{"id":638,"date":"2022-01-27T10:07:46","date_gmt":"2022-01-27T09:07:46","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=638"},"modified":"2022-01-27T10:07:46","modified_gmt":"2022-01-27T09:07:46","slug":"ableitung-eines-vektorfeldes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/01\/27\/ableitung-eines-vektorfeldes\/","title":{"rendered":"Ableitung eines Vektorfeldes"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Diesmal besprechen wir was es mit Vektorfeldern auf sich hat und wie wir diese ableiten k\u00f6nnen. Felder haben eine wichtige Bedeutung in der Technischen Mechanik beispielsweise in der Elastizit\u00e4tstheorie. Daher ist es auch wichtig zu wissen was Felder sind und wie wir sie behandeln m\u00fcssen.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mcoQIFKRXhw?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Einleitung<\/strong><br>Wie wir Ableitungen von Vektoren bilden, haben wir uns im letzten Beitrag angesehen. Heute wollen wir einen Schritt weitergehen und uns ansehen, wie wir eine Ableitung von einem Vektorfeld durchf\u00fchren k\u00f6nnen.  <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Beispielerkl\u00e4rung<\/strong><br>Konkret haben wir es hier mit einem Vektorfeld A zu tun und einem Skalarfeld Psi. Was Felder genau sind, werden wir dann bei den Materialgesetzen noch diskutieren. Nur kurz als Teaser: Ein Feld ist ein Vektor, der an jeder Stelle im Raum eine andere Orientierung haben kann. Also im Allgemeinen ein Vektor der hier von den Raumkoordinaten abh\u00e4ngt. Beim Skalarfeld ist es genau das gleiche, nur dass dieses eben kein Vektor ist, sondern nur ein Skalar, aber eine andere Gr\u00f6\u00dfe hat, je nachdem wo im Raum wir uns befinden. Wir wollen also hier von diesen beiden Feldern die konkrete Ableitung hier bestimmen, n\u00e4mlich die zweite gemischte Ableitung nach Ypsilon und z. Von dem Produkt Skalarfeld mal Vektorfeld. Und zwar wollen wir das Ganze dann auch in einem speziellen Punkt machen. Vorerst aber einmal einfach allgemein. Wie sieht das Ganze konkret aus? <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Berechnung der Ableitung<\/strong><br>Das Ergebnis wird, wenn wir uns das genauer ansehen, ein Vektor werden und ich nenne diesen Vektor K. Wir bestimmen also den Vektor K als zweite gemischte Ableitung dy dz vom Produkt Psi Skalarfeld mit dem Vektorfeld A. Am Ende wollen wir das Ganze auch noch in einem bestimmten Punkt ausrechnen, n\u00e4mlich im Punkt P eins, zwei und eins. Wie machen wir das? Wir schreiben einfach hin: K ist als Vektor dann nichts anderes als diese gemischte Ableitung, d zwei dy dz vom Produkt Psi mit A. Das Produkt Psi mit A ist einfach dieses Psi auf jede Komponente von A drauf multipliziert. So wie wir das in der Theorie diskutiert haben. Das hei\u00dft, wir bekommen hier 6 x^4, ein x kommt vom Psi. Ypsilon ebenfalls der vierten. Hier haben wir y quadrat im Psi, mal z auch aus dem Psi. Das ist die x Komponente und analog f\u00fcr y und z einfach die Komponenten von Psi dazu multipliziert. Also x, y^4, z^2 in y-Richtung und minus x^2 y^2, z^3 in z-Richtung. Das ist einmal unser Produkt. Und davon m\u00fcssen wir jetzt die gemischte Ableitung bilden. Wir leiten dazu einmal zuerst nach dem z ab und machen dann die y-Ableitung nachfolgend. Das hei\u00dft, wir haben hier 6 x^4 y^4. z wird eins, weil wir nach z ableiten plus 2 x y^4 z vom z Quadrat in y Richtung und minus 3 x^2 y^2 z^2 in z-Richtung. Erste Ableitung. Zweite Ableitung: Nach dem y landen wir bei 24 x^4 y^3 in x-Richtung, plus 8 y^3 z in y Richtung und minus 6 x^2 y z^2 in z-Richtung. Das ist unser allgemeiner Vektor K. Die allgemeine Ableitung und w\u00e4re eine Antwort auf die obige Frage, n\u00e4mlich genau diese Ableitung, wie sie oben steht. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Berechnung im konkreten Punkt P<\/strong><br>Wir k\u00f6nnen das Ganze jetzt auch eben in dem Punkt P anschreiben, indem wir einfach f\u00fcr x = 1, f\u00fcr y = -2 und f\u00fcr z wiederum 1 einsetzen und wir schreiben das auch dann so her: K Vektor von 1, -2, 1 und setzen entsprechend ein. Multiplizieren gleich alles aus. Das \u00fcberlasse ich jedem f\u00fcr sich. Und landen bei: 192 Minus in x Richtung, minus 64 in y-Richtung und plus 12 in z-Richtung. Das w\u00e4re dann unser zweites Ergebnis im Punkt P. Und so l\u00e4sst sich jeder beliebige Punkt, den wir gerne berechnen w\u00fcrden, f\u00fcr dieses K bestimmen. Und wie wir anhand des Ergebnisses von K sehen, ist auch K wiederum ein Feld. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Charakteristikum eines Feldes<\/strong><br>Das hei\u00dft, wenn wir einen anderen Punkt einsetzen, dann kommt auch tats\u00e4chlich ein anderes Ergebnis heraus und damit ein anderer Vektor an diesem Punkt im Raum. Und das ist das Charakteristikum von einem Feld, von einem Vektorfeld konkret. Und das brauchen wir dann sp\u00e4ter auch noch. Zum Beispiel bei den Verschiebungen, wenn es darum geht, wie sich ein K\u00f6rper verformt. Das sehen wir uns aber etwas sp\u00e4ter dann bei den Materialgesetzen an. Ich hoffe die Vorgehensweise hier war klar. Das Video hat dich weitergebracht. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren stellen. Wenn du noch kein Abonnent, keine Abonnentin bist, bitte das nachholen, um mir zu helfen, die Reichweite des Kanals zu erh\u00f6hen. Und ich hoffe wir sehen uns beim n\u00e4chsten Video wieder und w\u00fcnsche dir bis dahin alles Gute.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis bald,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! 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