Herzlich Willkommen!

Diesmal habe ich wieder eine sehr technische Anwendung der Relativkinetik vorbereitet, wie sie vielfach auf den Baustellen dieser Welt tagtäglich vorkommt.

Ein Turmdrehkran lt. Skizze dreht sich anfangs mit der Winkelgeschwindigkeit ω und wird in der Bremszeit t_B mit konstanter Winkelverzögerung bis zum Stillstand abgebremst. Die Laufkatze mit der Masse m_K befindet sich im Abstand r von der Drehachse und wird durch ein Seil S1 mit der Relativgeschwindigkeit v_rel und der Relativbeschleunigung a_rel nach innen gezogen. Über ein Seil S2 ist eine Last der Masse m_L an die Laufkatze angehängt.

Geg.: ω = 0.314s−1, t_B = 5s, m_K = 200kg, r = 15m, v_rel = 1.8ms−1, a_rel = 0.8ms−2, m_L= 300kg

Berechne:
*die Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung der Laufkatze in der gezeichneten Stellung.
*die Kräfte auf die Katze von den Seilen und der Führungsbahn.

Quelle: Aufgabe D35 (S. 358) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Hier kannst du dir die Angabe herunterladen und das Beispiel zuerst einmal selbst versuchen zu lösen.

Wir gehen bei dieser Aufgabe ganz klassisch vor. Zuerst stellen wir sämtliche Terme zur Absolutgeschwindigkeit auf und berechnen diese. Dann können wir analog vorgehen um die Beiträge zur Absolutbeschleunigung zu finden. Schließlich müssen wir uns darüber im klaren werden, welche Kräfte in die jeweiligen Koordinatenrichtungen wirken. Dazu ist es sinnvoll jeweils ein Freikörperbild der beiden relevanten Schnitte, d.h. von vorne und von oben, anzufertigen. Wichtig ist nämlich zu beachten, dass die Last m_L natürlich bei einer solchen Bewegung in beiden Ebenen nicht senkrecht hängen kann. Nachdem das geklärt ist und sämtliche Kräfte mit ihren Komponenten definiert wurden, können wir schließlich den Schwerpunktsatz sowohl für die Laufkatze als auch für die Last anschreiben. Aus diesen insgesamt 6 Gleichungen lassen sich dann sehr einfach sämtliche gesuchten Kräfte berechnen. Wie das genau funktioniert und alle notwendigen Teilschritte zur Lösung erkläre ich wie immer im Video. Viel Spaß!

Musterlösung als pdf gibt es hier leider keine, weil es sich, wie im Video unschwer zu erkennen ist, um eine relativ alte Aufnahme handelt. Tut mir leid.

Sollte es Fragen zu diesem Beispiel geben melde dich bitte jederzeit gerne bei mir. Idealerweise in den Kommentaren, damit auch andere von deiner Frage profitieren.

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Vielen Dank und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wir begeben uns mit dem heutigen Beispiel auf den Jahrmarkt. Dort sehen wir uns ein typisches Fahrgerät an und berechnen mit welchen Geschwindigkeiten und vor allem Beschleunigungen als Fahrgast zu rechnen ist. Die Angabe lautet wie folgt.

Ein Karussell besteht aus einem mit der Winkelbeschleunigung α_AB um Punkt A rotierenden Arm AB, welcher in der dargestellten Lage die Winkelgeschwindigkeit ω_AB besitzt. Ein Wagen ist am Ende des Armes im Punkt B reibungsfrei befestigt und dreht sich zum betrachteten Zeitpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit ω′ und der Winkelbeschleunigung α′ um den Punkt B.

Geg.: l_AB = 5m, r_B = 1m, γ = 30°, β = 60°, ω_AB = 2s−1, α_AB = 1s−2, ω′ = 0.5s−1, α′ = 0.6s−2

Berechne zum gegebenen Zeitpunkt:
*die Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Fahrgastes in C.
*die Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung des Fahrgastes in C für den Fall α_AB = α′ = 0.

Quelle: Aufgabe 5.147 (S. 431) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Lade dir gerne zuerst die Angabe herunter und versuche das Beispiel selbständig zu lösen. Danach kannst du es mit meiner Musterlösung vergleichen. So lernst du meiner Meinung nach am meisten.

Manchmal ist es bei Aufgabestellungen in der Relativkinematik als auch -kinetik am effizientesten einen Ortsvektor aufzustellen der alle Informationen beinhaltet. Diesen können wir dann einfach nach der Zeit ableiten um die Absolutgeschwindigkeit zu bekommen. Ein zweites mal nach der Zeit ableiten ergibt demnach direkt die Absolutbeschleunigung. Es ist lediglich darauf zu achten, dass alle zeitabhängigen Größen korrekt abgeleitet werden und natürlich auch im ursprünglichen Ortsvektor vorhanden sind. Wir wenden also eigentlich das analytische Prinzip an, aber das ist aus meiner Sicht kein Problem, denn die Lösung ist ja trotzdem völlig korrekt. Im Video und auch in der pdf-Lösung zeige ich dir trotzdem auch den regulären Weg der Relativkinematik auf, sodass du diesen selbst fertigrechnen und dann mit meinem Ergebnis vergleichen kannst. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse dabei!

Die Musterlösung als herunterladbares pdf gibt es natürlich ebenfalls wieder.

Sollte es Fragen zu diesem Beispiel geben melde dich bitte jederzeit gerne bei mir. Idealerweise in den Kommentaren, damit auch andere einen Vorteil von deiner Frage haben.

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Vielen Dank und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Diesmal wollen wir eine Variation des Kistenbeispiels der Relativkinetik besprechen. In diesem Fall haben wir einen fahrenden Wagen auf dessen schiefer Ebene eine Kiste nach unten rutscht. Wir möchten dabei die Dynamik im System berechnen.

Eine Kiste der Masse m gleitet reibungsfrei die geneigte Rampe der Masse m₂ entlang, während diese reibungsfrei entlang der horizontalen x-Achse rollen kann. Zum Anfangszeitpunkt t₀ = 0 bewegt sich die Rampe mit der konstanten Geschwindigkeit v₀ nach rechts, während die Kiste ausgehend vom Punkt A zu gleiten beginnt.

Bestimme
*die Beschleunigungen der Kiste und der Rampe.
*die Geschwindigkeiten von Kiste und Rampe zu jenem Zeitpunkt an dem die Kiste den Punkt B erreicht hat.
*die Verschiebung der Rampe, wenn die Kiste den Punkt B erreicht hat.

Quelle: Aufgabe 11.38 (S. 758) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die Angabe zum Download findest du hier:

Wir gehen hier – wie schon beim Beispiel R04 – den Weg über Freikörperbilder und Schwerpunktsätze. Dazu zeichnen wir jeweils ein Freikörperbild mit den angreifenden Kräften und ein separates mit den wirkenden Beschleunigungen. Mithilfe dieser beiden Skizzen können wir im Anschluss problemlos die Schwerpunktsätze für die Rampe und die Kiste jeweils in x- und y-Richtung anschreiben. Nachdem diese Gleichungen bekannt sind, muss nur noch auf die Beschleunigungen von Kiste und Rampe umgeformt werden um (a) zu beantworten. In einem weiteren Schritt stellen wir dann die kinematischen Beziehungen auf um die Geschwindigkeiten von Kiste und Rampe (b) sowie die Verschiebung der Kiste (c) zu bestimmen. Damit ist dieses Beispiel auch schon erledigt. Wie gewohnt findest du die Details im verlinkten Video oder in der pdf-Musterlösung. Viel Spaß damit!

Ich stehe dir gerne für Fragen zu diesem und allen anderen Beispiel zur Verfügung – scheue dich also nicht davor jederzeit nachzufragen!

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Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag geht es wieder um einen Klassiker der Relativkinetik, nämlich einen Drehkran mit einem an Seilen geführten Wagen.

Ein Drehkran laut Skizze ist gegeben. Der Wagen (1) darf näherungsweise als Punktmasse m betrachtet werden, deren Ortsvektor r, Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨ gegeben sind, und die zudem abhebesicher und reibungsfrei geführt ist. Der Schwenkarm (2) bewegt sich entlang des Winkels ϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ und der Winkelbeschleunigung ϕ¨. Die Drehsäule (3) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω und der Winkelbeschleunigung Ω˙.

Ges.:
*Die Differenz der Seilkräfte S2−S1.
*Die Kraft des Schwenkarmes auf den Wagen.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Dieses Beispiel ist ziemlich Standard, was den Rechenweg betrifft. Wir müssen uns nur zuerst auf ein Relativsystem festlegen. Zwei offensichtliche Möglichkeiten dafür bespreche ich im Video. Danach stellen wir den Ortsvektor sowie den Vektor der Führungsrotation auf und bestimmen sämtliche Beschleunigungen. Im Anschluss rechnen wir über den Schwerpunktsatz die gesuchten Kräfte aus. Klingt einfach? Ist es im Grunde auch. Die Details zur Rechnung erfahrt ihr wie immer im Video. Wenn ihr lieber zuerst selbst grübelt, könnt ihr natürlich auch gerne den Rechenweg als pdf herunterladen. Viel Spaß mit dem Beispiel!

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg seid ihr herzlich eingeladen einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich jederzeit über Fragen.

Hat euch dieser Beitrag gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Wenn ich euch bei einem konkreten Problem helfen konnte, bitte sagt in den Kommentaren bescheid – ich würde sehr gerne wissen auf welche verschiedenen Arten die Inhalte hier nützlich sind. Abonniert auch unbedingt meinen YouTube-Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wir hatten erst vor kurzem das fahrende Feuerwehrauto als Beispiel der Relativkinematik. Ein sehr ähnliches Beispiel wollen wir uns hier ansehen, nämlich einen Eisenbahnkran mit folgender Angabe:

Der Eisenbahnkran lt. Skizze fährt mit der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a in Richtung der positiven y−Achse, während der Ausleger sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω₁ und der Winkelbeschleunigung ω˙₁ um die z−Achse dreht. Im gezeichneten Augenblick (Winkellage θ) richtet sich der Ausleger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit θ˙ auf.
Geg.: d = 3m, l = 20m, v = 2m/s, a = 1.5m/s², θ = 30°, ω1 = 0.5 1/s, ω˙1 = 3 1/s², θ˙ = 3 1/s

Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung der Spitze B des Auslegers zum gezeichneten Zeitpunkt.

Quelle: Aufgabe 9.38 (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Wir stellen bei diesem Beispiel einen Ortsvektor auf, der sich am analytischen Prinzip orientiert, d.h. vom Koordinatenursprung 0 bis zum Punkt B reicht. Natürlich lässt sich die Rechnung auch aufsplitten in einen Teil 0-A sowie einen zweiten Teil A-B, aber aus meiner Sicht bietet der direkte Vektor den einfacheren Zugang. Danach müssen wir nur noch Geschwindigkeit und Beschleunigung mittels der bekannten Formeln aus der Relativkinematik bestimmen und sind mit dem Beispiel auch schon fertig. Die genaue Erklärung dazu und auch eine kurze Diskussion über die Praxisrelevanz solcher Berechnungen finden sich wie gewohnt im verlinkten Video!

Den Lösungsweg in Form eines herunterladbaren pdf-Files findet ihr hier.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinematik an. Es geht dabei um ein Fahrzeug, ein Feuerwehrauto, welches mit einer Drehleiter ausgestattet ist und während der Fahrt die Leiter ausfährt und hochschwenkt. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen am Leiterende wollen wir bestimmen.

Auf einem mit der konstanten Geschwindigkeit v0 fahrenden Fahrzeug ist eine Leiter montiert, die so bewegt wird, dass b(t)=2v0t und α(t)=Ωt gilt.

Bestimme die Absolutgeschwindigkeit sowie die Absolutbeschleunigung des Punktes C im raumfesten Koordinatensystem ex, ey.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Dieses Beispiel bietet sich an unterschiedliche Zugänge zur Relativkinematik aufzuzeigen. Genau das machen wir hier. Wir sehen uns einerseits an wie sich Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes C direkt aus einem Abstandvektor bestimmen lassen und andererseits wie das ganze mittels klassischem Relativkinematik-Zugang funktioniert, also über Relativ- und Führungssystem. Am Ende werden wir feststellen, dass in beiden Fällen das gleiche Ergebnis für die Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung entsteht (muss es ja auch, denn der Physik ist schließlich egal wie wir rechnen), die einzelnen Beiträge sich aber unterscheiden. Wie das alles genau geht und worauf zu achten ist besprechen wir im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Wie schon beim letzten Beispiel gibt es auch hier wieder den Lösungsweg als pdf-Download. Ich würde mich über Rückmeldungen freuen ob ihr diese pdfs auch nutzt bzw. plant zu nutzen.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinetik an, welches ein wenig unüblich ist. Warum, das werden wir im Verlauf des Beispiels klären.

Ein Mann der Masse m1 bewegt sich lt. Skizze mit konstanter Relativbeschleunigung arel auf einem Brett der Masse m2. Das Brett liegt auf zwei Rollen mit jeweils Radius r, Masse m3 und Massenträgheitsmoment J. Die Walzen stützen sich am Boden ab und rollen bei der Bewegung ohne zu rutschen.

Geg.: arel, m1, m2, m3, J, r

Bestimme:
*die Absolutgeschwindigkeit v2(t) des Brettes. Dabei gilt v2(t=0)=0.
*die Absolutgeschwindigkeit v1(t) des Mannes.

Quelle: Aufgabe D33 (S. 353f) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2008, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Und wie immer die Angabe zum Download:

Die Andersartigkeit dieses Beispiels liegt daran, dass es sinnvoll ist Schwerpunkt- und Momentensätze als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, ähnlich wie im Beispiel Block rutscht auf Keil. Sonst gehen wir ja in der Relativkinetik oft von den Geschwindigkeits- und Beschleunigungszusammenhängen aus und nutzen erst zum Schluss Schwerpunkt- und Momentenssätze. Wir machen uns zwar auch hier zu Beginn Gedanken über die Kinematik, aber diese fallen sehr einfach aus. Ausgangspunkt ist daher ein sauberes Freikörperbild in dem wir sämtliche Kräfte und dynamischen Größen notieren. Darauf aufbauend lassen sich dann alle Schwerpunkt- und Momentensätze für die Teile des Systems aufstellen. Damit können wir anschließend bereits die Beschleunigung für das Brett berechnen. Diese führt uns auf direktem Wege, durch Zeitintegration, zur Geschwindigkeit des Bretts und schließlich über die Kinematik zur Geschwindigkeit der Person am Brett. Alle Details gibt es natürlich wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

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Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Diesmal geht es um eine Variation eines Klassikers der Relativkinetik, nämlich eine Masse in einem rotierenden Rahmen, welche zusätzlich an einem Ende mit einer Feder verbunden ist.

In einem Rahmen, der sich nach dem vorgegebenen Winkel-Zeit-Gesetz φ(t) in der xy-Ebene um den raumfesten Punkt 0 dreht, kann reibungsfrei eine Masse m gleiten, die mit einer Feder (Federkonstante c) verbunden ist. In der Lage q=L sei die Feder entspannt.

Berechne bezogen auf die Masse m folgende Größen:
*Ortsvektor des Schwerpunktes
*Relativgeschwindigkeit, Führungsgeschwindigkeit und Absolutgeschwindigkeit
*Relativbeschleunigung, Führungsbeschleunigung, Coriolisbeschleunigung, Absolutbeschleunigung
*Bewegungsgleichung der Relativbewegung der Masse im rotierenden Bezugssystem.
*Normalkraft als Funktion der kinematischen Größen und der Masse m

Und wie immer die Angabe zum Download:

Wir stellen zuallererst, wie in der Angabe gefordert, den Ortsvektor für die Masse auf. Dann können wir aus Relativ- und Führungsgeschwindigkeit den Vektor der Absolut-geschwindigkeit, sowie aus den Beschleunigungskomponenten eben den Absolut-beschleunigungsvektor berechnen. Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes erhalten wir schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse und können auch die Normalkraft auf die Masse bestimmen. Eine genaue Anleitung dazu mit den üblichen weiterführenden Erklärungen findest du im angehängten Video.

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Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Ein absoluter Klassiker der Relativkinetik ist eine Masse die sich reibungsfrei in einem rotierenden Rohr bewegen kann. Genau das wollen wir uns hier ansehen.

Ein Teilchen P mit der Masse m kann sich reibungsfrei in einem um die z-Achse drehbaren Rohr der Länge l bewegen. Das Rohr rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω, die Winkelbeschleunigung beträgt Ω˙. Für die Anfangsbedingungen r(0)=r0 größer 0 und r˙(0)=0 sind die untenstehende Größen zu berechnen.

*Ortsvektor r_P(t)
*Relativgeschwindigkeit v_R, Führungsgeschwindigkeit v_F und Absolutgeschwindigkeit v_P
*Relativbeschleunigung a_R, Führungsbeschleunigung a_F, Coriolisbeschleunigung a_C und Absolutbeschleunigung a_P.
*Kräfte auf die Masse *Abstand r(t) von der Drehachse für den Spezialfall Ω=const.

Hinweis: Alle Vektoren sind im mitrotierenden ξ,η,ζ System darzustellen.

Und wie immer die Angabe zum Download:

Zum Ablaufplan der Rechnung ist hier eigentlich nicht viel zu sagen. Die Punkte (a) – (e) in der Angabe stellen nämlich bereits einen guten Ablaufplan zur Verfügung. Wir halten uns einfach daran und können auf direktem Wege alles berechnen. Natürlich könnt ihr den Rechenweg wieder Schritt für Schritt im verlinkten Video nachverfolgen. Viel Spaß damit!

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Bis demnächst,
Markus

Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns eine Masse an, die an beiden Enden mit Federn in der Nut einer rotierenden Scheibe befestigt ist und durch die Drehbewegung der Scheibe schwingt.

In der glatten Nut einer Scheibe, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω=const. dreht, ist eine Masse m an Federn (Federkonstante c ) befestigt.

Ges.:
*Bewegungsgleichung im bewegten ξ – η System.
*Kraft von der Nut auf die Masse
*Welche Eigenfrequenz stellt sich für die Bewegung der Masse ein?
*Winkelgeschwindigkeit ωcrit, bei der die Masse m mit der Scheibe rotiert, ohne in der Nut hin- und her zu schwingen.

Und wie immer die Angabe zum Download:

Den Anfang macht auch hier ein Freikörperbild um die Geometrie und damit die Beschleunigung sowie die Kräfte auf die Masse definieren zu können. All diese Größen können wir dann mittels relativkinetischen Gleichungen und Schwerpunktsatz berechnen. Die Schritte im Detail, besprechen wir natürlich wieder ausführlich im verlinkten Video.

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Bis demnächst,
Markus