{"id":615,"date":"2022-01-10T11:46:24","date_gmt":"2022-01-10T10:46:24","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=615"},"modified":"2022-01-10T11:46:24","modified_gmt":"2022-01-10T10:46:24","slug":"vektorrechnung-kreuzprodukt-zweier-vektoren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/01\/10\/vektorrechnung-kreuzprodukt-zweier-vektoren\/","title":{"rendered":"Vektorrechnung: Kreuzprodukt zweier Vektoren"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Diesmal behandeln wir das Kreuzprodukt zweier Vektoren und sehen uns an was es bedeutet, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wir berechnen das Kreuzprodukt einerseits mittels der Determinante und andererseits als Alternative auch mit den Einheitsvektoren. <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/d9rNQjol-f0?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=en-GB&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In unserem letzten konkreten Video zur Vektorrechnung haben wir uns mit dem Skalarprodukt besch\u00e4ftigt. Heute m\u00f6chten wir uns daher mit dem Kreuzprodukt besch\u00e4ftigen und wie wir dieses konkret ausrechnen k\u00f6nnen und was es bedeutet, dass ein Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wenn dich die Inhalte auf dem Kanal weiterbringen, dann lass mir doch bitte ein Abo da und gib auch diesem Video einen Daumen hoch. Vielen Dank! <br><br>Herzlich willkommen zur\u00fcck auf dem Kanal. Heute wollen wir uns also das Kreuzprodukt ansehen. Und dazu habe ich folgendes Beispiel vorbereitet: Wir haben hier zwei Vektoren, einen Vektor x, y und z. Ganz allgemein und einen Vektor p 1, 0 und 2 mit Zahlenwerten. Wir sollen davon die beiden m\u00f6glichen Kreuzprodukte berechnen. Damit ist gemeint einmal r kreuz p und einmal p kreuz r,und uns dann \u00fcberlegen, wie sich diese beiden Kreuzprodukte voneinander unterscheiden. Schauen wir uns das ganze also an. Wir berechnen das Kreuzprodukt in diesem Fall als Determinante. Wir haben also r kreuz p. Mittels der Determinantenregel, m\u00fcssen wir eine Zeile Einheitsvektoren e1, e2, e3 einf\u00fchren. Ich nenne das Koordinatensystem hier jetzt eins, zwei, drei. Nat\u00fcrlich l\u00e4sst es sich analog auch als x, y, z bezeichnen. Und wir haben den Vektor r: x, y, z. Und unseren Vektor P: 1, 0, 2. Davon die Determinante berechnet. Hier ergibt sich. Als 1-Komponente einmal 2y. Und in die andere Richtung Null mal z mal 1, also 0. 2. Richtung e2 z mal 1 also +z. Und in die andere Richtung hier zwei mal x e2, also minus 2 x. Und die dritte Komponente entsprechend e mal x mal 0, also Null. Und der Minus Beitrag 1mal y e3, also minus y. Das ist unser Produkt r kreuz p. Wie sieht das Produkt p kreuz r aus? Ganz einfach wir m\u00fcssen dazu nur entsprechend die beiden Zeilen der Determinante umdrehen. Also e1, e2, e3,die Zeile der Einheitsvektoren bleibt genau gleich und wir haben hier aber dann p zuerst, n\u00e4mlich eins null zwei und dann erst r n\u00e4mlich x, y und z. Und damit ergibt sich hier genau das Negative. Wer n\u00e4mlich sich ein bisschen mit den Determinantenregeln auskennt, wird wissen, dass wenn wir zwei Zeilen miteinander vertauschen, in einer Determinante, sich genau das Vorzeichen umdreht. Schauen wir uns das konkret hier an und pr\u00fcfen es nach. Wir haben n\u00e4mlich e1 mal 0 mal z. Also der positive Eintrag 0. Negativer Eintrag y mal 2, also minus 2y. Genau das gleiche f\u00fcr die anderen Beitr\u00e4ge, e2: 2 mal x positiv und in die negative Richtung z mal eins e2, also minus z. Und f\u00fcr die 3 Komponente e3 mal 1 y, also plus y. Und x mal 0 e3 in die negative Richtung. Das ist also unser Kreuzprodukt p kreuz r. Wenn wir es vergleichen mit oben, sehen wir, wir haben genau das negative: r kreuz p ist gleich minus p kreuz r. Das bedeutet es, dass das Kreuzprodukt nicht kommunikativ ist. In unserem einfachen Fall hier haben wir es also einfach mit einem verdrehen des Vorzeichens zu tun. Wenn wir die Kreuzprodukt Beitr\u00e4ge entsprechend umdrehen. Als alternative Berechnungsm\u00f6glichkeit m\u00f6chte ich gerne noch die Berechnungsm\u00f6glichkeit mit dem Zeilenvektor herzeigen. Exemplarisch f\u00fcr unser erstes Kreuzprodukt r kreuz p. Mit den Einheitsvektoren. Wenn wir das n\u00e4mlich so anschreiben, dann haben wir f\u00fcr r kreuz p nichts anderes als den Vektor r als Zeilenvektor angeschrieben mit e1,e2, e3 und p genau das gleiche. Wir haben hier also x e1 plus y e2 plus z e3 Kreuzprodukt 1 e1 aus dem p Vektor, die 1 Komponente. Es gibt keine 2 Komponente im p-Vektor. Die ersparen wir uns in dieser Schreibweise also. Und 2 e3. Davon das Kreuzprodukt ausgef\u00fchrt. Jetzt entweder mit dem Epsilon Tensor, wie ich das \u00f6fter in Beispielen vorf\u00fchre, oder mit unserer grafischen Darstellung e1, e2, e3. Wir wissen hier in die Richtung des Uhrzeigersinn haben wir positive Kreuzprodukte und entgegen dem Uhrzeigersinn entsprechend negative Kreuzprodukte. Noch einmal zur Erinnerung: Es entsteht immer der Vektor, zu dem der Pfeil hin zeigt. Also e1 kreuz e2 wird plus e3. Wer das nochmal genauer erkl\u00e4rt haben m\u00f6chte, bitte einfach das Video zur Vektortheorie ansehen. Wenn wir das Ganze also durchf\u00fchren, dann sehen wir uns an e1 kreuz e1 wird nat\u00fcrlich 0 &#8211; verschwindet. e1 kreuz e3 hier 1 &#8211; 3 wird minus 2. Minus e2. Und e2 kreuz e1 auch hier noch einmal geschaut. e2 kreuz e1 ist minus e3. e2 kreuz e3, 2 &#8211; 3 wird jetzt + e1. Und so geht das Ganze weiter. Einfach durchf\u00fchren. Auch noch f\u00fcr das e3: e3 kreuz e1 muss dann +e2 sein und e3 kreuz e3 verschwindet nat\u00fcrlich. Das hei\u00dft, wir haben im Endeffekt einen Vektor minus 2 xe2 aus dem Kreuz e1 mit e3. Die Faktoren 2 und x einfach vorne rausgezogen und f\u00fcr die Einheitsvektoren das Kreuzprodukt ausgef\u00fchrt. Und den Einheitsvektor hingeschrieben mit dem richtigen Vorzeichen der aus diesem Kreuzprodukt entsteht. Und genau das gleiche f\u00fcr die anderen Kreuzprodukte, n\u00e4mlich der Reihenfolge nach dann minus y e3 +2y e1plus z e2. Und dann k\u00f6nnen wir das ganze noch entsprechend richtig anordnen nach Einheitsvektoren eins zwei drei und landen bei 2y e1 plus die beiden e2 Eintr\u00e4ge zusammengefasst z minus 2 x e2 und minus y e3. Und verglichen mit oben, gerne auch als Spaltenvektor noch einmal hingeschrieben, haben wir genau das Ergebnis von hier oben produziert. Somit l\u00e4sst sich nat\u00fcrlich das Kreuzprodukt, wie wir schon besprochen haben, auf viele verschiedene Wege berechnen. Am besten ist es, man sucht sich einfach den Weg aus, der einem selbst am besten liegt und der f\u00fcr die eigene Rechenweise am besten geeignet ist. Wenn es dazu Fragen gibt, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen. Ich beantworte alle Fragen wie gehabt gerne und erkl\u00e4re auch Dinge gerne mehrfach. Wenn ihr zu dieser Thematik noch andere Videos haben m\u00f6chtet oder Ideen habt f\u00fcr Beispiele, die ich hier behandeln soll, dann schickt mir die Beispiele bitte gerne zu. Die E-Mail-Adresse findet ihr in den Kanalinfos bzw. auf meiner Webseite technischemechanik.com und wir behandeln dann diese Beispiele in einem weiteren Video. Wie gesagt, wenn euch die Inhalte gefallen, dann freue ich mich sehr \u00fcber ein Abo des Kanals. Das hilft mir enorm weiter die Inhalte auch einem breiteren Publikum zur Verf\u00fcgung zu stellen. Und bitte gebt auch gerne die Infos weiter, dass es diesen Kanal gibt, damit auch andere davon profitieren k\u00f6nnen. Vielen Dank! Wir sehen uns dann also beim n\u00e4chsten Beitrag. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis dahin alles Gute,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! Vielen Dank!&quot;,&quot;submitText&quot;:&quot;Danke f\\u00fcr dein Feedback!&quot;,&quot;surveyId&quot;:2705235,&quot;title&quot;:&quot;Feedback&quot;,&quot;emailResponses&quot;:false,&quot;emailPlaceholder&quot;:&quot;Your Email&quot;,&quot;emailRequired&quot;:false,&quot;header&quot;:&quot;\\ud83d\\udc4b Hey there!&quot;,&quot;hideBranding&quot;:false,&quot;hideTriggerShadow&quot;:false,&quot;submitButtonLabel&quot;:&quot;Submit&quot;,&quot;toggleOn&quot;:&quot;click&quot;,&quot;triggerLabel&quot;:&quot;Feedback&quot;,&quot;x&quot;:&quot;left&quot;,&quot;y&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;status&quot;:&quot;open&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true},&quot;nonce&quot;:&quot;1f9ae2ee07&quot;}\"><\/div>\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-8f761849 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\" style=\"flex-basis:50%;\"><div class=\"crowdsignal-vote-wrapper\" data-crowdsignal-vote=\"{&quot;pollId&quot;:&quot;29311620-3302-4a28-8c62-34c614948b60&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Unbenannte Abstimmung 20&quot;,&quot;hideBranding&quot;:false,&quot;pollStatus&quot;:&quot;open&quot;,&quot;size&quot;:&quot;medium&quot;,&quot;borderWidth&quot;:1,&quot;borderRadius&quot;:5,&quot;hideResults&quot;:false,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true},&quot;apiPollData&quot;:{&quot;id&quot;:11012988,&quot;question&quot;:&quot;&quot;,&quot;note&quot;:&quot;&quot;,&quot;settings&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Unbenannte Abstimmung 20&quot;,&quot;after_vote&quot;:&quot;results&quot;,&quot;after_message&quot;:&quot;&quot;,&quot;randomize_answers&quot;:false,&quot;restrict_vote_repeat&quot;:false,&quot;captcha&quot;:false,&quot;multiple_choice&quot;:false,&quot;redirect_url&quot;:&quot;&quot;,&quot;close_status&quot;:&quot;open&quot;,&quot;close_after&quot;:false},&quot;answers&quot;:[{&quot;answer_text&quot;:&quot;up&quot;,&quot;id&quot;:50588842,&quot;client_id&quot;:&quot;4ae8e890-5309-41a3-bae2-719a23a5da36&quot;},{&quot;answer_text&quot;:&quot;down&quot;,&quot;id&quot;:50588843,&quot;client_id&quot;:&quot;b583d8b0-1c19-492c-a781-9f4dfba236ce&quot;}],&quot;source_link&quot;:&quot;https:\\\/\\\/maomech.wordpress.com&quot;,&quot;client_id&quot;:&quot;29311620-3302-4a28-8c62-34c614948b60&quot;}}\">\n<div data-crowdsignal-vote-item=\"{&quot;answerId&quot;:&quot;4ae8e890-5309-41a3-bae2-719a23a5da36&quot;,&quot;type&quot;:&quot;up&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true}}\"><\/div>\n\n<div data-crowdsignal-vote-item=\"{&quot;answerId&quot;:&quot;b583d8b0-1c19-492c-a781-9f4dfba236ce&quot;,&quot;type&quot;:&quot;down&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true}}\"><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\" style=\"flex-basis:50%;\"><div class=\"crowdsignal-applause-wrapper\" data-crowdsignal-applause=\"{&quot;pollId&quot;:&quot;94052372-60ee-4246-bdb3-b44cfaeeec3b&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Unbenannter Applaus&quot;,&quot;answerId&quot;:&quot;4951fcb8-b48f-428e-82e4-90330cd7aed6&quot;,&quot;hideBranding&quot;:false,&quot;size&quot;:&quot;medium&quot;,&quot;pollStatus&quot;:&quot;open&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true},&quot;apiPollData&quot;:{&quot;id&quot;:11012989,&quot;question&quot;:&quot;&quot;,&quot;note&quot;:&quot;&quot;,&quot;settings&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Unbenannter Applaus&quot;,&quot;after_vote&quot;:&quot;results&quot;,&quot;after_message&quot;:&quot;&quot;,&quot;randomize_answers&quot;:false,&quot;restrict_vote_repeat&quot;:false,&quot;captcha&quot;:false,&quot;multiple_choice&quot;:false,&quot;redirect_url&quot;:&quot;&quot;,&quot;close_status&quot;:&quot;open&quot;,&quot;close_after&quot;:false},&quot;answers&quot;:[{&quot;answer_text&quot;:&quot;clap&quot;,&quot;id&quot;:50588844,&quot;client_id&quot;:&quot;4951fcb8-b48f-428e-82e4-90330cd7aed6&quot;}],&quot;source_link&quot;:&quot;https:\\\/\\\/maomech.wordpress.com&quot;,&quot;client_id&quot;:&quot;94052372-60ee-4246-bdb3-b44cfaeeec3b&quot;}}\"><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! 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