{"id":627,"date":"2022-01-17T11:00:00","date_gmt":"2022-01-17T10:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=627"},"modified":"2022-01-17T09:02:56","modified_gmt":"2022-01-17T08:02:56","slug":"volumen-eines-korpers-aus-drei-vektoren-parallelepiped","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/01\/17\/volumen-eines-korpers-aus-drei-vektoren-parallelepiped\/","title":{"rendered":"Volumen eines K\u00f6rpers aus drei Vektoren &#8211; Parallelepiped"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In diesem Beitrag besprechen wir wie das Volumen eines sogenannten Parallelepipeds (K\u00f6rper aus drei Vektoren) bestimmt werden kann. Dabei wenden wir das im Theorievideo zur Vektorrechnung bereits diskutierte Spatprodukt an.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SZktYj0yK-c?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Einleitung<\/strong><br>Wir haben jetzt bereits das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt an konkreten Beispielen diskutiert und uns auch \u00fcberlegt, wie wir einen Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts berechnen k\u00f6nnen. Heute wollen wir uns anschauen, wie wir mit dem Spatprodukt das Volumen eines K\u00f6rpers berechnen k\u00f6nnen. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Aufgabenstellung<\/strong><br>Wir bestimmen heute das Volumen eines K\u00f6rpers. Ein K\u00f6rper aus Vektoren, n\u00e4mlich den Vektoren A, B und C, hier auch mit konkreten L\u00e4ngeneinheiten, n\u00e4mlich Millimeter. Und ein solcher K\u00f6rper allgemein wird Parallelepiped genannt. Lass dich aber nicht von diesem eher komplizierten Wort abschrecken. Das ist einfach nur ein beliebiger K\u00f6rper aus drei Vektoren. Wie sieht das Ganze aus? Zeichnen wir es uns am besten einmal auf. Wir haben einen Vektor A, den ich hier als H\u00f6he verwende. Wir haben einen Vektor B. Ich strichliere gleich, weil dieser hier hinten liegen wird, dann im K\u00f6rper. Und wir haben einen Vektor C als zweite Grundfl\u00e4chenseite. Wir k\u00f6nnen das Ganze dann, so wie wir das in der Theorie diskutiert haben, hier verbinden und erhalten ein mehr oder weniger sch\u00f6nes Parallelepiped. Also einen K\u00f6rper, der aus diesen drei Vektoren aufgespannt wird. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Volumen berechnen<\/strong><br>Wie berechnen wir jetzt das Volumen dieses Parallelepipeds? Ganz einfach, wie in der Theorie diskutiert aus dem Spatprodukt. Das Spatprodukt ist ja Vektor A ist unsere H\u00f6he skalar multipliziert auf das Kreuzprodukt von B und C und dieses Kreuzprodukt B mit C ist unsere Grundfl\u00e4che. Wir haben also hier die Grundfl\u00e4che. Die ich hier markiere und wir haben unsere H\u00f6he &#8211; Vektor A. Damit k\u00f6nnen wir einfach dieses Produkt ausf\u00fchren und erhalten sofort das Volumen des K\u00f6rpers. Und ich erinnere auch noch einmal zur\u00fcck: Es macht hier keinen Unterschied, ob wir die Grundfl\u00e4che aus B und C bilden und A als H\u00f6he annehmen oder die Grundfl\u00e4che aus B und A bilden und C als H\u00f6he und so weiter. Das ist gleichbedeutend mit der Eigenschaft des Produkts, dass wir n\u00e4mlich hier zyklisch unsere Eintr\u00e4ge vertauschen d\u00fcrfen. Wer sich das noch einmal anschauen m\u00f6chte, bitte einfach ins Theorievideo schauen, das ich verlinkt habe. Wie schaut dieses Produkt also aus? Wir haben Volumen A, der Vektor A gleich als Spaltenvektor ist eins null null aus der Angabe abgeschrieben skalar in das Kreuz Produkt als Determinante wieder angeschrieben e1, e2, e3. Und unser Vektor B ist 0, 1, 1 und unser Vektor C ist 0, 2, 4. Einfacher angeschaut haben wir hier also einen Vektor A, der nur den Eintrag in x Richtung besitzt und damit hier rauf multipliziert wird. Auf diese Einheitsvektoren. Das hei\u00dft, wir landen bei einem 1, 0, 0, weil wir nur den ersten Einheitsvektor aus dem Skalarprodukt herausnehmen. 0, 1, 1 und 0, 2, 4 entsprechend abgeschrieben. Und dann wissen wir vielleicht aus der Determinantenberechnung aus der Mathematik, dass wir hier diese Subdeterminante aus 1, 1, 2, 4 berechnen k\u00f6nnen. Mit diesem Kofaktor 1 hier oben, und bei einem einmal 1, 1, 2, 4 Determinante landen. Und damit das Ganze recht einfach ausrechnen k\u00f6nnen, weil wir nur einmal 4 und 2 mal 1 in der Determinante stehen haben. N\u00e4mlich hier konkret einmal vier ist vier, minus zwei mal eins ist zwei. Und das Ganze mit dem Einser von oben noch multipliziert, m\u00fcsste man genauer gesagt machen. Macht aber mit eins nat\u00fcrlich keinen Unterschied. Damit gleich weggelassen und vier minus zwei ist zwei. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Physikalische Einheit<\/strong><br>Das ganze waren Millimeter. Wir haben in der H\u00f6he einmal Millimeter und jeweils aus dem Kreuzprodukt noch einmal Millimeter mal Millimeter, also Quadratmillimeter aus dieser Determinante hier. Und einmal Millimeter aus dem Eins, das draufmultipliziert wird, also insgesamt Millimeter zur dritten. Und das ist genau die Einheit, die ein Volumen braucht. Unser Volumen ist also hier konkret zwei Kubikmillimeter. Und damit haben wir auch bereits das Volumen dieses Parallelepipeds bestimmt. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Schlussbemerkungen<\/strong><br>Nat\u00fcrlich l\u00e4sst sich auch zuerst das Kreuzprodukt, aus diesen beiden Grundfl\u00e4chenvektoren bestimmen und erst anschlie\u00dfend das Skalarprodukt drauf multiplizieren. Hier ist es aber einfacher es so zu machen wie gezeigt, weil wir eben nur einen Eintrag in unserer H\u00f6he haben, n\u00e4mlich eins und das sofort zu einer Vereinfachung des Produkts in der Determinante f\u00fchrt. Bitte aber wie immer einfach gerne auf die eigene Art nachrechnen und schauen, ob es stimmt. Wenn irgendwelche Diskrepanzen auftreten oder sonstige Fragen, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und die Diskrepanzen aufzeigen, dann k\u00f6nnen wir das durchdiskutieren. Vielen Dank f\u00fcrs Dabeisein heute. Ich hoffe, es hat dir etwas gebracht und ich freue mich, wenn wir uns beim n\u00e4chsten Beitrag wiedersehen.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis dahin alles Gute und bis bald,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! 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