{"id":718,"date":"2022-03-14T11:45:00","date_gmt":"2022-03-14T10:45:00","guid":{"rendered":"https:\/\/technischemechanik.com\/?p=718"},"modified":"2022-03-13T20:17:09","modified_gmt":"2022-03-13T19:17:09","slug":"lagrange-block-mit-pendel-auf-schiefer-ebene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/2022\/03\/14\/lagrange-block-mit-pendel-auf-schiefer-ebene\/","title":{"rendered":"Lagrange: Block mit Pendel auf schiefer Ebene"},"content":{"rendered":"<p class=\"wp-block-paragraph\">Herzlich Willkommen!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Diesmal geht es um ein System aus einem Block und einem mathematischen Pendel. Das Pendel schwingt um den Schwerpunkt des Blocks, w\u00e4hrend der Block eine schiefe Ebene entlang gleitet. <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\"><p>Ein Block der Masse M gleite reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel \u03b1 gegen die Horizontale. An seinem Schwerpunkt sei die Masse m \u00fcber einen masselosen Faden der L\u00e4nge l befestigt. <\/p><p>Ges.: <br>*Wie lautet die Lagrange-Funktion des Systems sowie dessen Bewegungsgleichungen bzgl. s und \u03c6? <br>*Errechnen Sie eine geschlossene Differentialgleichung f\u00fcr \u03c6(t). <br>*Geben Sie die Eigenfrequenz \u03c9 der Schwingung f\u00fcr M sehr viel gr\u00f6\u00dfer als m und kleine Winkelausschl\u00e4ge (\u03c6 ~ \u03b1) an und zeigen Sie, dass \u03c6(t)=\u03b1+\u03c6sin(\u03c9t+\u03b4) eine g\u00fcltige L\u00f6sung darstellt. <\/p><p>Hinweis: Zur Vereinfachung der Ergebnisse ben\u00f6tigen Sie die Additionstheoreme cos(\u03b1\u2212\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2+sin\u03b1sin\u03b2 <br>sin(\u03b1\u2212\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2\u2212cos\u03b1sin\u03b2<\/p><cite>Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin<\/cite><\/blockquote>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"528\" height=\"420\" data-attachment-id=\"721\" data-permalink=\"https:\/\/technischemechanik.com\/en\/beispiel_1_13-5\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/beispiel_1_13-5.jpg?fit=528%2C420&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"528,420\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"beispiel_1_13-5\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/beispiel_1_13-5.jpg?fit=528%2C420&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/beispiel_1_13-5.jpg?resize=528%2C420&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-721\" \/><\/figure>\n<\/div><\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen.<\/p>\n\n\n\n<div data-wp-interactive=\"core\/file\" class=\"wp-block-file\"><object data-wp-bind--hidden=\"!state.hasPdfPreview\" hidden class=\"wp-block-file__embed\" data=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/lagrange-l03.pdf\" type=\"application\/pdf\" style=\"width:100%;height:600px;\" aria-label=\"Embed of Einbettung von lagrange-l03..\"><\/object><a id=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\" href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/lagrange-l03.pdf\">lagrange-l03<\/a><a href=\"https:\/\/technischemechanik.com\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/lagrange-l03.pdf\" class=\"wp-block-file__button\" download aria-describedby=\"wp-block-file--media-714be98a-eb0c-4e8f-a941-5b1afe938115\">Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Wir stellen zuallererst wieder die relevanten Koordinaten von Block und Pendelmasse auf und dr\u00fccken sie als Funktion der generalisierten Koordinate (s und Pendelwinkel) aus. Daraus lassen sich die Geschwindigkeiten bestimmen und anschlie\u00dfend beide Anteile zur Energie, kinetische und potentielle Energie, ermitteln. Dann lassen sich aus der Lagrangefunktion die Bewegungsgleichungen ableiten und eine geschlossene Differentialgleichung f\u00fcr den Pendelwinkel anschreiben. Schlie\u00dflich k\u00f6nnen wir die geforderte Linearisierung durchf\u00fchren. Wie immer gibt es die ausf\u00fchrliche Erkl\u00e4rung im verlinkten Video.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-rich is-provider-handler-einbetten wp-block-embed-handler-einbetten wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"712\" height=\"401\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/FNMV-ZP6SFY?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=en-GB&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstm\u00f6glich beantworten. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Hat euch das Beispiel und die Musterl\u00f6sung gefallen? Dann lasst bitte ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Viel Spa\u00df mit diesem Beispiel und bis bald,<br>Markus <\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Herzlich Willkommen! Diesmal geht es um ein System aus einem Block und einem mathematischen Pendel. Das Pendel schwingt um den Schwerpunkt des Blocks, w\u00e4hrend der Block eine schiefe Ebene entlang gleitet. Ein Block der Masse M gleite reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel \u03b1 gegen die Horizontale. 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