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Lagrange: Kreisscheibe mit Unwucht an Feder

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Herzlich Willkommen!

Im vorliegenden Beispiel zum Thema Schwingungen, wollen wir mit der Methode von Lagrange eine Rolle (Kreisscheibe) mit einer Unwucht betrachten. Die Rolle hängt zusätzlich an einer Feder und das System führt damit eine Schwingung aus.

Eine in der skizzierten Weise federnd aufgehängte, homogene Kreisscheibe mit Masse M und Radius r rollt auf einer waagrechten Unterlage ohne zu gleiten. Am Umfang der Scheibe befindet sich eine als Punktmasse anzusehende Unwucht der Masse m. Für x=0 ist die Feder mit Federkonstante c vollkommen entspannt und die Unwucht befindet sich senkrecht unter dem Scheibenschwerpunkt.

Bestimme für dieses System:
*die generalisierte Koordinate und Geschwindigkeit.
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems sowie dessen Lagrange Funktion.
*die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichung.
*die vereinfachte Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen x, also x/r und x/a sehr klein

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Lagrange-L17Herunterladen

Das Beispiele lässt sich ganz klassisch nach dem Schema von Lagrange lösen. Wir wählen als generalisierte Koordinate die x-Auslenkung der Kreisscheibe, welche wir mit dem Rollwinkel/Ausslenkungswinkel der Unwucht in Verbindung bringen können. Dann stellen wir Koordinaten, Geschwindigkeiten sowie kinetische und potentielle Energie auf. Einzig bei der zeitlich veränderlichen Federlänge müssen wir ein wenig Geometrie ins Spiel bringen und diese Länge entsprechend durch x und die Abmessung a ausdrücken. Danach lässt sich die Lagrangefunktion anschreiben und die Bewegungsgleichung (es gibt hier ausnahmsweise nur eine) mittels Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. Zum Schluss sehen wir uns noch eine linearisierte Form der Bewegungsgleichung an. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wer nicht so gerne Videos ansieht, kann auch hier die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

L17Herunterladen

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Relativkinetik: Drehkran mit Wagen

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Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag geht es wieder um einen Klassiker der Relativkinetik, nämlich einen Drehkran mit einem an Seilen geführten Wagen.

Ein Drehkran laut Skizze ist gegeben. Der Wagen (1) darf näherungsweise als Punktmasse m betrachtet werden, deren Ortsvektor r, Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨ gegeben sind, und die zudem abhebesicher und reibungsfrei geführt ist. Der Schwenkarm (2) bewegt sich entlang des Winkels ϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ und der Winkelbeschleunigung ϕ¨. Die Drehsäule (3) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω und der Winkelbeschleunigung Ω˙.

Ges.:
*Die Differenz der Seilkräfte S2−S1.
*Die Kraft des Schwenkarmes auf den Wagen.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R12Herunterladen

Dieses Beispiel ist ziemlich Standard, was den Rechenweg betrifft. Wir müssen uns nur zuerst auf ein Relativsystem festlegen. Zwei offensichtliche Möglichkeiten dafür bespreche ich im Video. Danach stellen wir den Ortsvektor sowie den Vektor der Führungsrotation auf und bestimmen sämtliche Beschleunigungen. Im Anschluss rechnen wir über den Schwerpunktsatz die gesuchten Kräfte aus. Klingt einfach? Ist es im Grunde auch. Die Details zur Rechnung erfahrt ihr wie immer im Video. Wenn ihr lieber zuerst selbst grübelt, könnt ihr natürlich auch gerne den Rechenweg als pdf herunterladen. Viel Spaß mit dem Beispiel!

R12Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg seid ihr herzlich eingeladen einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich jederzeit über Fragen.

Hat euch dieser Beitrag gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Wenn ich euch bei einem konkreten Problem helfen konnte, bitte sagt in den Kommentaren bescheid – ich würde sehr gerne wissen auf welche verschiedenen Arten die Inhalte hier nützlich sind. Abonniert auch unbedingt meinen YouTube-Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus

Relativkinematik: Eisenbahnkran

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Herzlich Willkommen!

Wir hatten erst vor kurzem das fahrende Feuerwehrauto als Beispiel der Relativkinematik. Ein sehr ähnliches Beispiel wollen wir uns hier ansehen, nämlich einen Eisenbahnkran mit folgender Angabe:

Der Eisenbahnkran lt. Skizze fährt mit der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a in Richtung der positiven y−Achse, während der Ausleger sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω1 und der Winkelbeschleunigung ω˙1 um die z−Achse dreht. Im gezeichneten Augenblick (Winkellage θ) richtet sich der Ausleger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit θ˙ auf.
Geg.: d = 3m, l = 20m, v = 2m/s, a = 1.5m/s², θ = 30°, ω1 = 0.5 1/s, ω˙1 = 3 1/s², θ˙ = 3 1/s

Bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung der Spitze B des Auslegers zum gezeichneten Zeitpunkt.

Quelle: Aufgabe 9.38 (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R13Herunterladen

Wir stellen bei diesem Beispiel einen Ortsvektor auf, der sich am analytischen Prinzip orientiert, d.h. vom Koordinatenursprung 0 bis zum Punkt B reicht. Natürlich lässt sich die Rechnung auch aufsplitten in einen Teil 0-A sowie einen zweiten Teil A-B, aber aus meiner Sicht bietet der direkte Vektor den einfacheren Zugang. Danach müssen wir nur noch Geschwindigkeit und Beschleunigung mittels der bekannten Formeln aus der Relativkinematik bestimmen und sind mit dem Beispiel auch schon fertig. Die genaue Erklärung dazu und auch eine kurze Diskussion über die Praxisrelevanz solcher Berechnungen finden sich wie gewohnt im verlinkten Video!

Den Lösungsweg in Form eines herunterladbaren pdf-Files findet ihr hier.

R13Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Lagrange: Mittels Seil verbundene Zylinder im Schwerefeld

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Herzlich Willkommen!

Auch wenn die Methode von Lagrange meist ohne Kräfte auskommt, lassen sich dennoch bei Bedarf auch Kräfte damit berechnen. Wie das funktionieren kann sehen wir uns in diesem Beitrag an.

Zwei homogene Zylinder mit Massen m1, m2 und Radien r1, r2 sind mit einem Faden umwickelt. Die Achse des Zylinders 1 ist reibungsfrei gelagert. Der Zylinder 2 fällt im Schwerefeld senkrecht nach unten. Beide Zylinder rollen ohne zu rutschen und spulen dabei Faden ab.

Stelle die Bewegungsgleichungen auf und berechne die Fadenkraft.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Lagrange-L16Herunterladen

In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich durch reines Abrollen der Zylinder am Seil, eine Zwangsbedingung zwischen den Drehwinkeln und der x-Achse aufstellen lässt. Damit können wir ein der drei Variablen eliminieren und beispielsweise die beiden Winkel als generalisierte Koordinaten verwenden. Anschließend stellen wir wieder kinetische und potentielle Energie auf und schreiben mit deren Hilfe die Lagrangefunktion an. Es ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen, eine für jeden Winkel, die wir dann ineinander einsetzen und damit zwei geschlossene Gleichungen für die Beschleunigungen finden können. Anschließend lässt sich mit wenigen Zusatzüberlegungen (Drallsatz), die Seilkraft aus den Winkelbeschleunigungen bestimmen. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video.

Wer lesen bevorzugt, findet hier auch wieder die vollständige Lösung als pdf, allerdings dann ohne die üblichen Erklärungen zwischen den Zeilen. Diese findet ihr nur im Video.

L16Herunterladen

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Stoß: Projektil trifft auf Scheibe

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Herzlich Willkommen!

Wir widmen uns wieder einem Stoßbeispiel. Dieses Mal geht es um ein Projektil das auf eine aufgehängte Scheibe auftrifft und in diese eindringt.

Ein Projektil der Masse mP dringt mit der Geschwindigkeit vP in die Mantelfläche einer Scheibe der Masse mS unter dem Winkel α zur Horizontalen ein. Unmittelbar vor dem Stoß befindet sich die Scheibe in Ruhe.

Geg.: mP = 7g, mS = 5kg, vP = 800m/s, r = 0.2m, α = 30°

Ges.:
*die Winkelgeschwindigkeit ω′S der Scheibe unmittelbar nach dem Eindringen des Projektils.
*der Winkel θ um den die Scheibe schwingt bis sie ihren Umkehrpunkt erreicht hat.

Quelle: Aufgabe x.x (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

Stoss-S22Herunterladen

In diesem Fall bevorzuge ich die Zerlegung des Systems in Projektil und Scheibe und die Einführung eines inneren Stoßantriebs. So können wir einen Impulssatz für das Projektil anschreiben, das wir als Punktmasse betrachten dürfen. Andererseits lässt sich für die Scheibe ein Drehimpulssatz um das Lager aufstellen. Zusätzlich benötigen wir natürlich noch eine kinematische Bedingungen. Diese ist hier jene des rauen Stoßes, also gleiche Geschwindigkeitsvektoren von Projektil und Eindringpunkt unmittelbar nach dem Stoßvorgang. Damit lässt sich dann die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe bestimmen. Schließlich können wir über eine einfach Energiebetrachtung noch den Umkehrpunkt der Schwingung bestimmen. Wie das geht besprechen wir im verlinkten Video im Detail. Viel Spaß damit!

Wie auch schon die letzten Male stelle ich zusätzlich wieder ein pdf mit dem vollständigen Lösungsweg zur Verfügung.

S22Herunterladen

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Relativkinematik: Drehleiter am bewegten Fahrzeug

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinematik an. Es geht dabei um ein Fahrzeug, ein Feuerwehrauto, welches mit einer Drehleiter ausgestattet ist und während der Fahrt die Leiter ausfährt und hochschwenkt. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen am Leiterende wollen wir bestimmen.

Auf einem mit der konstanten Geschwindigkeit v0 fahrenden Fahrzeug ist eine Leiter montiert, die so bewegt wird, dass b(t)=2v0t und α(t)=Ωt gilt.

Bestimme die Absolutgeschwindigkeit sowie die Absolutbeschleunigung des Punktes C im raumfesten Koordinatensystem ex, ey.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R08-1Herunterladen

Dieses Beispiel bietet sich an unterschiedliche Zugänge zur Relativkinematik aufzuzeigen. Genau das machen wir hier. Wir sehen uns einerseits an wie sich Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes C direkt aus einem Abstandvektor bestimmen lassen und andererseits wie das ganze mittels klassischem Relativkinematik-Zugang funktioniert, also über Relativ- und Führungssystem. Am Ende werden wir feststellen, dass in beiden Fällen das gleiche Ergebnis für die Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung entsteht (muss es ja auch, denn der Physik ist schließlich egal wie wir rechnen), die einzelnen Beiträge sich aber unterscheiden. Wie das alles genau geht und worauf zu achten ist besprechen wir im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Wie schon beim letzten Beispiel gibt es auch hier wieder den Lösungsweg als pdf-Download. Ich würde mich über Rückmeldungen freuen ob ihr diese pdfs auch nutzt bzw. plant zu nutzen.

R08Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Lagrange: Dynamik eines hochgeworfenen Seils

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Herzlich Willkommen!

Ein sehr interessantes – und oft in der analytischen Mechanik anzutreffendes – Beispiel ist jenes, das wir uns in diesem Beitrag genauer ansehen wollen.

Ein Seil der Länge l wird senkrecht in die Luft geworfen. Es sei voll beweglich, sodass der Knick frei über das Seil laufen kann. Die Seilmasse pro Längeneinheit sei ρ. Die Krümmung der Knickstelle ist als vernachlässigbar anzusehen, d.h. die relevante Bewegung findet nur in x-Richtung statt.

Ges.:
*Finde geeignete generalisierte Koordinaten und stelle die Lagrangefunktion des Systems auf.
*Leite die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten her.
*Wie verhält sich die Geschwindigkeit der Knickstelle, wenn diese das Seilende erreicht?

Die Angabe gibt es wie üblich als Download, damit du dir das Beispiel in Ruhe selbst ansehen kannst.

Lagrange-L15Herunterladen

Auch hier braucht es zu Beginn einen Ansatz für die generalisierten Koordinaten bzw. die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilstücke des Seils. Dabei hilft uns wieder eine Zwangsbedingung, nämlich jene konstanter Seillänge. Dann erhalten wir aus den Koordinaten durch Zeitableitung wieder die Geschwindigkeiten der Seilschwerpunkte. Vorsicht ist hier beim Aufstellen der Energien geboten. Nachdem die Knickstelle des Seils ja wandern soll, muss auch die Masse der Teilstücke sich verändern. Wir haben es also erstmals mit einer zeitabhängigen Masse in der kinetischen Energie zu tun. Diese lässt sich allerdings mit der gegebenen Seilmasse pro Längeneinheit relativ einfach aufstellen. Ähnlich gehen wir bei der potentiellen Energie vor, sodass wir schließlich die Lagrangefunktion anschreiben können. Im nächsten Schritt bestimmen wir die Bewegungsgleichungen der Seilenden und können daraus schließlich eine geschlossene Differentialgleichung bauen. Dann wollen wir aber auch noch wissen, wie sich die Geschwindigkeit der Knickstelle verhält. Durch kluge Substitution finden wir eine sehr einfache Differentialgleichung die sich mit ein wenig Aufwand lösen lässt. Schließlich erhalten wir eine sehr einfach Gleichung für die Geschwindigkeit der Knickstelle. Daran ist abzulesen was passiert, wenn wir ein Seilende erreichen. Allerdings möchte ich das hier noch nicht verraten, sondern die Spannung ein wenig aufrecht erhalten. Um das Phänomen zu erfahren das wir hier mathematisch abgeleitet haben, musst du dir schon das Video ansehen. Viel Spaß damit!

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Viel Spaß mit diesem etwas aufwändigeren Beispiel und bis bald,
Markus

Unelastischer Stoß: Punktmasse bleibt in Quader stecken

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Herzlich Willkommen!

Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.

Eine Masse m2 stößt vollkommen unelastisch mit der Geschwindigkeit v2 gegen eine ruhende Masse m1, die an zwei gleichlangen, masselosen Pendelstützen aufgehängt ist und verbleibt in ihr. Aus dem Maximalausschlag φ=α soll auf die Geschwindigkeit v2 geschlossen werden, wobei die Wirkungslinie von v2 durch den Schwerpunkt von m1 geht.

Ges.:
*Geschwindigkeit der Massen nach dem Stoß.
*Zusammenhang zwischen dem Winkel α der Umkehrlage und v2
*Energieverlust während dem Stoß

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

Stoss-S16Herunterladen

Zur Lösung dieses Beispiels verwenden wir für den Stoßvorgang selbst eine reine Impulsbilanz, die wir für das Gesamtsystem aufstellen. Nachdem es sich um einen zentrischen Stoß handelt, reicht uns diese Impulsbilanz aus um einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß mit jener unmittelbar vor dem Stoß herzustellen. Zur Ermittlung des gesuchten Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit v2 der Punktmasse vor dem Stoß und dem Maximalausschlag der Gesamtmasse danach setzen wir anschließend eine Energieerhaltung an, weil der Schwingvorgang nach dem Stoß ohne Energieverlust passiert. Schließlich können wir den Energieverlust der während des Stoßvorgangs selbst auftritt mittels einer Energiebilanz zwischen den Zeitpunkten unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Die Details und weitere Anmerkungen zum Beispiel findet ihr wie immer im verlinkten Video. Viel Freude dabei!

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Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Statik: Winkelträger mit Streckenlast

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Herzlich Willkommen!

Wie behandeln wir einen Winkelträger in Kombination mit einer Streckenlast? Im Grund wissen wir das bereits aus vergangenen Beispielen. Wir müssen lediglich die drei Konzepte Gleichgewichtsbedingungen, Streckenlast und Gerberträger miteinander kombinieren. Genau das wollen wir hier tun. Es geht dabei um folgendes Beispiel:

Die Auflagerreaktionen in den Lagern A und C des Tragwerks aus Balken und Winkelträger sind zu bestimmen.
Geg.: q,l

Quelle: Aufgabe 6.75 (S. 352) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Auch in diesem Fall eines Winkelträgers können wir wie im Beispiel zum Gerberträger besprochen, das System an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte für den oberen und den unteren Teil anschreiben. Für diese beiden Teile lassen sich jeweils die Gleichgewichtsbedingungen (Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht) anschreiben und schließlich alle unbekannten Größen berechnen. Zum Schluss diskutieren wir noch den auftretenden Zweikraftstab zwischen B und C. Den kompletten Rechenweg im Detail findest du wie gewohnt im verlinkten Video! Viel Spaß und aufschlussreiche Erkenntnisse damit!


Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Relativkinetik: Person auf Platte & Rollen

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinetik an, welches ein wenig unüblich ist. Warum, das werden wir im Verlauf des Beispiels klären.

Ein Mann der Masse m1 bewegt sich lt. Skizze mit konstanter Relativbeschleunigung arel auf einem Brett der Masse m2. Das Brett liegt auf zwei Rollen mit jeweils Radius r, Masse m3 und Massenträgheitsmoment J. Die Walzen stützen sich am Boden ab und rollen bei der Bewegung ohne zu rutschen.

Geg.: arel, m1, m2, m3, J, r

Bestimme:
*die Absolutgeschwindigkeit v2(t) des Brettes. Dabei gilt v2(t=0)=0.
*die Absolutgeschwindigkeit v1(t) des Mannes.

Quelle: Aufgabe D33 (S. 353f) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2008, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Und wie immer die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R11Herunterladen

Die Andersartigkeit dieses Beispiels liegt daran, dass es sinnvoll ist Schwerpunkt- und Momentensätze als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, ähnlich wie im Beispiel Block rutscht auf Keil. Sonst gehen wir ja in der Relativkinetik oft von den Geschwindigkeits- und Beschleunigungszusammenhängen aus und nutzen erst zum Schluss Schwerpunkt- und Momentenssätze. Wir machen uns zwar auch hier zu Beginn Gedanken über die Kinematik, aber diese fallen sehr einfach aus. Ausgangspunkt ist daher ein sauberes Freikörperbild in dem wir sämtliche Kräfte und dynamischen Größen notieren. Darauf aufbauend lassen sich dann alle Schwerpunkt- und Momentensätze für die Teile des Systems aufstellen. Damit können wir anschließend bereits die Beschleunigung für das Brett berechnen. Diese führt uns auf direktem Wege, durch Zeitintegration, zur Geschwindigkeit des Bretts und schließlich über die Kinematik zur Geschwindigkeit der Person am Brett. Alle Details gibt es natürlich wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

Hat euch das Video gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Abonniert auch unbedingt den Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus