{"id":394,"date":"2021-12-09T10:20:27","date_gmt":"2021-12-09T09:20:27","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=394"},"modified":"2021-12-09T10:21:25","modified_gmt":"2021-12-09T09:21:25","slug":"lagrange-massen-auf-doppelkeil","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2021\/12\/09\/lagrange-massen-auf-doppelkeil\/","title":{"rendered":"Lagrange: Massen auf Doppelkeil"},"content":{"rendered":"\n

Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n

Im heutigen Beispiel geht es um die Bewegung zweier Massen auf einem Doppelkeil, die mit einem Seil verbunden sind. Hier berechnen wir auch ausnahmsweise eine Kraft im Rahmen der Lagrange-Mechanik. <\/p>\n\n\n\n

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Zwei Massen m1 und m2 bewegen sich unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei auf einem Keil. Sie seien durch einen masselosen Faden der L\u00e4nge l = r1 + r2 miteinander verbunden. <\/p>

Ges.:
*Formulieren Sie die Zwangsbedingungen. Von welchem Typ sind diese? Wie viele Freiheitsgrade s besitzt das System?
*W\u00e4hlen Sie passende generalisierte Koordinaten. Geben Sie die Transformationsformeln an.
*Formulieren Sie die Lagrange-Funktion.
*Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und l\u00f6sen Sie diese unter Ber\u00fccksichtigung der Randbedingungen r1 (t=0) = r0 und v1(t=0) = 0. Stellen Sie au\u00dferdem die Gleichgewichtsbedingung f\u00fcr das System auf.
*Benutzen Sie die Zwangsbedingung der konstanten Fadenl\u00e4nge nicht als holonome Zwangsbedingung zur Eliminierung von Variablen. Benutzen Sie stattdessen einen Lagrange’schen Multiplikator \u03bb zur Festlegung der Fadenkraft. Wie gro\u00df ist diese im Gleichgewicht?<\/p>Aufgabe 1.2.11 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Bd.2, Analytische Mechanik, 4. verb. Auflage, 1999, Vieweg+Teubner, Wiesbaden<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Die Angabe gibt es auch hier wieder als Download inkl. Endergebnissen. Ihr k\u00f6nnt also auch dieses Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterl\u00f6sung vergleichen. <\/p>\n\n\n\n

lagrange-l05<\/a>Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n

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In diesem Beispiel zur Lagrange-Mechanik sehen wir uns im Detail an, was Zwangsbedingungen eigentlich sind und wie diese aufgestellt werden. Dann w\u00e4hlen wir anhand dieser Diskussion geeignete generalisierte Koordinaten und stellen wie \u00fcblich kinetische und potentielle Energie sowie die Lagrange-Funktion auf. Die Bewegungsgleichung (in diesem Fall ist es nur eine) bestimmen wir aus der Euler-Lagrange-Gleichung und l\u00f6sen diese dann auch um das Bewegungs-Zeit-Gesetz zu bestimmen. Dann \u00fcberlegen wir uns wie das allgemeine Gleichgewicht im System aussehen wird. Am Ende bestimmen wir auch noch die Fadenkraft mithilfe eines sogenannten Lagrange-Multiplikators, also unter zu Hilfenahme einer Zwangskraft. Wie diese Rechnung Schritt-f\u00fcr-Schritt funktioniert erkl\u00e4re ich euch wieder im angeh\u00e4ngten YouTube Video.<\/p>\n\n\n\n

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