{"id":1762,"date":"2022-11-03T17:00:00","date_gmt":"2022-11-03T16:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=1762"},"modified":"2022-11-02T17:40:14","modified_gmt":"2022-11-02T16:40:14","slug":"lagrange-dynamik-eines-hochgeworfenen-seils","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/11\/03\/lagrange-dynamik-eines-hochgeworfenen-seils\/","title":{"rendered":"Lagrange: Dynamik eines hochgeworfenen Seils"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ein sehr interessantes &#8211; und oft in der analytischen Mechanik anzutreffendes &#8211; Beispiel ist jenes, das wir uns in diesem Beitrag genauer ansehen wollen. <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ein Seil der L\u00e4nge l wird senkrecht in die Luft geworfen. Es sei voll beweglich, sodass der Knick frei \u00fcber das Seil laufen kann. Die Seilmasse pro L\u00e4ngeneinheit sei \u03c1. Die Kr\u00fcmmung der Knickstelle ist als vernachl\u00e4ssigbar anzusehen, d.h. die relevante Bewegung findet nur in x-Richtung statt. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ges.: <br>*Finde geeignete generalisierte Koordinaten und stelle die Lagrangefunktion des Systems auf. <br>*Leite die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten her. <br>*Wie verh\u00e4lt sich die Geschwindigkeit der Knickstelle, wenn diese das Seilende erreicht?<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"512\" height=\"650\" data-attachment-id=\"1763\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/11\/03\/lagrange-dynamik-eines-hochgeworfenen-seils\/lagrange_2014_01_15\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/lagrange_2014_01_15.jpg?fit=512%2C650&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"512,650\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"lagrange_2014_01_15\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/lagrange_2014_01_15.jpg?fit=512%2C650&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/lagrange_2014_01_15.jpg?resize=512%2C650&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-1763\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/lagrange_2014_01_15.jpg?w=512&amp;ssl=1 512w, https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/lagrange_2014_01_15.jpg?resize=236%2C300&amp;ssl=1 236w\" sizes=\"auto, (max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><\/figure>\n<\/div><\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Angabe gibt es wie \u00fcblich als Download, damit du dir das Beispiel in Ruhe selbst ansehen kannst.<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Lagrange-L15.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Einbettung von Lagrange-L15.\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\" href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Lagrange-L15.pdf\">Lagrange-L15<\/a><a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Lagrange-L15.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\">Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Auch hier braucht es zu Beginn einen Ansatz f\u00fcr die generalisierten Koordinaten bzw. die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilst\u00fccke des Seils. Dabei hilft uns wieder eine Zwangsbedingung, n\u00e4mlich jene konstanter Seill\u00e4nge. Dann erhalten wir aus den Koordinaten durch Zeitableitung wieder die Geschwindigkeiten der Seilschwerpunkte. Vorsicht ist hier beim Aufstellen der Energien geboten. Nachdem die Knickstelle des Seils ja wandern soll, muss auch die Masse der Teilst\u00fccke sich ver\u00e4ndern. Wir haben es also erstmals mit einer zeitabh\u00e4ngigen Masse in der kinetischen Energie zu tun. Diese l\u00e4sst sich allerdings mit der gegebenen Seilmasse pro L\u00e4ngeneinheit relativ einfach aufstellen. \u00c4hnlich gehen wir bei der potentiellen Energie vor, sodass wir schlie\u00dflich die Lagrangefunktion anschreiben k\u00f6nnen. Im n\u00e4chsten Schritt bestimmen wir die Bewegungsgleichungen der Seilenden und k\u00f6nnen daraus schlie\u00dflich eine geschlossene Differentialgleichung bauen. Dann wollen wir aber auch noch wissen, wie sich die Geschwindigkeit der Knickstelle verh\u00e4lt. Durch kluge Substitution finden wir eine sehr einfache Differentialgleichung die sich mit ein wenig Aufwand l\u00f6sen l\u00e4sst. Schlie\u00dflich erhalten wir eine sehr einfach Gleichung f\u00fcr die Geschwindigkeit der Knickstelle. Daran ist abzulesen was passiert, wenn wir ein Seilende erreichen. Allerdings m\u00f6chte ich das hier noch nicht verraten, sondern die Spannung ein wenig aufrecht erhalten. Um das Ph\u00e4nomen zu erfahren das wir hier mathematisch abgeleitet haben, musst du dir schon das Video ansehen. Viel Spa\u00df damit!<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/xdzagjVeBeY?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Unterst\u00fctze bitte meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und meines YouTube Kanals. Falls du es noch nicht getan hast, verhilfst du mir au\u00dferdem mit einem Abo zu mehr Sichtbarkeit. Vielen Dank vorab!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Viel Spa\u00df mit diesem etwas aufw\u00e4ndigeren Beispiel und bis bald,<br>Markus <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! Ein sehr interessantes &#8211; und oft in der analytischen Mechanik anzutreffendes &#8211; Beispiel ist jenes, das wir uns in diesem Beitrag genauer ansehen wollen. Ein Seil der L\u00e4nge l wird senkrecht in die Luft geworfen. Es sei voll beweglich, sodass der Knick frei \u00fcber das Seil laufen kann. 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