{"id":1358,"date":"2022-07-07T09:30:00","date_gmt":"2022-07-07T07:30:00","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=1358"},"modified":"2022-07-07T08:38:02","modified_gmt":"2022-07-07T06:38:02","slug":"lagrange-pendel-mit-feder-an-beweglicher-aufhangung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/07\/07\/lagrange-pendel-mit-feder-an-beweglicher-aufhangung\/","title":{"rendered":"Lagrange: Pendel mit Feder an beweglicher Aufh\u00e4ngung"},"content":{"rendered":"<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In diesem Lagrange-Beispiel geht es um ein mathematisches Pendel, das an einem horizontal frei beweglichen Aufh\u00e4ngepunkt befestigt ist. Au\u00dferdem kann sich die Fadenl\u00e4nge des Pendels \u00fcber eine Feder \u00e4ndern.   <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Ein mathematisches Pendel mit einer eingearbeiteten Feder ist so befestigt, dass sich sein Aufh\u00e4ngepunkt frei in x-Richtung bewegen kann. Die Feder ist bei r = r0 vollkommen entspannt und ihre Federkonstante sei k. <\/p><p>Bestimme <br>*die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. <br>*die Lagrange-Funktion des Systems. <br>*alle Bewegungsgleichungen des gegebenen Federpendels.<\/p><\/blockquote>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"712\" height=\"360\" data-attachment-id=\"1360\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/07\/07\/lagrange-pendel-mit-feder-an-beweglicher-aufhangung\/lagrange_2013_10_16\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange_2013_10_16.jpg?fit=892%2C451&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"892,451\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"lagrange_2013_10_16\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-medium-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange_2013_10_16.jpg?fit=300%2C152&amp;ssl=1\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange_2013_10_16.jpg?fit=712%2C360&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange_2013_10_16.jpg?resize=712%2C360&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-1360\"\/><\/figure>\n<\/div><\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange-l12-1.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px\" aria-label=\"Embed of Einbettung von lagrange-l12-1..\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\" href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange-l12-1.pdf\">lagrange-l12-1<\/a><a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/lagrange-l12-1.pdf\" class=\"wp-block-file__button wp-element-button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\">Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Der erste Schritt in beinahe jedem Lagrange-Beispiel ist das Aufstellen der relevanten Koordinaten, hier f\u00fcr die Punktmasse. Wichtig ist zu beachten, dass nicht nur \u03be und \u03c6 zeitabh\u00e4ngig sind, sondern auch die Pendell\u00e4nge r aufgrund der Feder. Um das bei unseren Ableitungen nicht zu vergessen bietet es sich an explizit r(t) zu schreiben. Abgesehen davon gibt es eigentlich keine Stolpersteine und wir k\u00f6nnen durch zeitliches Ableiten wieder die Geschwindigkeiten f\u00fcr die Punktmasse bestimmen. Dann geht es auch schon an die Berechnung von kinetischer und potentieller Energie und schlie\u00dflich der Lagrangefunktion. Da wir hier drei Freiheitsgrade in Form der generalisierten Koordinaten \u03be, \u03c6 und r vorliegen haben, erhalten wir durch anwenden der Euler-Lagrange Gleichungen nat\u00fcrlich auch drei Bewegungsgleichungen, n\u00e4mlich eine in jeder dieser generalisierten Koordinaten. Wichtig ist hier wieder, dass diese Bewegungsgleichungen gekoppelt sein m\u00fcssen. Andernfalls haben wir bei der Berechnung einen Fehler gemacht und m\u00fcssten noch einmal nachpr\u00fcfen. F\u00fcr eine detaillierte Schritt-f\u00fcr-Schritt Rechnung seht euch bitte wieder das verlinkte Video an und stellt gerne jederzeit Fragen dazu.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ZqdkgFlt8Cc?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=en-GB&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Unterst\u00fctzt bitte auch meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und meines YouTube Kanals. Falls ihr es noch nicht getan habt, helft ihr au\u00dferdem mit einem Abo des Blogs und des Kanals. Das kostet schlie\u00dflich nichts. Vielen Dank!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Viel Spa\u00df mit dem Beispiel und bis bald,<br>Markus <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! In diesem Lagrange-Beispiel geht es um ein mathematisches Pendel, das an einem horizontal frei beweglichen Aufh\u00e4ngepunkt befestigt ist. Au\u00dferdem kann sich die Fadenl\u00e4nge des Pendels \u00fcber eine Feder \u00e4ndern. Ein mathematisches Pendel mit einer eingearbeiteten Feder ist so befestigt, dass sich sein Aufh\u00e4ngepunkt frei in x-Richtung bewegen kann. 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