{"id":634,"date":"2022-01-24T16:00:00","date_gmt":"2022-01-24T15:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=634"},"modified":"2022-01-24T15:41:22","modified_gmt":"2022-01-24T14:41:22","slug":"ableitung-von-vektoren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/01\/24\/ableitung-von-vektoren\/","title":{"rendered":"Ableitung von Vektoren"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Im heutigen Beitrag sehen wir uns an wie ein Vektor abgeleitet werden kann.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/smckCIapn0Q?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Einleitung<\/strong><br>Ab einem gewissen Punkt in der technischen Mechanik spielen auch Ableitung und Integration von Vektoren eine gewisse Rolle. Wir wollen uns also in den letzten Beispielen zur Vektorrechnung noch ansehen, wie wir einen Vektor ableiten, wie wir ein Vektorfeld ableiten und wie wir einen Vektor integrieren k\u00f6nnen. Heute geht es darum, Vektoren abzuleiten. Wie das konkret funktioniert, das sehen wir uns gleich an. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Beispielangabe<\/strong><br>Das Ableiten von Vektoren funktioniert im Grunde genau gleich wie das Ableiten von Funktionen, mit dem einzigen Unterschied, dass wir auch noch Komponenten des Vektors beibehalten. Wir wollen uns das an dem gegebenen Beispiel hier ansehen. Wir haben n\u00e4mlich einen Vektor A, der von der Zeit abh\u00e4ngt, und wir haben einen Vektor B, der von der Zeit abh\u00e4ngt. Und wir m\u00f6chten gerne die totalen Ableitungen der beiden Vektoren bestimmen und dann auch die Ableitung des Skalarprodukts dieser beiden Vektoren. Das funktioniert, wie wir sehen werden, sehr einfach. Wenn wir wissen, wie Polynome abzuleiten sind, und das sollte ja in der Regel kein gro\u00dfes Problem sein. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ableitung von A<\/strong><br>Schauen wir uns also einmal den Vektor A an. Die Zeitableitung von A. dA als Funktion der Zeit nach der Zeit abgeleitet ist. Die Zeitableitung des Vektors abgeschrieben. 5 t in 1 Richtung + 8 t Quadrat in 2 Richtung minus 6 t in drei Richtungen bzw. analog einfach als Spaltenvektor angeschrieben, je nach Belieben. Und das hei\u00dft, wir machen einfach die Ableitung der einzelnen Richtungen 1, 2 und 3 und landen also wieder bei einem Vektor, sinnvollerweise. 5 t abgeleitet ergibt 5 e1. 8 t Quadrat abgeleitet wir wissen t Quadrat abgeleitet gibt zweimal t zweimal 8 ist 16, also 16 t in die 2 Richtung und minus sechs t abgeleitet ergibt entsprechend minus 6 in die 3 Richtung. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ableitung von B<\/strong><br>Genau das gleiche f\u00fcr den Vektor B. dB von t nach dt ist demnach dt unseres Vektors B von oben abgeschrieben. Minus 3 t der dritten in 1 Richtung +2 t Quadrat in 2 Richtung minus 10 t in 3 Richtung. Auch hier wieder jede einzelne Komponente entsprechend abgeleitet minus 3 t der dritten t der dritten abgeleitet ist dreimal t Quadrat dreimal drei ist neun, also minus 9 t Quadrat in eins Richtung Plus hier kommt 2 herunter; 4 t in 2 Richtung und minus 10 in 3 Richtung. Das t abgeleitet wird zu eins. Auch hier wieder die beiden Vektoren. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ableitung des Skalarprodukts<\/strong><br>Dann f\u00fchren wir die Ableitung der Skalarprodukts aus. Dazu m\u00fcssen wir nat\u00fcrlich zuerst das Skalarprodukt durchf\u00fchren A in B skalar und davon dann die Ableitung. Wir machen uns zunutze, dass die beiden Vektoren bereits oben in der Klammer stehen, machen also das Skalarprodukt aus diesen jeweiligen Komponenten hier. Wir sehen also, wir haben f\u00fcnf t mal minus drei t der dritten ist jeweils die 1-Einrichtung. Skalar f\u00e4llt nat\u00fcrlich dann die 1-Einrichtung weg, also minus 15 und t mal t der dritten t der vierten plus 16 t der vierten aus acht t Quadrat, zwei t Quadrat und 60 t Quadrat aus minus sechs t Mal minus 10 t. Davon wieder die Ableitung gebildet ergibt dann minus 60 t der Dritten aus dem ersten Term plus 64 t der Dritten aus dem zweiten Term plus 120 t aus dem dritten Term. Und dann entsprechend die t der Dritten zusammengefasst ergibt 4 t der Dritten plus 120 t. Das sind unsere drei Ergebnisse. Die Ableitungen der Einzelvektoren und die Ableitung des Skalarprodukts. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wenn es Fragen dazu gibt, biete gerne die Fragen jederzeit stellen und ich hoffe, das Video hat dir weitergeholfen und wir sehen uns beim n\u00e4chsten Video wieder.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis dahin alles Gute,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! 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