{"id":619,"date":"2022-01-13T11:00:00","date_gmt":"2022-01-13T10:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=619"},"modified":"2022-01-12T08:48:03","modified_gmt":"2022-01-12T07:48:03","slug":"winkel-zwischen-vektoren-aus-dem-skalarprodukt-berechnen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/01\/13\/winkel-zwischen-vektoren-aus-dem-skalarprodukt-berechnen\/","title":{"rendered":"Winkel zwischen Vektoren aus dem Skalarprodukt berechnen"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In unserem dritten Beispiel zur Vektorrechnung geht es darum den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, wenn die beiden Vektoren bekannt sind. Wir nutzen dazu die Definition des Skalarprodukts. Sehen wir uns also genauer an wie das funktioniert.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KIfMU9nm0ks?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=en-GB&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Theorie<\/strong><br>Wir haben in der Theorie zu den Vektoren auch diskutiert, dass wir aus dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen k\u00f6nnen. Genau das wollen wir uns heute anschauen. Wir wollen uns also ansehen, wie wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen k\u00f6nnen. Das ist insbesondere interessant, wenn wir den Winkel wissen wollen, den eine Kraft- resultierende beispielsweise mit einer Koordinatenachse einschlie\u00dft. Auch das werden wir uns dann in konkreten technischen Mechanik Beispielen noch genauer ansehen. Hier aber wollen wir es erst einmal allgemein diskutieren. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Rechenweg \u00fcber das Skalarprodukt<\/strong><br>Wir haben also zwei Vektoren A und B gegeben, mit Zahlenwerten, also ganz konkrete Vektoren, und m\u00f6chten den Winkel zwischen diesen beiden bestimmen. Wie machen wir das? Wer sich nicht erinnert, noch einmal zur\u00fcck geschaut auf das Vektorrechnung Theorievideo, n\u00e4mlich aus dem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt war ja in seiner Definition: A skalar in B ist gleich Betrag von A mal Betrag von B mal Cosinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren. Ich nenne ihn hier einfach Gamma. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Skalarprodukt berechnen<\/strong><br>Was m\u00fcssen wir also bestimmen? Wir m\u00fcssen zuerst einmal bestimmen, das Skalarprodukt A skalar in B, also die linke Seite unserer Gleichung. Das lautet, gleich als Zeilenvektor angeschrieben, 3, 6, 9 skalar in minus 2, 3 und 1. Wir wissen, beim Skalarprodukt m\u00fcssen wir einfach nur die erste Komponente mit der ersten Komponente multiplizieren. Zweite mit der Zweiten usw. Wir k\u00f6nnen das ganze nat\u00fcrlich auch anschreiben als Spaltenvektor 3 6 9. skalar minus 2, 3, 1. Je nachdem, wie es angenehmer und praktischer ist. Und landen hier dann insgesamt bei einem 3 Mal minus 2, also minus 6, 6 mal 3, also 18. Und 9 mal 1, also 9. Addiert ergibt sich ein Skalarprodukt von 21. Wir haben hier keine Einheiten. Wir werden dann sp\u00e4ter auch noch \u00fcber Einheiten diskutieren und wie wichtig die f\u00fcr die technische Mechanik sind. Hier aber im Allgemeinen haben wir jetzt keine Einheiten gegeben. Sind also einfach nur Zahlen. Die Zahl 21 ist das Ergebnis des Skalarprodukts A mit B. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Betr\u00e4ge der Vektoren berechnen<\/strong><br>Und dann brauchen wir nat\u00fcrlich noch die rechte Seite, n\u00e4mlich den Betrag von A und den Betrag von B. Der Betrag von A, auch hier zur\u00fcckerinnert an das Theorie Video, errechnet sich aus dem dreidimensionalen Satz von Pythagoras, den wir diskutiert haben, also einfach die Wurzel aller Komponenten quadriert und die Summe aus diesen Komponenten. 3 Quadrat plus 6 Quadrat plus 9 Quadrat. Und die Wurzel daraus ist also der Betrag von A. Hier ergibt sich Wurzel 126. Ich lasse es jetzt als Wurzel stehen. Wir werden gleich sehen, warum. Das gleiche f\u00fcr den Vektor B. Auch hier Wurzel aller Komponenten quadriert: minus 2 Quadrat plus 3 Quadrat plus 1 Quadrat Wurzel daraus. Hier als Nebenbemerkung: minus 2 Quadrat k\u00f6nnten wir auch gleich als 2 Quadrat schreiben, weil ja das negative Vorzeichen durch das Quadrieren wegf\u00e4llt. Hier aber der Vollst\u00e4ndigkeit halber noch hinzugef\u00fcgt. Werde ich nicht immer machen. Hier ist es einfach noch dabei. Und das ergibt dann die Wurzel 14. Wir brauchen jetzt insgesamt das Produkt aus diesen beiden Betr\u00e4gen, n\u00e4mlich Produkt A Betrag mit B Betrag. Und hier ergibt sich eine Wurzel 126 mal Wurzel 14. Nat\u00fcrlich lassen sich die beiden Wurzel zusammenf\u00fchren und hier eine Wurzel 126 mal 14 schreiben. Und wenn wir das ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen, landen wir bei einem sch\u00f6nen Ergebnis, aus dem man auch die Wurzel ziehen kann, n\u00e4mlich 42. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Einsetzen<\/strong><br>Und damit k\u00f6nnen wir jetzt in unsere Formel hier oben f\u00fcr das Skalarprodukt hineingehen, umformen auf Cosinus Gamma und k\u00f6nnen damit den Winkel Gamma bestimmen. Ich habe sie Gleichung (1) genannt, also aus der Gleichung (1) umgeformt auf Cosinus Gamma haben wir dann skalar A in B dividiert durch die Betr\u00e4ge der beiden Vektoren A und B Produkt daraus. Die haben wir berechnet. Wir haben hier noch einmal markiert, einmal 21 und einmal 42 als Skalarprodukt und als Produkt der Betr\u00e4ge. Wir haben also 21 dividiert durch 42, das ist ein Halb und der Cosinus von ein halb ist, wie vielleicht bekannt ist. Und wenn der Cosinus eines Winkels ein Halb ist, wie vielleicht bekannt ist, dann ist der Winkel Gamma 60 Grad. Wir haben also \u00fcber das Skalarprodukt sehr einfach den Winkel Gamma bestimmt. Nat\u00fcrlich sind das hier sehr sch\u00f6ne Zahlenwerte, das wird nicht immer so sch\u00f6n aussehen, aber es funktioniert immer genau analog zu dem, wie es hier gezeigt wurde. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ich hoffe das war verst\u00e4ndlich erkl\u00e4rt. Wenn es Fragen gibt wie immer, bitte gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und ich beantworte sie nat\u00fcrlich. Ich freue mich, dass du wieder dabei warst und ich freue mich auch, dich beim n\u00e4chsten Beitrafg wieder zu sehen. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis dahin alles Gute und bis bald,<br>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! 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