{"id":630,"date":"2022-01-20T12:46:57","date_gmt":"2022-01-20T11:46:57","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=630"},"modified":"2022-01-20T12:59:44","modified_gmt":"2022-01-20T11:59:44","slug":"volumen-eines-korpers-aus-drei-vektoren-parallelepiped-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/01\/20\/volumen-eines-korpers-aus-drei-vektoren-parallelepiped-2\/","title":{"rendered":"Fl\u00e4che eines Dreiecks aus Vektoren"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In diesem Beispiel wollen wir uns ansehen wie die Fl\u00e4che eines Dreiecks aus zwei Vektoren berechnet werden kann. Dabei bestimmen wir ganz nebenbei auch die Ortsvektoren zwischen zwei Punkten. <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vSWsqmne95o?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=en-GB&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Einleitung<\/strong><br \/>Wir haben uns jetzt schon einige Beispiele zur Vektorrechnung angesehen und wollen heute weitermachen mit einer Kombination aus zwei Ans\u00e4tzen. Wir wollen n\u00e4mlich die Fl\u00e4che eines Dreiecks bestimmen, von dem wir nur die Eckpunkte kennen. Wie das genau funktioniert, das sehen wir uns an. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Angabe<\/strong><br \/>Wir schauen uns also heute ein Dreieck an, von dem wir nur die Eckpunkte kennen und wir m\u00f6chten gerne die Fl\u00e4che dieses Dreiecks bestimmen. Die konkrete Angabe lautet: Die Eckpunkte des Dreiecks sind A, B und C jeweils als Punkte mit dem Abstand Meter in einem Koordinatensystem angegeben. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Strategie<\/strong><br \/>Die erste Frage, die wir uns stellen m\u00fcssen, ist: Wie bestimmen wir \u00fcberhaupt die Fl\u00e4che eines Dreiecks, das wir aus Vektoren aufgebaut haben? Und die einfache Antwort ist, dass wir einfach das Rechteck berechnen, das aus diesen beiden Vektoren entsteht. Genauso wie bei dem letzten Beispiel die Grundfl\u00e4che unseres Volumenk\u00f6rpers. Und daraus dann die H\u00e4lfte nehmen und damit das Dreieck bestimmt haben. Wir zeichnen uns das Ganze am besten einmal auf, und zwar so, dass wir hier einen Vektor haben der zum Punkt A hin zeigt, den ich r_AC nenne. Das w\u00e4re unser Vektor aus diesen beiden Punkten oben hier C und einen mit dem Startpunkt &#8211; Schaft &#8211; B. und der hei\u00dft entsprechend r_AB. Und das Rechteck, das aus diesen beiden Vektoren entsteht, sieht dann in etwa so aus. Und um die Fl\u00e4che des Dreiecks zu bestimmen, nehmen wir einfach die halbe Fl\u00e4che des Rechtecks. Die Fl\u00e4che des Rechtecks, wissen wir, entsteht aus dem Kreuzprodukt. Damit ist die Fl\u00e4che des Dreiecks nichts anderes als ein halb Betrag nat\u00fcrlich r_AB Vektor Kreuzprodukt mit r_AC Vektor. Erste wichtige Sache.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Ortsvektoren<\/strong><br \/>Die zweite wichtige Sache ist jetzt: Wie bestimmen wir eigentlich diese beiden Vektoren? Wir haben ja nur die Punkte A, B und C gegeben. Und hier kommen die Ortsvektoren ins Spiel, die wir auch in unserem Theorievideo zur Berechnung diskutiert haben. Wer sich daran nicht mehr erinnern kann, einfach noch einmal nachsehen. Die Ortsvektoren berechnen sich als Differenz Spitze minus Schaft. Das hei\u00dft, wir brauchen diese beiden Vektoren hier. r_AB Vektor ist einfach der Punkt A die Spitze unseres Vektors minus Punkt B. Die Koordinaten dieser beiden Punkte nat\u00fcrlich. Und die gleich als Zeilenvektor angeschrieben, von oben abgeschrieben, lauten drei, sechs und zehn Meter ist A. minus acht, vier und minus zwei Meter ist B. Einfach diese Subtraktion durchgef\u00fchrt, ergibt sich dann ein Vektor minus 5, zwei und 12 Meter. F\u00fcr unser r_AB. r_AC ist A minus C. Spitze ist nach wie vor A Schaft ist jetzt C. Also der gleiche Vektor f\u00fcr A 3, 6, 10 minus 1, 2, 3 f\u00fcr C. Wieder alles in Meter ist dann 2, vier und sieben. Meter. So, damit haben wir unsere beiden Vektoren f\u00fcr das Kreuzprodukt hier oben und k\u00f6nnen das Kreuzprodukt einfach ausf\u00fchren wieder mit der Determinantenschreibweise r_AB kreuz r_AC. Es macht hier, wie wir sehen, auch keinen Unterschied, ob wir r_AB Kreuz r_AC oder umgekehrt berechnen, weil wir sowieso den Betrag davon verwenden. Und das Kreuzprodukt ist zwar nicht kommunikativ, aber es dreht sich in unserem einfachen Fall hier in dieser einfachen Geometrie ja nur das Vorzeichen um. Und damit ist der Betrag wieder genau das gleiche. Macht auch Sinn, wenn wir uns die Skizze anschauen. Wir haben also hier wieder Einheitsvektor eins, zwei, drei Koordinatensystem und die Eintr\u00e4ge minus 5, 2, 12 von r_AB und 2, 4, 7 von r_AC. Das ganze Kreuzprodukt ausgef\u00fchrt. Ich glaube, das ist mittlerweile klar. Zwei mal sieben minus zw\u00f6lf mal vier in der 1 Komponente und 12 mal zwei minus minus 5 mal 4, also plus 5 mal 7 entschuldigung, ist die 2- Komponente. Und minus 5 mal 4 jetzt hier in der 3- komponente. Minus zwei mal zwei. Das Ganze noch ausgerechnet ergibt sich minus 34, 59, und Minus 24 Quadratmeter wohlgemerkt. Das ist jetzt offensichtlich noch ein Vektor, war ja auch zu erwarten aus einem Kreuzprodukt entsteht ein Vektor. Um den Betrag zu bestimmen, m\u00fcssen wir jetzt noch den Pythagoras anwenden, n\u00e4mlich Betrag r_AB kreuz r_AC. Ist die Wurzel aus den Komponenten zum Quadrat. 34 Quadrat minus 34 zum Quadrat ist plus 34 zum Quadrat, 59 zum Quadrat. Und auch hier das Minus bei 24 gleich weggelassen plus 24 Quadrat &#8211; Wurzel daraus. Und das ergibt 72,2. Nach wie vor Quadratmeter. Das ist jetzt die Fl\u00e4che des Rechtecks aus den beiden Vektoren und die Fl\u00e4che des Dreiecks aus den beiden Vektoren ist damit einfach die H\u00e4lfte davon. Noch einmal von oben die Fl\u00e4chenformel abgeschrieben und die H\u00e4lfte von 72,2 ist 36,1 Quadratmeter. Das ist die Fl\u00e4che unseres gesuchten Dreiecks aus diesen beiden Eckpunkten A, B, C. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/>Also zur Wiederholung wenn die Punkte gegeben sind, muss nat\u00fcrlich zuerst der Ortsvektor bestimmt werden zwischen diesen Punkten, aus denen der K\u00f6rper aufgebaut ist, und dann k\u00f6nnen wir vektoriell die Fl\u00e4che dieses Dreiecks oder welcher K\u00f6rper es auch immer ist bestimmen. Das w\u00fcrde genauso analog funktionieren f\u00fcr einen Volumensk\u00f6rper, wenn wir die entsprechenden Punkte gegeben haben und uns die drei Vektoren, die wir f\u00fcr das Spaltprodukte dann ben\u00f6tigen, entsprechend ausrechnen k\u00f6nnen. Ich hoffe, das war wieder verst\u00e4ndlich. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren fragen. Und ich hoffe, wir sehen uns dann beim n\u00e4chsten Mal.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bis dahin alles Gute,<br \/>Markus <\/p>\n\n\n<div class=\"crowdsignal-feedback-wrapper\" data-crowdsignal-feedback=\"{&quot;feedbackPlaceholder&quot;:&quot;Sag mir bitte was dir besonders gefallen hat und was ich verbessern soll! Vielen Dank!&quot;,&quot;submitText&quot;:&quot;Danke f\\u00fcr dein Feedback!&quot;,&quot;surveyId&quot;:2705235,&quot;title&quot;:&quot;Feedback&quot;,&quot;emailResponses&quot;:false,&quot;emailPlaceholder&quot;:&quot;Your Email&quot;,&quot;emailRequired&quot;:false,&quot;header&quot;:&quot;\\ud83d\\udc4b Hey there!&quot;,&quot;hideBranding&quot;:false,&quot;hideTriggerShadow&quot;:false,&quot;submitButtonLabel&quot;:&quot;Submit&quot;,&quot;toggleOn&quot;:&quot;click&quot;,&quot;triggerLabel&quot;:&quot;Feedback&quot;,&quot;x&quot;:&quot;left&quot;,&quot;y&quot;:&quot;bottom&quot;,&quot;status&quot;:&quot;open&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true},&quot;nonce&quot;:&quot;caa80a9513&quot;}\"><\/div>\n\n\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-8f761849 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\" style=\"flex-basis:50%;\"><div class=\"crowdsignal-vote-wrapper\" data-crowdsignal-vote=\"{&quot;pollId&quot;:&quot;29311620-3302-4a28-8c62-34c614948b60&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Unbenannte Abstimmung 20&quot;,&quot;hideBranding&quot;:false,&quot;pollStatus&quot;:&quot;open&quot;,&quot;size&quot;:&quot;medium&quot;,&quot;borderWidth&quot;:1,&quot;borderRadius&quot;:5,&quot;hideResults&quot;:false,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true},&quot;apiPollData&quot;:{&quot;id&quot;:11022613,&quot;question&quot;:&quot;&quot;,&quot;note&quot;:&quot;&quot;,&quot;settings&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Unbenannte Abstimmung 20&quot;,&quot;after_vote&quot;:&quot;results&quot;,&quot;after_message&quot;:&quot;&quot;,&quot;randomize_answers&quot;:false,&quot;restrict_vote_repeat&quot;:false,&quot;captcha&quot;:false,&quot;multiple_choice&quot;:false,&quot;redirect_url&quot;:&quot;&quot;,&quot;close_status&quot;:&quot;open&quot;,&quot;close_after&quot;:false},&quot;answers&quot;:[{&quot;answer_text&quot;:&quot;up&quot;,&quot;id&quot;:50618790,&quot;client_id&quot;:&quot;4ae8e890-5309-41a3-bae2-719a23a5da36&quot;},{&quot;answer_text&quot;:&quot;down&quot;,&quot;id&quot;:50618791,&quot;client_id&quot;:&quot;b583d8b0-1c19-492c-a781-9f4dfba236ce&quot;}],&quot;source_link&quot;:&quot;https:\\\/\\\/maomech.wordpress.com&quot;,&quot;client_id&quot;:&quot;29311620-3302-4a28-8c62-34c614948b60&quot;}}\">\n<div data-crowdsignal-vote-item=\"{&quot;answerId&quot;:&quot;4ae8e890-5309-41a3-bae2-719a23a5da36&quot;,&quot;type&quot;:&quot;up&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true}}\"><\/div>\n<div data-crowdsignal-vote-item=\"{&quot;answerId&quot;:&quot;b583d8b0-1c19-492c-a781-9f4dfba236ce&quot;,&quot;type&quot;:&quot;down&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true}}\"><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\" style=\"flex-basis:50%;\"><div class=\"crowdsignal-applause-wrapper\" data-crowdsignal-applause=\"{&quot;pollId&quot;:&quot;94052372-60ee-4246-bdb3-b44cfaeeec3b&quot;,&quot;title&quot;:&quot;Unbenannter Applaus&quot;,&quot;answerId&quot;:&quot;4951fcb8-b48f-428e-82e4-90330cd7aed6&quot;,&quot;hideBranding&quot;:false,&quot;size&quot;:&quot;medium&quot;,&quot;pollStatus&quot;:&quot;open&quot;,&quot;TrpContentRestriction&quot;:{&quot;restriction_type&quot;:&quot;exclude&quot;,&quot;selected_languages&quot;:[],&quot;panel_open&quot;:true},&quot;apiPollData&quot;:{&quot;id&quot;:11022614,&quot;question&quot;:&quot;&quot;,&quot;note&quot;:&quot;&quot;,&quot;settings&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Unbenannter Applaus&quot;,&quot;after_vote&quot;:&quot;results&quot;,&quot;after_message&quot;:&quot;&quot;,&quot;randomize_answers&quot;:false,&quot;restrict_vote_repeat&quot;:false,&quot;captcha&quot;:false,&quot;multiple_choice&quot;:false,&quot;redirect_url&quot;:&quot;&quot;,&quot;close_status&quot;:&quot;open&quot;,&quot;close_after&quot;:false},&quot;answers&quot;:[{&quot;answer_text&quot;:&quot;clap&quot;,&quot;id&quot;:50618792,&quot;client_id&quot;:&quot;4951fcb8-b48f-428e-82e4-90330cd7aed6&quot;}],&quot;source_link&quot;:&quot;https:\\\/\\\/maomech.wordpress.com&quot;,&quot;client_id&quot;:&quot;94052372-60ee-4246-bdb3-b44cfaeeec3b&quot;}}\"><\/div><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! In diesem Beispiel wollen wir uns ansehen wie die Fl\u00e4che eines Dreiecks aus zwei Vektoren berechnet werden kann. Dabei bestimmen wir ganz nebenbei auch die Ortsvektoren zwischen zwei Punkten. EinleitungWir haben uns jetzt schon einige Beispiele zur Vektorrechnung angesehen und wollen heute weitermachen mit einer Kombination aus zwei Ans\u00e4tzen. Wir wollen n\u00e4mlich die &hellip; <a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/01\/20\/volumen-eines-korpers-aus-drei-vektoren-parallelepiped-2\/\" class=\"more-link\">Continue reading <span class=\"screen-reader-text\">Fl\u00e4che eines Dreiecks aus Vektoren<\/span><\/a><\/p>","protected":false},"author":110396568,"featured_media":612,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_coblocks_attr":"","_coblocks_dimensions":"","_coblocks_responsive_height":"","_coblocks_accordion_ie_support":"","advanced_seo_description":"","jetpack_seo_html_title":"","jetpack_seo_noindex":false,"jetpack_seo_schema_type":"","_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_wpcom_ai_launchpad_first_post":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[71926,1972359],"tags":[25466,61475103,728229938,100678,35890,472973,10842501,166867,13017477,201151199,212444801,161129,662707,7091101,728229946,1631293,728229944,728229939,22943658,728229942,728229940,172005,1121513,33601,728752,728229943,728229937,728229941,61475244,750913299],"class_list":["post-630","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-theorie","category-vektorrechnung","tag-beispiel","tag-betrag-eines-vektors","tag-digitalerunterricht","tag-einfuhrung","tag-featured","tag-geometrie","tag-hohere-mathematik","tag-hochschule","tag-koordinatensystem","tag-kreuzprodukt","tag-lange-eines-vektors","tag-lineare-algebra","tag-maschinenbau","tag-maschinenbauingenieur","tag-mathe-lernvideo","tag-r3","tag-rechnen-mit-vektoren","tag-skalare-multiplikation","tag-skalarprodukt","tag-skalarprodukt-von-vektoren","tag-skalarprodukt-winkel","tag-studieren","tag-technische-mechanik","tag-universitat","tag-vektor","tag-vektor-zwischen-zwei-punkten","tag-vektoren-addieren","tag-vektoren-subtrahieren","tag-vektorprodukt","tag-vektorrechnung"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p7UJuu-aa","jetpack-related-posts":[],"amp_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/wordpress-vektorrechnung.png?fit=512%2C512&ssl=1","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/630","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/110396568"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=630"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/630\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":633,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/630\/revisions\/633"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media\/612"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=630"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=630"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=630"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}