{"id":996,"date":"2022-07-05T17:44:22","date_gmt":"2022-07-05T15:44:22","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=996"},"modified":"2022-07-05T17:44:22","modified_gmt":"2022-07-05T15:44:22","slug":"lagrange-vollzylinder-rollt-in-hohlzylinder","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/07\/05\/lagrange-vollzylinder-rollt-in-hohlzylinder\/","title":{"rendered":"Lagrange: Vollzylinder rollt in Hohlzylinder"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir wollen uns in diesem Beitrag ein relativ komplexes Beispiel aus der Dynamik ansehen und dieses Mittels der Methode von Lagrange l\u00f6sen. <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Ein homogener Hohlzylinder (Masse M, Radius R) sei im Schwerefeld g=\u2212g*ez um eine horizontale Achse durch den Mittelpunkt P drehbar gelagert. In diesem Hohlzylinder rollt ein homogener Vollzylinder (Masse m, Radius r) ohne zu gleiten. Die beiden Zylinderachsen seien parallel. <\/p><p>Zus\u00e4tzliche Angaben: <br>O und P raumfeste Punkte, A,B,C und S k\u00f6rperfest auf den Zylindern, sodass im Gleichgewicht C auf O, B auf O und S auf PO liegen, <br>\u03c8: Auslenkung des Hohlzylinders aus der Gleichgewichtslage, <br>\u03c7: Auslenkung des Vollzylinders aus der Gleichgewichtslage, <br>\u03c6: Winkellage des Schwerpunktes des Vollzylinders <\/p><p>Formulieren Sie die Zwangsbedingungen und legen Sie die generalisierten Koordinaten fest. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion. Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Bestimmen Sie die Eigenfrequenz im Fall kleiner Auslenkungen.<\/p><cite>Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin<\/cite><\/blockquote>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"540\" height=\"544\" data-attachment-id=\"1366\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/de\/2022\/07\/05\/lagrange-vollzylinder-rollt-in-hohlzylinder\/nolting1-2-12\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/nolting1-2-12.jpg?fit=540%2C544&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"540,544\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"nolting1-2-12\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-medium-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/nolting1-2-12.jpg?fit=298%2C300&amp;ssl=1\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/nolting1-2-12.jpg?fit=540%2C544&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/nolting1-2-12.jpg?resize=540%2C544&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-1366\" \/><\/figure>\n<\/div><\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Angabe kann wie gewohnt hier heruntergeladen werden.<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange-l06.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px;\" aria-label=\"Einbettung von Einbettung von lagrange-l06..\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\" href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange-l06.pdf\">lagrange-l06<\/a><a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange-l06.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\">Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Schwierigkeit in diesem Beispiel liegt vor allem im Aufstellen der Zwangsbedingung (Abrollbedingung), sowie in der Tatsache, dass eine Auslenkung des Vollzylinder-Schwerpunkts bereits auch ein Rollen des Vollzylinders bedingt. Andernfalls w\u00fcrde der Zylinder ja rutschen m\u00fcssen. Diese Tatsache muss beim Aufstellen der kinetischen Energie besonders ber\u00fccksichtigt werden. Wir nehmen uns daher im Video genug Zeit das zu tun. Wenn allerdings diese H\u00fcrde einmal genommen ist, handelt es sich um ein standardm\u00e4\u00dfiges Lagrange-Beispiel. Wir erhalten wie gewohnt die Bewegungsgleichungen aus der Lagrangefunktion durch Anwendung der Euler-Lagrange Gleichungen und k\u00f6nnen diese anschlie\u00dfend linearisieren. Aus der linearisierten Form erhalten wir schlie\u00dflich auch die gesuchte Eigenkreisfrequenz. F\u00fcr die Details schau dir bitte wieder das Video an und versuche die einzelnen Schritte m\u00f6glichst gut nachzuvollziehen. Wenn Fragen auftauchen melde dich bitte sehr gerne in den Kommentaren bei mir. Daf\u00fcr stelle ich dieses Angebot schlie\u00dflich zur Verf\u00fcgung.  <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wDRzN2xY5a4?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=de-DE&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wenn dir das Beispiel und die Musterl\u00f6sung gefallen haben, dann lass bitte unbedingt ein Like auf YouTube da und abonniere diesen Blog und den YouTube Kanal. Das ist meine gr\u00f6\u00dfte Motivation auch weiterhin viel Arbeit in dieses Projekt zu stecken. Vielen Dank f\u00fcr deine Unterst\u00fctzung!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Viel Spa\u00df mit dem Beispiel und bis bald,<br>Markus <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! Wir wollen uns in diesem Beitrag ein relativ komplexes Beispiel aus der Dynamik ansehen und dieses Mittels der Methode von Lagrange l\u00f6sen. Ein homogener Hohlzylinder (Masse M, Radius R) sei im Schwerefeld g=\u2212g*ez um eine horizontale Achse durch den Mittelpunkt P drehbar gelagert. 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