des Körpers. Und ich erinnere auch noch einmal zurück: Es macht hier keinen Unterschied, ob wir die Grundfläche aus B und C bilden und A als Höhe annehmen oder die Grundfläche aus B und A bilden und C als Höhe und so weiter. Das ist gleichbedeutend mit der Eigenschaft des Produkts, dass wir nämlich hier zyklisch unsere Einträge vertauschen dürfen. Wer sich das noch einmal anschauen möchte, bitte einfach ins Theorievideo schauen, das ich verlinkt habe. Wie schaut dieses Produkt also aus? Wir haben Volumen A, der Vektor A gleich als Spaltenvektor ist eins null null aus der Angabe abgeschrieben skalar in das Kreuz Produkt als Determinante wieder angeschrieben e1, e2, e3. Und unser Vektor B ist 0, 1, 1 und unser Vektor C ist 0, 2, 4. Einfacher angeschaut haben wir hier also einen Vektor A, der nur den Eintrag in x Richtung besitzt und damit hier rauf multipliziert wird. Auf diese Einheitsvektoren. Das heißt, wir landen bei einem 1, 0, 0, weil wir nur den ersten Einheitsvektor aus dem Skalarprodukt herausnehmen. 0, 1, 1 und 0, 2, 4 entsprechend abgeschrieben. Und dann wissen wir vielleicht aus der Determinantenberechnung aus der Mathematik, dass wir hier diese Subdeterminante aus 1, 1, 2, 4 berechnen können. Mit diesem Kofaktor 1 hier oben, und bei einem einmal 1, 1, 2, 4 Determinante landen. Und damit das Ganze recht einfach ausrechnen können, weil wir nur einmal 4 und 2 mal 1 in der Determinante stehen haben. Nämlich hier konkret einmal vier ist vier, minus zwei mal eins ist zwei. Und das Ganze mit dem Einser von oben noch multipliziert, müsste man genauer gesagt machen. Macht aber mit eins natürlich keinen Unterschied. Damit gleich weggelassen und vier minus zwei ist zwei.

Physikalische Einheit
Das ganze waren Millimeter. Wir haben in der Höhe einmal Millimeter und jeweils aus dem Kreuzprodukt noch einmal Millimeter mal Millimeter, also Quadratmillimeter aus dieser Determinante hier. Und einmal Millimeter aus dem Eins, das draufmultipliziert wird, also insgesamt Millimeter zur dritten. Und das ist genau die Einheit, die ein Volumen braucht. Unser Volumen ist also hier konkret zwei Kubikmillimeter. Und damit haben wir auch bereits das Volumen dieses Parallelepipeds bestimmt.

Schlussbemerkungen
Natürlich lässt sich auch zuerst das Kreuzprodukt, aus diesen beiden Grundflächenvektoren bestimmen und erst anschließend das Skalarprodukt drauf multiplizieren. Hier ist es aber einfacher es so zu machen wie gezeigt, weil wir eben nur einen Eintrag in unserer Höhe haben, nämlich eins und das sofort zu einer Vereinfachung des Produkts in der Determinante führt. Bitte aber wie immer einfach gerne auf die eigene Art nachrechnen und schauen, ob es stimmt. Wenn irgendwelche Diskrepanzen auftreten oder sonstige Fragen, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und die Diskrepanzen aufzeigen, dann können wir das durchdiskutieren. Vielen Dank fürs Dabeisein heute. Ich hoffe, es hat dir etwas gebracht und ich freue mich, wenn wir uns beim nächsten Beitrag wiedersehen.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus

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