{"id":649,"date":"2022-02-03T08:43:55","date_gmt":"2022-02-03T07:43:55","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=649"},"modified":"2022-02-03T08:43:55","modified_gmt":"2022-02-03T07:43:55","slug":"integration-von-vektoren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/02\/03\/integration-von-vektoren\/","title":{"rendered":"Integration von Vektoren"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden k\u00f6nnen.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ugm0sINjt-8?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><figcaption><br><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Einleitung<\/strong><br>Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einf\u00fchrung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren k\u00f6nnen. Auch das werden wir in Zukunft brauchen. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Beispielerkl\u00e4rung<\/strong><br>Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, hei\u00dft: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Berechnung des Integrals<\/strong><br>Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchf\u00fchren. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor nat\u00fcrlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert \u00fcber s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir \u00fcber s integrieren. Ich mache wieder eine gro\u00dfe eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardm\u00e4\u00dfige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann l\u00e4sst sich entsprechend nat\u00fcrlich k\u00fcrzen. Ich k\u00fcrze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gek\u00fcrzt und hier zwei gek\u00fcrzt. Und hier 4 gek\u00fcrzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gek\u00fcrzt mit 2. Also alles entsprechend durchk\u00fcrzen. Und dann k\u00f6nnen wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 f\u00fcr jeden Term separat und ich f\u00fchre das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, n\u00e4mlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog f\u00fcr die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abz\u00fcglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, n\u00e4mlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br>Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuf\u00fchren zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret sp\u00e4ter noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einf\u00fchrung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und k\u00f6nnen uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im n\u00e4chsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele h\u00e4ttet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu ber\u00fccksichtigen. Wir sehen uns dann beim n\u00e4chsten Mal. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis dahin alles Gute und bis bald,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! 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