{"id":524,"date":"2021-12-23T12:02:20","date_gmt":"2021-12-23T11:02:20","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=524"},"modified":"2021-12-23T12:02:20","modified_gmt":"2021-12-23T11:02:20","slug":"notation-in-der-technischen-mechanik-skalar-vektor-matrix-tensor","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2021\/12\/23\/notation-in-der-technischen-mechanik-skalar-vektor-matrix-tensor\/","title":{"rendered":"Notation in der Technischen Mechanik (Skalar, Vektor, Matrix, Tensor)"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Mathematik ist die Sprache der technischen Mechanik und die Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil davon. Wir sehen uns in diesem Beitrag an wie wir Vektoren zeitsparend anschreiben k\u00f6nnen und sto\u00dfen dabei auf die sogenannte Tensornotation. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Au\u00dferdem diskutieren wir was ein Vektor \u00fcberhaupt ist, was es mit Koordinatensystemen und Einheitsvektoren auf sich hat und wie wir die Komponenten eines Vektors in einem Koordinatensystem bestimmen k\u00f6nnen. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Schlie\u00dflich besprechen wir auch noch wie der Betrag eines Vektors in der ebene und auch im Raum bestimmt werden kann. Nat\u00fcrlich gibt es noch zahlreiche weitere M\u00f6glichkeiten mit Vektoren zu rechnen. Diese schauen wir uns dann in den folgenden Beitr\u00e4gen zur Vektorrechnung an und erarbeiten uns damit die mathematische Basis f\u00fcr die technische Mechanik.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/nS7ld3gcrwA?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Du hast vielleicht im Urlaub schon einmal mit jemandem gesprochen, der nicht deine eigene Sprache spricht. Hat das gut funktioniert? Vielleicht kann man sich mit Englisch behelfen, wenn beide Englisch k\u00f6nnen. Aber besser w\u00e4re es doch, wenn beide dieselbe Sprache sprechen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und genau das gleiche gilt f\u00fcr die technische Mechanik. Die Sprache der technischen Mechanik ist die Mathematik. Und ein sehr wichtiger Teil der Mathematik, den wir insbesondere zu Beginn der technischen Mechanik brauchen, ist die Vektorrechnung.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Wie schreiben wir einen Vektor eigentlich auf? <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Insbesondere in der technischen Mechanik haben wir eine Notation, die vielleicht ein bisschen davon abweicht, was du gewohnt bist. Es geht darum, dass wir verschiedene Gr\u00f6\u00dfen haben. Wir k\u00f6nnen Skalare haben, wir k\u00f6nnen Vektoren haben, wir k\u00f6nnen Matrizen haben und wir wollen all diese Gr\u00f6\u00dfen in eine gemeinsame Notation zusammenfassen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir beginnen also bei Null, n\u00e4mlich bei einem Skalar. <br>Wir haben auch in der Mechanik skalare Gr\u00f6\u00dfen, n\u00e4mlich Masse, L\u00e4nge, Fl\u00e4cheninhalte, Volumina und so weiter. Alle skalaren Gr\u00f6\u00dfen haben gemeinsam, dass sie als Zahl ausdr\u00fcckbar sind. Wir fassen das alles was wir jetzt besprechen zusammen in die sogenannte Tensornotation. Wir haben hier bei den Skalaren sogenannte Tensoren 0. Stufe. Deswegen auch vorher der Hinweis: Wir beginnen bei Null &#8211; Tensor 0.Stufe. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir haben aber nicht nur Skalare, sondern wir haben nat\u00fcrlich auch Vektoren in der<br>technischen Mechanik. Also z.B. einen Kraftvektor, einen Momentenvektor, einen Abstandsvektor r, aber auch in der Dynamik, einen Geschwindigkeitsvektor oder einen Beschleunigungsvektor. Und so weiter. Bei den Vektoren wissen wir, diese haben Betrag und Richtung und nat\u00fcrlich eine Wirkungslinie. Wir besprechen das dann gleich im Detail. <br>Wir k\u00f6nnen einen Vektor also in Komponenten ausdr\u00fccken. Und der Vektor ist ein Tensor erster Stufe.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und dann gibt es in der Mechanik nat\u00fcrlich auch noch Gr\u00f6\u00dfen wie Spannungen, Dehnungen. Und die werden als Matrix entsprechend angeschrieben. N\u00e4mlich, eine Dehnungsmatrix, Dehnungstensor Epsilon Spannungstensor, Spannungsmatrix Sigma. Und so weiter. Und die nennen wir Tensoren zweiter Stufe. Hier haben wir jetzt sozusagen ein Gebilde, das sowohl Spalten als auch Zeilen enth\u00e4lt. Eine Matrix, wie du sie kennst. Also zwei Dimensionen sozusagen. Und deswegen Tensor zweiter Stufe.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und jetzt wird hoffentlich auch die Notation klar. Wir verwenden n\u00e4mlich hier am Kanal insbesondere, aber auch oft in der technischen Mechanik im Allgemeinen eine Notation, die genau die Stufe des Tensors widerspiegelt. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir haben: nullte Stufe. Keinen Unterstrich.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir haben: erste Stufe. Ein Unterstrich.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und wir haben: zweite Stufe. Zwei Unterstriche.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"712\" height=\"445\" data-attachment-id=\"550\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/vektoren-1-2\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/vektoren-1-edited.png?fit=4913%2C3074&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"4913,3074\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"vektoren-1\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/vektoren-1-edited.png?fit=712%2C445&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/vektoren-1-edited.png?resize=712%2C445&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-550\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Damit ersparen wir uns, dass wir unterschiedlich notieren, ob etwas ein Vektor ist oder eine Matrix mit z.B. diesem Dach-Symbol, wie es oft in der Physik zu finden ist oder irgendetwas Fettdrucken. Wir haben einfach ein Unterstrich Vektor, zwei Unterstriche Matrix und so weiter.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und dieses und so weiter gibt es in der technischen Mechanik auch, n\u00e4mlich<br>einen mit vier Unterstrichen. Ein Tensor vierter Stufe. Das ist der bekannte E-Modul Tensor. Der E-Modul Tensor bzw. der E-Modul wird uns dann sp\u00e4ter noch begegnen, wenn wir \u00fcber das Hooke&#8217;sche Gesetz sprechen. Lineare Elastizit\u00e4t. Du kennst das Ganze vielleicht in der<br>einfachsten Form, n\u00e4mlich als zwei skalare Werte: E-Modul als Zahlenwert und Querkontraktionszahl n\u00fc als zweiten Zahlenwert, um das linear elastische Materialverhalten zu beschreiben. In dieser Notation als Tensor hat der E-Modul Tensor im Allgemeinen 81 Komponenten. Man braucht zwar nie diese 81 Komponenten, weil auch Symmetrien auftreten, aber es gibt im Allgemeinen 81 Eintr\u00e4ge in diesem vierstufigen Tensor. Dazu aber sp\u00e4ter mehr.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Was ist ein Vektor eigentlich?<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nachdem wir jetzt wissen, wie wir einen Vektor aufschreiben, wollen wir uns<br>\u00fcberlegen, was ein Vektor eigentlich ist. Und ich gehe davon aus, dass die meisten<br>schon Vektoren gesehen haben, wissen, wie man einen Vektor im Grunde hinschreibt,<br>dass er Komponenten hat usw. Wir wollen uns das Ganze aber trotzdem im Detail noch einmal anschauen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>Was ist also ein Vektor?<\/em> <br>Ein <strong>Vektor<\/strong> ist ein Objekt, das eine <strong>Wirkungslinie<\/strong> besitzt. Ein Stift beispielsweise hat eine Wirkungslinie. Einen <strong>Betrag<\/strong>. Beginn und Ende des Stifts. Und er hat eine <strong>Richtung<\/strong>, in die er zeigt. Diese drei Gr\u00f6\u00dfen definieren unseren Vektor &#8211; Stift.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wenn wir uns das genauer aufzeichnen, dann h\u00e4tten wir also hier eine Wirkungslinie und auf dieser Wirkungslinie liegt unser Vektor. Wir nennen den Vektor F. Kraftvektor. Der Vektor hat jetzt hier einen Beginn. Und ein Ende. <strong>Beginn<\/strong> und <strong>Ende<\/strong> nennen wir <strong>Schaft<\/strong> und <strong>Spitze<\/strong>. Das wird sp\u00e4ter noch interessant werden, wenn wir ausrechnen, wie ein Vektor eigentlich aussieht. Aus zwei Punkten beispielsweise. Und dann hat der Vektor nat\u00fcrlich die Richtung, n\u00e4mlich die Richtung, in die er mit seinem Kopf, mit dem Pfeil des Vektors zeigt. Hier in unserem Fall nach rechts oben. Und er hat einen Betrag, n\u00e4mlich den Abstand zwischen seinem Schaft und seiner Spitze.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"712\" height=\"445\" data-attachment-id=\"553\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/vektoren-2-2\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/vektoren-2-edited.png?fit=4913%2C3074&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"4913,3074\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"vektoren-2\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/vektoren-2-edited.png?fit=712%2C445&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2021\/12\/vektoren-2-edited.png?resize=712%2C445&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-553\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Jetzt k\u00f6nnen wir den Vektor in Komponenten zerlegen. N\u00e4mlich beispielsweise in eine horizontale Komponente. In dem wir hier ein Dreieck einzeichnen. Fx. Und in eine vertikale Komponente Fy. Jetzt habe ich hier stillschweigend vorausgesetzt, dass es bereits ein Koordinatensystem gibt, n\u00e4mlich x in horizontale und y in vertikale Richtung. Auch das zeichnen wir uns hier noch ein. x und y. Und wir bezeichnen dann in der Mechanik oft diese beiden Richtungen als ex und ey. Durch den Einheitsvektor. e bezeichnet den Einheitsvektor.<br>ex Einheitsvektor in x Richtung. Einheitsvektor hei\u00dft, der Vektor beschreibt die Richtung und hat die L\u00e4nge eins.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wozu ist das gut?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir k\u00f6nnen damit auf unseren Einheitsvektor projizieren, indem wir n\u00e4mlich sagen Fx<br>ist der Betrag unseres Vektors in x-Richtung multipliziert mit dem Einheitsvektor ex. Und das gleiche nat\u00fcrlich f\u00fcr unsere y Komponente. Und wir k\u00f6nnen damit, weil es manchmal einfach praktischer ist, Betr\u00e4ge und Richtungen voneinander getrennt hinschreiben. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Betrag eines Vektors in der Ebene (2D)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wie kommen wir jetzt in diesem Beispiel hier zur L\u00e4nge? Zum Betrag unseres Vektors F.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dazu nutzen wir den <strong>Satz von Pythagoras<\/strong>. Wir k\u00f6nnen ja unseren Vektor F darstellen durch diese beiden Komponenten in x und y Richtung.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir k\u00f6nnen diese beiden Komponenten, wenn wir ein bisschen aufpassen, auch hier einfach als Dreieck anlegen. Aufpassen muss man insbesondere bei der Momentenwirkung von Fy hier, dass man sich nicht selbst in die Irre f\u00fchrt. Aber abgesehen davon, f\u00fcr diese Konstruktion d\u00fcrfen wir das. Wir haben also dann ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel hier. Und damit gilt der Satz von Pythagoras, der ja lautet: F Quadrat &#8211; Hypotenuse ist gleich Quadrat der einen Kathete plus Quadrat der anderen Kathete. Und daraus l\u00e4sst sich F ist gleich Wurzel aus Fx Quadrat plus Fy Quadrat anschreiben.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wenn wir jetzt noch ber\u00fccksichtigen, dass die Quadrate nat\u00fcrlich zu positiven Ergebnissen f\u00fchren, dann m\u00fcssen wir hier auch noch Betrag von F schreiben. Unter Ber\u00fccksichtigung, dass wir die Einheitsvektoren ex und ey herausziehen d\u00fcrfen, reicht es uns hier nat\u00fcrlich aus, nur die L\u00e4ngen von Fx und Fy zu quadrieren. Wir k\u00f6nnen also genauso schreiben. Unser Betrag von F ist die Wurzel aus dem Betrag von Fx zum Quadrat und dem Betrag von Fy zum Quadrat. Nur deren L\u00e4nge. Die Einheitsvektoren werden ja jeweils eins, wenn man sie quadriert. Das ist in der Ebene der Satz von Pythagoras. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Betrag eines Vektors im Raum (3D)<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Das Ganze funktioniert aber auch als Erweiterung auf drei Dimensionen. Wir k\u00f6nnen uns n\u00e4mlich ein Koordinatensystem in drei Dimensionen aufzeichnen mit x, y und z, indem hier ein Vektor liegt. Beispielsweise so: F Vektor und das Ganze dann projizieren auf die Achsen. Wir haben hier nat\u00fcrlich eine z-Achse und damit hier hinten Fz. Und wir k\u00f6nnen in diese Ebene herunter in die x-y-Ebene projizieren und dann weiter auf die einzelnen Achsen und bekommen hier einen Beitrag Fx und einen Beitrag Fy. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und dann l\u00e4sst sich <strong>Pythagoras auf drei Dimensionen simpel erweitern<\/strong>, indem wir einfach die dritte, n\u00e4mlich die z-Komponente mit reinnehmen in unsere Wurzel als quadrierten Wert.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Und damit gilt auch hier, dass der Betrag unseres Vektors F die Wurzel sein muss. Fx Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Und gleiches Argument wie zuvor: Die Einheitsvektoren fallen aus dem Quadrat heraus. Sie liefern jeweils nur eins. Wir k\u00f6nnen also mit den Betr\u00e4gen arbeiten und dann hier den Betrag von F bestimmen aus der Wurzel Fx L\u00e4nge Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Jeweils ohne Vektor. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ausblick auf weitere Beitr\u00e4ge<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Das sind die zwei wesentlichen Ergebnisse, wenn es um die Berechnung des<br>Betrags eines Vektors geht. Die sollte man im Hinterkopf behalten und sich noch einmal durch\u00fcberlegen, wie das Ganze funktioniert.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Welche anderen M\u00f6glichkeiten es jetzt gibt, mit Vektoren zu rechnen, zu addieren, Produkte zu bilden, das ist nat\u00fcrlich f\u00fcr die technische Mechanik genauso wichtig und das werden wir uns im n\u00e4chsten Video dann genauer anschauen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wenn du zu diesem Beitrag hier Fragen hast, dann stelle die Fragen bitte<br>einfach in die Kommentare (hier oder auf YouTube). Ich werde alles so schnell<br>wie m\u00f6glich beantworten. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hat euch dieser Inhalt gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Abonniert auch unbedingt den Kanal um kein Video mehr zu verpassen und erz\u00e4hlt gerne euren Freund*innen und Kolleg*innen von meinem Angebot. Vielen Dank!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ich hoffe, wir sehen uns beim n\u00e4chsten Beitrag! <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis bald,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! 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