{"id":1465,"date":"2022-08-01T21:19:23","date_gmt":"2022-08-01T19:19:23","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=1465"},"modified":"2022-08-01T21:19:23","modified_gmt":"2022-08-01T19:19:23","slug":"lagrange-doppelpendel-an-federaufhaengung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/08\/01\/lagrange-doppelpendel-an-federaufhaengung\/","title":{"rendered":"Lagrange: Doppelpendel an Federaufh\u00e4ngung"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir sehen uns hier einen Klassiker der Lagrange-Mechanik, n\u00e4mlich das mathematische Doppelpendel, mit einer vertikal federnden Aufh\u00e4ngung an. Das ist auch insofern ein gutes Beispiel f\u00fcr Lagrange-Mechanik, als es sich um insgesamt drei Freiheitsgrade handelt.  <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Ein mathematisches Doppelpendel ist mittels einer Feder am Koordinatenursprung aufgeh\u00e4ngt. Die Pendelmassen seien jeweils m und die Pendell\u00e4ngen l. Die Federkonstante betrage c und die Feder sei in der Position r = r0 vollkommen entspannt. <\/p><p>Ermittle f\u00fcr dieses System: <br>(a) die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. <br>(b) die Lagrange Funktion L. <br>(c) die Bewegungsgleichungen in allen generalisierten Koordinaten. <br>(d) die Periodendauer T des Systems, wenn die Pendelwinkel durch ein technisches Gebrechen pl\u00f6tzlich fixiert werden, d.h. \u03c6 = \u03c60 = const. und \u03c8 = \u03c80 = const.<\/p><\/blockquote>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"585\" height=\"676\" data-attachment-id=\"1466\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/08\/01\/lagrange-doppelpendel-an-federaufhaengung\/lagrange_2013_12_11\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/lagrange_2013_12_11.jpg?fit=585%2C676&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"585,676\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;Carina&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;1386150413&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"lagrange_2013_12_11\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-medium-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/lagrange_2013_12_11.jpg?fit=260%2C300&amp;ssl=1\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/lagrange_2013_12_11.jpg?fit=585%2C676&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/lagrange_2013_12_11.jpg?resize=585%2C676&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-1466\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/lagrange_2013_12_11.jpg?w=585&amp;ssl=1 585w, https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/lagrange_2013_12_11.jpg?resize=260%2C300&amp;ssl=1 260w\" sizes=\"auto, (max-width: 585px) 100vw, 585px\" \/><\/figure>\n<\/div><\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Lagrange-L14.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Einbettung von Einbettung von Lagrange-L14..\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\" href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Lagrange-L14.pdf\">Lagrange-L14<\/a><a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/Lagrange-L14.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\">Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir ben\u00f6tigen zu Beginn wieder die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System um die Energien aufstellen zu k\u00f6nnen. Die Koordinaten des Aufh\u00e4ngepunktes sind nicht notwendig, obwohl sich dieser nat\u00fcrlich bewegt. Allerdings hat er in dieser Idealisierung keine Masse und damit auch keine Energie und tr\u00e4gt damit auch nichts zur Lagrangefunktion bei. Anschlie\u00dfend k\u00f6nnen wir kinetische und potentielle Energie des Systems, sowie die Lagrangefunktion berechnen. Damit lassen sich \u00fcber die Euler-Lagrange-Gleichungen drei gekoppelte Bewegungsgleichungen f\u00fcr die beiden Pendelwinkel und die Federauslenkung ableiten. Als Spezialfall betrachten wir dann noch die Bewegung f\u00fcr die Federauslenkung r wenn die beiden Pendelwinkel fixiert werden. Dabei handelt es sich dann direkt um eine Linearisierung und wir k\u00f6nnen Eigenkreisfrequenz und Periodendauer bestimmt werden. Alle Details inkl. weiterer Diskussionen gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spa\u00df dabei!<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ZqdkgFlt8Cc?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Unterst\u00fctzt bitte auch meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und meines YouTube Kanals. Falls ihr es noch nicht getan habt, helft ihr au\u00dferdem mit einem Abo des Blogs und des Kanals. Das kostet schlie\u00dflich nichts. Vielen Dank!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Viel Spa\u00df mit dem Beispiel und bis bald,<br>Markus <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! Wir sehen uns hier einen Klassiker der Lagrange-Mechanik, n\u00e4mlich das mathematische Doppelpendel, mit einer vertikal federnden Aufh\u00e4ngung an. Das ist auch insofern ein gutes Beispiel f\u00fcr Lagrange-Mechanik, als es sich um insgesamt drei Freiheitsgrade handelt. Ein mathematisches Doppelpendel ist mittels einer Feder am Koordinatenursprung aufgeh\u00e4ngt. Die Pendelmassen seien jeweils m und die Pendell\u00e4ngen &hellip; <a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/08\/01\/lagrange-doppelpendel-an-federaufhaengung\/\" class=\"more-link\"><span class=\"screen-reader-text\">Lagrange: Doppelpendel an Federaufh\u00e4ngung<\/span> weiterlesen<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":110396568,"featured_media":567,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_coblocks_attr":"","_coblocks_dimensions":"","_coblocks_responsive_height":"","_coblocks_accordion_ie_support":"","_crdt_document":"","advanced_seo_description":"","jetpack_seo_html_title":"","jetpack_seo_noindex":false,"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"_wpas_customize_per_network":false},"categories":[2602546,1145536,622180],"tags":[215312177,750913301,727444334,727444333,25466,2245662,12237,750913297,14741952,350894,166867,807373,22094049,911145,750913296,727444335,662707,7091101,720191,1213491,143003,1984752,10126,67765249,727444336,27746161,161115,2411,1121513,727213064,2722],"class_list":["post-1465","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-ubungsaufgaben","category-dynamik","category-lagrange","tag-aufgabensammlung-technische-mechanik","tag-ubungsaufgaben","tag-ubungsaufgaben-mechanik","tag-ubungsbeispiele-mechanik","tag-beispiel","tag-beschleunigung","tag-dynamics","tag-dynamik","tag-einfach-erklart","tag-grundlagen","tag-hochschule","tag-ingenieur","tag-kinetische-energie","tag-klausur","tag-lagrange","tag-lagrange-mechanik","tag-maschinenbau","tag-maschinenbauingenieur","tag-mechanik","tag-nachhilfe","tag-newton","tag-pendel","tag-physik","tag-physik-grundlagen","tag-physik-verstandlich","tag-potentielle-energie","tag-screencast","tag-studium","tag-technische-mechanik","tag-technische-mechanik-1","tag-uni"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/wordpress-thumbnail-lagrange-512-x-512-px.png?fit=512%2C512&ssl=1","jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p7UJuu-nD","jetpack-related-posts":[],"amp_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1465","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/110396568"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1465"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1465\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1470,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1465\/revisions\/1470"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media\/567"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1465"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1465"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1465"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}