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Hast du dich auch schon einmal gefragt wozu wir Vektoren in der Mechanik brauchen? Wieso schreiben wir Kräfte als Vektoren an, wenn wir doch auch Komponentenweise arbeiten können? Ist es dann überhaupt sinnvoll mit Vektoren zu arbeiten? Diese und weitere Fragen werde ich in diesem Beispiel versuchen zu beantworten.

Es geht um folgendes dreidimensionales Statikproblem:

Ein Mast wird von zwei Seilen BC und BD gehalten. Am Punkt B greifen die Kräfte F1 und F2 an. Bestimme unter der Voraussetzung, dass der Mast von einem Kugelgelenk am Fuß gehalten wird, die Komponenten der Lagerkraft in A. Die Kräfte F1 und F2 liegen in einer horizontalen Ebene.

Geg.: F1=140kN, F2=75kN, a=10m, b=5m, c=15m, α=30°

Quelle: Aufgabe 5.89 (S. 296) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Wie fast immer, beginnen wir auch hier mit einem Freikörperbild um einen Überblick über die am Mast angreifenden Kräfte zu bekommen. Dann schreiben wir die Koordinaten der Punkte B, C und D an und können damit sehr einfach die Ortsvektoren und mit deren Betrag auch die Einheitsvektoren entlang der Seile aufstellen. In einem abschließenden Schritt können dann alle Kraftvektoren angeschrieben werden.
Da wir uns in der Statik befinden, müssen natürlich die Kraft- und Momentensummen verschwinden. Das gilt selbstverständlich auch für die vektoriellen Summen. Hier muss sich der Nullvektor ergeben. Wir können also alle drei Kraftrichtungen in eine vektorielle Bilanz zusammenfassen. Analoges gilt für die Momentenbilanz. Die einzelnen Momente berechnen wir dann natürlich mit dem Kreuzprodukt zwischen Abstandsvektoren und Kraftvektoren. Damit bekommen wir am Ende ein System aus fünf unabhängigen Gleichungen, welches wir auflösen und die fünf Unbekannten bestimmen können. Wir finden außerdem heraus, dass es sich beim Mast um einen sogenannten Zweikraftstab handelt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß beim Nachvollziehen der einzelnen Schritte.


Wenn Fragen oder Unklarheiten auftauchen, freue ich mich jederzeit auf eure Kommentare – entweder hier oder direkt auf YouTube.

Bis bald,
Markus

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