Herzlich Willkommen!

In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.

Einleitung
Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.

Beispielerklärung
Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.

Berechnung des Integrals
Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.

Zusammenfassung
Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Diesmal besprechen wir was es mit Vektorfeldern auf sich hat und wie wir diese ableiten können. Felder haben eine wichtige Bedeutung in der Technischen Mechanik beispielsweise in der Elastizitätstheorie. Daher ist es auch wichtig zu wissen was Felder sind und wie wir sie behandeln müssen.

Einleitung
Wie wir Ableitungen von Vektoren bilden, haben wir uns im letzten Beitrag angesehen. Heute wollen wir einen Schritt weitergehen und uns ansehen, wie wir eine Ableitung von einem Vektorfeld durchführen können.

Beispielerklärung
Konkret haben wir es hier mit einem Vektorfeld A zu tun und einem Skalarfeld Psi. Was Felder genau sind, werden wir dann bei den Materialgesetzen noch diskutieren. Nur kurz als Teaser: Ein Feld ist ein Vektor, der an jeder Stelle im Raum eine andere Orientierung haben kann. Also im Allgemeinen ein Vektor der hier von den Raumkoordinaten abhängt. Beim Skalarfeld ist es genau das gleiche, nur dass dieses eben kein Vektor ist, sondern nur ein Skalar, aber eine andere Größe hat, je nachdem wo im Raum wir uns befinden. Wir wollen also hier von diesen beiden Feldern die konkrete Ableitung hier bestimmen, nämlich die zweite gemischte Ableitung nach Ypsilon und z. Von dem Produkt Skalarfeld mal Vektorfeld. Und zwar wollen wir das Ganze dann auch in einem speziellen Punkt machen. Vorerst aber einmal einfach allgemein. Wie sieht das Ganze konkret aus?

Berechnung der Ableitung
Das Ergebnis wird, wenn wir uns das genauer ansehen, ein Vektor werden und ich nenne diesen Vektor K. Wir bestimmen also den Vektor K als zweite gemischte Ableitung dy dz vom Produkt Psi Skalarfeld mit dem Vektorfeld A. Am Ende wollen wir das Ganze auch noch in einem bestimmten Punkt ausrechnen, nämlich im Punkt P eins, zwei und eins. Wie machen wir das? Wir schreiben einfach hin: K ist als Vektor dann nichts anderes als diese gemischte Ableitung, d zwei dy dz vom Produkt Psi mit A. Das Produkt Psi mit A ist einfach dieses Psi auf jede Komponente von A drauf multipliziert. So wie wir das in der Theorie diskutiert haben. Das heißt, wir bekommen hier 6 x^4, ein x kommt vom Psi. Ypsilon ebenfalls der vierten. Hier haben wir y quadrat im Psi, mal z auch aus dem Psi. Das ist die x Komponente und analog für y und z einfach die Komponenten von Psi dazu multipliziert. Also x, y^4, z^2 in y-Richtung und minus x^2 y^2, z^3 in z-Richtung. Das ist einmal unser Produkt. Und davon müssen wir jetzt die gemischte Ableitung bilden. Wir leiten dazu einmal zuerst nach dem z ab und machen dann die y-Ableitung nachfolgend. Das heißt, wir haben hier 6 x^4 y^4. z wird eins, weil wir nach z ableiten plus 2 x y^4 z vom z Quadrat in y Richtung und minus 3 x^2 y^2 z^2 in z-Richtung. Erste Ableitung. Zweite Ableitung: Nach dem y landen wir bei 24 x^4 y^3 in x-Richtung, plus 8 y^3 z in y Richtung und minus 6 x^2 y z^2 in z-Richtung. Das ist unser allgemeiner Vektor K. Die allgemeine Ableitung und wäre eine Antwort auf die obige Frage, nämlich genau diese Ableitung, wie sie oben steht.

Berechnung im konkreten Punkt P
Wir können das Ganze jetzt auch eben in dem Punkt P anschreiben, indem wir einfach für x = 1, für y = -2 und für z wiederum 1 einsetzen und wir schreiben das auch dann so her: K Vektor von 1, -2, 1 und setzen entsprechend ein. Multiplizieren gleich alles aus. Das überlasse ich jedem für sich. Und landen bei: 192 Minus in x Richtung, minus 64 in y-Richtung und plus 12 in z-Richtung. Das wäre dann unser zweites Ergebnis im Punkt P. Und so lässt sich jeder beliebige Punkt, den wir gerne berechnen würden, für dieses K bestimmen. Und wie wir anhand des Ergebnisses von K sehen, ist auch K wiederum ein Feld.

Charakteristikum eines Feldes
Das heißt, wenn wir einen anderen Punkt einsetzen, dann kommt auch tatsächlich ein anderes Ergebnis heraus und damit ein anderer Vektor an diesem Punkt im Raum. Und das ist das Charakteristikum von einem Feld, von einem Vektorfeld konkret. Und das brauchen wir dann später auch noch. Zum Beispiel bei den Verschiebungen, wenn es darum geht, wie sich ein Körper verformt. Das sehen wir uns aber etwas später dann bei den Materialgesetzen an. Ich hoffe die Vorgehensweise hier war klar. Das Video hat dich weitergebracht. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren stellen. Wenn du noch kein Abonnent, keine Abonnentin bist, bitte das nachholen, um mir zu helfen, die Reichweite des Kanals zu erhöhen. Und ich hoffe wir sehen uns beim nächsten Video wieder und wünsche dir bis dahin alles Gute.

Bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag sehen wir uns an wie ein Vektor abgeleitet werden kann.

Einleitung
Ab einem gewissen Punkt in der technischen Mechanik spielen auch Ableitung und Integration von Vektoren eine gewisse Rolle. Wir wollen uns also in den letzten Beispielen zur Vektorrechnung noch ansehen, wie wir einen Vektor ableiten, wie wir ein Vektorfeld ableiten und wie wir einen Vektor integrieren können. Heute geht es darum, Vektoren abzuleiten. Wie das konkret funktioniert, das sehen wir uns gleich an.

Beispielangabe
Das Ableiten von Vektoren funktioniert im Grunde genau gleich wie das Ableiten von Funktionen, mit dem einzigen Unterschied, dass wir auch noch Komponenten des Vektors beibehalten. Wir wollen uns das an dem gegebenen Beispiel hier ansehen. Wir haben nämlich einen Vektor A, der von der Zeit abhängt, und wir haben einen Vektor B, der von der Zeit abhängt. Und wir möchten gerne die totalen Ableitungen der beiden Vektoren bestimmen und dann auch die Ableitung des Skalarprodukts dieser beiden Vektoren. Das funktioniert, wie wir sehen werden, sehr einfach. Wenn wir wissen, wie Polynome abzuleiten sind, und das sollte ja in der Regel kein großes Problem sein.

Ableitung von A
Schauen wir uns also einmal den Vektor A an. Die Zeitableitung von A. dA als Funktion der Zeit nach der Zeit abgeleitet ist. Die Zeitableitung des Vektors abgeschrieben. 5 t in 1 Richtung + 8 t Quadrat in 2 Richtung minus 6 t in drei Richtungen bzw. analog einfach als Spaltenvektor angeschrieben, je nach Belieben. Und das heißt, wir machen einfach die Ableitung der einzelnen Richtungen 1, 2 und 3 und landen also wieder bei einem Vektor, sinnvollerweise. 5 t abgeleitet ergibt 5 e1. 8 t Quadrat abgeleitet wir wissen t Quadrat abgeleitet gibt zweimal t zweimal 8 ist 16, also 16 t in die 2 Richtung und minus sechs t abgeleitet ergibt entsprechend minus 6 in die 3 Richtung.

Ableitung von B
Genau das gleiche für den Vektor B. dB von t nach dt ist demnach dt unseres Vektors B von oben abgeschrieben. Minus 3 t der dritten in 1 Richtung +2 t Quadrat in 2 Richtung minus 10 t in 3 Richtung. Auch hier wieder jede einzelne Komponente entsprechend abgeleitet minus 3 t der dritten t der dritten abgeleitet ist dreimal t Quadrat dreimal drei ist neun, also minus 9 t Quadrat in eins Richtung Plus hier kommt 2 herunter; 4 t in 2 Richtung und minus 10 in 3 Richtung. Das t abgeleitet wird zu eins. Auch hier wieder die beiden Vektoren.

Ableitung des Skalarprodukts
Dann führen wir die Ableitung der Skalarprodukts aus. Dazu müssen wir natürlich zuerst das Skalarprodukt durchführen A in B skalar und davon dann die Ableitung. Wir machen uns zunutze, dass die beiden Vektoren bereits oben in der Klammer stehen, machen also das Skalarprodukt aus diesen jeweiligen Komponenten hier. Wir sehen also, wir haben fünf t mal minus drei t der dritten ist jeweils die 1-Einrichtung. Skalar fällt natürlich dann die 1-Einrichtung weg, also minus 15 und t mal t der dritten t der vierten plus 16 t der vierten aus acht t Quadrat, zwei t Quadrat und 60 t Quadrat aus minus sechs t Mal minus 10 t. Davon wieder die Ableitung gebildet ergibt dann minus 60 t der Dritten aus dem ersten Term plus 64 t der Dritten aus dem zweiten Term plus 120 t aus dem dritten Term. Und dann entsprechend die t der Dritten zusammengefasst ergibt 4 t der Dritten plus 120 t. Das sind unsere drei Ergebnisse. Die Ableitungen der Einzelvektoren und die Ableitung des Skalarprodukts.

Wenn es Fragen dazu gibt, biete gerne die Fragen jederzeit stellen und ich hoffe, das Video hat dir weitergeholfen und wir sehen uns beim nächsten Video wieder.

Bis dahin alles Gute,
Markus

Herzlich Willkommen!

In diesem Beispiel wollen wir uns ansehen wie die Fläche eines Dreiecks aus zwei Vektoren berechnet werden kann. Dabei bestimmen wir ganz nebenbei auch die Ortsvektoren zwischen zwei Punkten.

Einleitung
Wir haben uns jetzt schon einige Beispiele zur Vektorrechnung angesehen und wollen heute weitermachen mit einer Kombination aus zwei Ansätzen. Wir wollen nämlich die Fläche eines Dreiecks bestimmen, von dem wir nur die Eckpunkte kennen. Wie das genau funktioniert, das sehen wir uns an.

Angabe
Wir schauen uns also heute ein Dreieck an, von dem wir nur die Eckpunkte kennen und wir möchten gerne die Fläche dieses Dreiecks bestimmen. Die konkrete Angabe lautet: Die Eckpunkte des Dreiecks sind A, B und C jeweils als Punkte mit dem Abstand Meter in einem Koordinatensystem angegeben.

Strategie
Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist: Wie bestimmen wir überhaupt die Fläche eines Dreiecks, das wir aus Vektoren aufgebaut haben? Und die einfache Antwort ist, dass wir einfach das Rechteck berechnen, das aus diesen beiden Vektoren entsteht. Genauso wie bei dem letzten Beispiel die Grundfläche unseres Volumenkörpers. Und daraus dann die Hälfte nehmen und damit das Dreieck bestimmt haben. Wir zeichnen uns das Ganze am besten einmal auf, und zwar so, dass wir hier einen Vektor haben der zum Punkt A hin zeigt, den ich r_AC nenne. Das wäre unser Vektor aus diesen beiden Punkten oben hier C und einen mit dem Startpunkt – Schaft – B. und der heißt entsprechend r_AB. Und das Rechteck, das aus diesen beiden Vektoren entsteht, sieht dann in etwa so aus. Und um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen, nehmen wir einfach die halbe Fläche des Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks, wissen wir, entsteht aus dem Kreuzprodukt. Damit ist die Fläche des Dreiecks nichts anderes als ein halb Betrag natürlich r_AB Vektor Kreuzprodukt mit r_AC Vektor. Erste wichtige Sache.

Ortsvektoren
Die zweite wichtige Sache ist jetzt: Wie bestimmen wir eigentlich diese beiden Vektoren? Wir haben ja nur die Punkte A, B und C gegeben. Und hier kommen die Ortsvektoren ins Spiel, die wir auch in unserem Theorievideo zur Berechnung diskutiert haben. Wer sich daran nicht mehr erinnern kann, einfach noch einmal nachsehen. Die Ortsvektoren berechnen sich als Differenz Spitze minus Schaft. Das heißt, wir brauchen diese beiden Vektoren hier. r_AB Vektor ist einfach der Punkt A die Spitze unseres Vektors minus Punkt B. Die Koordinaten dieser beiden Punkte natürlich. Und die gleich als Zeilenvektor angeschrieben, von oben abgeschrieben, lauten drei, sechs und zehn Meter ist A. minus acht, vier und minus zwei Meter ist B. Einfach diese Subtraktion durchgeführt, ergibt sich dann ein Vektor minus 5, zwei und 12 Meter. Für unser r_AB. r_AC ist A minus C. Spitze ist nach wie vor A Schaft ist jetzt C. Also der gleiche Vektor für A 3, 6, 10 minus 1, 2, 3 für C. Wieder alles in Meter ist dann 2, vier und sieben. Meter. So, damit haben wir unsere beiden Vektoren für das Kreuzprodukt hier oben und können das Kreuzprodukt einfach ausführen wieder mit der Determinantenschreibweise r_AB kreuz r_AC. Es macht hier, wie wir sehen, auch keinen Unterschied, ob wir r_AB Kreuz r_AC oder umgekehrt berechnen, weil wir sowieso den Betrag davon verwenden. Und das Kreuzprodukt ist zwar nicht kommunikativ, aber es dreht sich in unserem einfachen Fall hier in dieser einfachen Geometrie ja nur das Vorzeichen um. Und damit ist der Betrag wieder genau das gleiche. Macht auch Sinn, wenn wir uns die Skizze anschauen. Wir haben also hier wieder Einheitsvektor eins, zwei, drei Koordinatensystem und die Einträge minus 5, 2, 12 von r_AB und 2, 4, 7 von r_AC. Das ganze Kreuzprodukt ausgeführt. Ich glaube, das ist mittlerweile klar. Zwei mal sieben minus zwölf mal vier in der 1 Komponente und 12 mal zwei minus minus 5 mal 4, also plus 5 mal 7 entschuldigung, ist die 2- Komponente. Und minus 5 mal 4 jetzt hier in der 3- komponente. Minus zwei mal zwei. Das Ganze noch ausgerechnet ergibt sich minus 34, 59, und Minus 24 Quadratmeter wohlgemerkt. Das ist jetzt offensichtlich noch ein Vektor, war ja auch zu erwarten aus einem Kreuzprodukt entsteht ein Vektor. Um den Betrag zu bestimmen, müssen wir jetzt noch den Pythagoras anwenden, nämlich Betrag r_AB kreuz r_AC. Ist die Wurzel aus den Komponenten zum Quadrat. 34 Quadrat minus 34 zum Quadrat ist plus 34 zum Quadrat, 59 zum Quadrat. Und auch hier das Minus bei 24 gleich weggelassen plus 24 Quadrat – Wurzel daraus. Und das ergibt 72,2. Nach wie vor Quadratmeter. Das ist jetzt die Fläche des Rechtecks aus den beiden Vektoren und die Fläche des Dreiecks aus den beiden Vektoren ist damit einfach die Hälfte davon. Noch einmal von oben die Flächenformel abgeschrieben und die Hälfte von 72,2 ist 36,1 Quadratmeter. Das ist die Fläche unseres gesuchten Dreiecks aus diesen beiden Eckpunkten A, B, C.

Zusammenfassung
Also zur Wiederholung wenn die Punkte gegeben sind, muss natürlich zuerst der Ortsvektor bestimmt werden zwischen diesen Punkten, aus denen der Körper aufgebaut ist, und dann können wir vektoriell die Fläche dieses Dreiecks oder welcher Körper es auch immer ist bestimmen. Das würde genauso analog funktionieren für einen Volumenskörper, wenn wir die entsprechenden Punkte gegeben haben und uns die drei Vektoren, die wir für das Spaltprodukte dann benötigen, entsprechend ausrechnen können. Ich hoffe, das war wieder verständlich. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren fragen. Und ich hoffe, wir sehen uns dann beim nächsten Mal.

Bis dahin alles Gute,
Markus

Herzlich Willkommen!

In diesem Beitrag besprechen wir wie das Volumen eines sogenannten Parallelepipeds (Körper aus drei Vektoren) bestimmt werden kann. Dabei wenden wir das im Theorievideo zur Vektorrechnung bereits diskutierte Spatprodukt an.

Einleitung
Wir haben jetzt bereits das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt an konkreten Beispielen diskutiert und uns auch überlegt, wie wir einen Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarprodukts berechnen können. Heute wollen wir uns anschauen, wie wir mit dem Spatprodukt das Volumen eines Körpers berechnen können.

Aufgabenstellung
Wir bestimmen heute das Volumen eines Körpers. Ein Körper aus Vektoren, nämlich den Vektoren A, B und C, hier auch mit konkreten Längeneinheiten, nämlich Millimeter. Und ein solcher Körper allgemein wird Parallelepiped genannt. Lass dich aber nicht von diesem eher komplizierten Wort abschrecken. Das ist einfach nur ein beliebiger Körper aus drei Vektoren. Wie sieht das Ganze aus? Zeichnen wir es uns am besten einmal auf. Wir haben einen Vektor A, den ich hier als Höhe verwende. Wir haben einen Vektor B. Ich strichliere gleich, weil dieser hier hinten liegen wird, dann im Körper. Und wir haben einen Vektor C als zweite Grundflächenseite. Wir können das Ganze dann, so wie wir das in der Theorie diskutiert haben, hier verbinden und erhalten ein mehr oder weniger schönes Parallelepiped. Also einen Körper, der aus diesen drei Vektoren aufgespannt wird.

Volumen berechnen
Wie berechnen wir jetzt das Volumen dieses Parallelepipeds? Ganz einfach, wie in der Theorie diskutiert aus dem Spatprodukt. Das Spatprodukt ist ja Vektor A ist unsere Höhe skalar multipliziert auf das Kreuzprodukt von B und C und dieses Kreuzprodukt B mit C ist unsere Grundfläche. Wir haben also hier die Grundfläche. Die ich hier markiere und wir haben unsere Höhe – Vektor A. Damit können wir einfach dieses Produkt ausführen und erhalten sofort das Volumen des Körpers. Und ich erinnere auch noch einmal zurück: Es macht hier keinen Unterschied, ob wir die Grundfläche aus B und C bilden und A als Höhe annehmen oder die Grundfläche aus B und A bilden und C als Höhe und so weiter. Das ist gleichbedeutend mit der Eigenschaft des Produkts, dass wir nämlich hier zyklisch unsere Einträge vertauschen dürfen. Wer sich das noch einmal anschauen möchte, bitte einfach ins Theorievideo schauen, das ich verlinkt habe. Wie schaut dieses Produkt also aus? Wir haben Volumen A, der Vektor A gleich als Spaltenvektor ist eins null null aus der Angabe abgeschrieben skalar in das Kreuz Produkt als Determinante wieder angeschrieben e1, e2, e3. Und unser Vektor B ist 0, 1, 1 und unser Vektor C ist 0, 2, 4. Einfacher angeschaut haben wir hier also einen Vektor A, der nur den Eintrag in x Richtung besitzt und damit hier rauf multipliziert wird. Auf diese Einheitsvektoren. Das heißt, wir landen bei einem 1, 0, 0, weil wir nur den ersten Einheitsvektor aus dem Skalarprodukt herausnehmen. 0, 1, 1 und 0, 2, 4 entsprechend abgeschrieben. Und dann wissen wir vielleicht aus der Determinantenberechnung aus der Mathematik, dass wir hier diese Subdeterminante aus 1, 1, 2, 4 berechnen können. Mit diesem Kofaktor 1 hier oben, und bei einem einmal 1, 1, 2, 4 Determinante landen. Und damit das Ganze recht einfach ausrechnen können, weil wir nur einmal 4 und 2 mal 1 in der Determinante stehen haben. Nämlich hier konkret einmal vier ist vier, minus zwei mal eins ist zwei. Und das Ganze mit dem Einser von oben noch multipliziert, müsste man genauer gesagt machen. Macht aber mit eins natürlich keinen Unterschied. Damit gleich weggelassen und vier minus zwei ist zwei.

Physikalische Einheit
Das ganze waren Millimeter. Wir haben in der Höhe einmal Millimeter und jeweils aus dem Kreuzprodukt noch einmal Millimeter mal Millimeter, also Quadratmillimeter aus dieser Determinante hier. Und einmal Millimeter aus dem Eins, das draufmultipliziert wird, also insgesamt Millimeter zur dritten. Und das ist genau die Einheit, die ein Volumen braucht. Unser Volumen ist also hier konkret zwei Kubikmillimeter. Und damit haben wir auch bereits das Volumen dieses Parallelepipeds bestimmt.

Schlussbemerkungen
Natürlich lässt sich auch zuerst das Kreuzprodukt, aus diesen beiden Grundflächenvektoren bestimmen und erst anschließend das Skalarprodukt drauf multiplizieren. Hier ist es aber einfacher es so zu machen wie gezeigt, weil wir eben nur einen Eintrag in unserer Höhe haben, nämlich eins und das sofort zu einer Vereinfachung des Produkts in der Determinante führt. Bitte aber wie immer einfach gerne auf die eigene Art nachrechnen und schauen, ob es stimmt. Wenn irgendwelche Diskrepanzen auftreten oder sonstige Fragen, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und die Diskrepanzen aufzeigen, dann können wir das durchdiskutieren. Vielen Dank fürs Dabeisein heute. Ich hoffe, es hat dir etwas gebracht und ich freue mich, wenn wir uns beim nächsten Beitrag wiedersehen.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

In unserem dritten Beispiel zur Vektorrechnung geht es darum den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, wenn die beiden Vektoren bekannt sind. Wir nutzen dazu die Definition des Skalarprodukts. Sehen wir uns also genauer an wie das funktioniert.

Theorie
Wir haben in der Theorie zu den Vektoren auch diskutiert, dass wir aus dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können. Genau das wollen wir uns heute anschauen. Wir wollen uns also ansehen, wie wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können. Das ist insbesondere interessant, wenn wir den Winkel wissen wollen, den eine Kraft- resultierende beispielsweise mit einer Koordinatenachse einschließt. Auch das werden wir uns dann in konkreten technischen Mechanik Beispielen noch genauer ansehen. Hier aber wollen wir es erst einmal allgemein diskutieren.

Rechenweg über das Skalarprodukt
Wir haben also zwei Vektoren A und B gegeben, mit Zahlenwerten, also ganz konkrete Vektoren, und möchten den Winkel zwischen diesen beiden bestimmen. Wie machen wir das? Wer sich nicht erinnert, noch einmal zurück geschaut auf das Vektorrechnung Theorievideo, nämlich aus dem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt war ja in seiner Definition: A skalar in B ist gleich Betrag von A mal Betrag von B mal Cosinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren. Ich nenne ihn hier einfach Gamma.

Skalarprodukt berechnen
Was müssen wir also bestimmen? Wir müssen zuerst einmal bestimmen, das Skalarprodukt A skalar in B, also die linke Seite unserer Gleichung. Das lautet, gleich als Zeilenvektor angeschrieben, 3, 6, 9 skalar in minus 2, 3 und 1. Wir wissen, beim Skalarprodukt müssen wir einfach nur die erste Komponente mit der ersten Komponente multiplizieren. Zweite mit der Zweiten usw. Wir können das ganze natürlich auch anschreiben als Spaltenvektor 3 6 9. skalar minus 2, 3, 1. Je nachdem, wie es angenehmer und praktischer ist. Und landen hier dann insgesamt bei einem 3 Mal minus 2, also minus 6, 6 mal 3, also 18. Und 9 mal 1, also 9. Addiert ergibt sich ein Skalarprodukt von 21. Wir haben hier keine Einheiten. Wir werden dann später auch noch über Einheiten diskutieren und wie wichtig die für die technische Mechanik sind. Hier aber im Allgemeinen haben wir jetzt keine Einheiten gegeben. Sind also einfach nur Zahlen. Die Zahl 21 ist das Ergebnis des Skalarprodukts A mit B.

Beträge der Vektoren berechnen
Und dann brauchen wir natürlich noch die rechte Seite, nämlich den Betrag von A und den Betrag von B. Der Betrag von A, auch hier zurückerinnert an das Theorie Video, errechnet sich aus dem dreidimensionalen Satz von Pythagoras, den wir diskutiert haben, also einfach die Wurzel aller Komponenten quadriert und die Summe aus diesen Komponenten. 3 Quadrat plus 6 Quadrat plus 9 Quadrat. Und die Wurzel daraus ist also der Betrag von A. Hier ergibt sich Wurzel 126. Ich lasse es jetzt als Wurzel stehen. Wir werden gleich sehen, warum. Das gleiche für den Vektor B. Auch hier Wurzel aller Komponenten quadriert: minus 2 Quadrat plus 3 Quadrat plus 1 Quadrat Wurzel daraus. Hier als Nebenbemerkung: minus 2 Quadrat könnten wir auch gleich als 2 Quadrat schreiben, weil ja das negative Vorzeichen durch das Quadrieren wegfällt. Hier aber der Vollständigkeit halber noch hinzugefügt. Werde ich nicht immer machen. Hier ist es einfach noch dabei. Und das ergibt dann die Wurzel 14. Wir brauchen jetzt insgesamt das Produkt aus diesen beiden Beträgen, nämlich Produkt A Betrag mit B Betrag. Und hier ergibt sich eine Wurzel 126 mal Wurzel 14. Natürlich lassen sich die beiden Wurzel zusammenführen und hier eine Wurzel 126 mal 14 schreiben. Und wenn wir das ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen, landen wir bei einem schönen Ergebnis, aus dem man auch die Wurzel ziehen kann, nämlich 42.

Einsetzen
Und damit können wir jetzt in unsere Formel hier oben für das Skalarprodukt hineingehen, umformen auf Cosinus Gamma und können damit den Winkel Gamma bestimmen. Ich habe sie Gleichung (1) genannt, also aus der Gleichung (1) umgeformt auf Cosinus Gamma haben wir dann skalar A in B dividiert durch die Beträge der beiden Vektoren A und B Produkt daraus. Die haben wir berechnet. Wir haben hier noch einmal markiert, einmal 21 und einmal 42 als Skalarprodukt und als Produkt der Beträge. Wir haben also 21 dividiert durch 42, das ist ein Halb und der Cosinus von ein halb ist, wie vielleicht bekannt ist. Und wenn der Cosinus eines Winkels ein Halb ist, wie vielleicht bekannt ist, dann ist der Winkel Gamma 60 Grad. Wir haben also über das Skalarprodukt sehr einfach den Winkel Gamma bestimmt. Natürlich sind das hier sehr schöne Zahlenwerte, das wird nicht immer so schön aussehen, aber es funktioniert immer genau analog zu dem, wie es hier gezeigt wurde.

Ich hoffe das war verständlich erklärt. Wenn es Fragen gibt wie immer, bitte gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und ich beantworte sie natürlich. Ich freue mich, dass du wieder dabei warst und ich freue mich auch, dich beim nächsten Beitrafg wieder zu sehen.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Diesmal behandeln wir das Kreuzprodukt zweier Vektoren und sehen uns an was es bedeutet, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wir berechnen das Kreuzprodukt einerseits mittels der Determinante und andererseits als Alternative auch mit den Einheitsvektoren.

In unserem letzten konkreten Video zur Vektorrechnung haben wir uns mit dem Skalarprodukt beschäftigt. Heute möchten wir uns daher mit dem Kreuzprodukt beschäftigen und wie wir dieses konkret ausrechnen können und was es bedeutet, dass ein Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wenn dich die Inhalte auf dem Kanal weiterbringen, dann lass mir doch bitte ein Abo da und gib auch diesem Video einen Daumen hoch. Vielen Dank!

Herzlich willkommen zurück auf dem Kanal. Heute wollen wir uns also das Kreuzprodukt ansehen. Und dazu habe ich folgendes Beispiel vorbereitet: Wir haben hier zwei Vektoren, einen Vektor x, y und z. Ganz allgemein und einen Vektor p 1, 0 und 2 mit Zahlenwerten. Wir sollen davon die beiden möglichen Kreuzprodukte berechnen. Damit ist gemeint einmal r kreuz p und einmal p kreuz r,und uns dann überlegen, wie sich diese beiden Kreuzprodukte voneinander unterscheiden. Schauen wir uns das ganze also an. Wir berechnen das Kreuzprodukt in diesem Fall als Determinante. Wir haben also r kreuz p. Mittels der Determinantenregel, müssen wir eine Zeile Einheitsvektoren e1, e2, e3 einführen. Ich nenne das Koordinatensystem hier jetzt eins, zwei, drei. Natürlich lässt es sich analog auch als x, y, z bezeichnen. Und wir haben den Vektor r: x, y, z. Und unseren Vektor P: 1, 0, 2. Davon die Determinante berechnet. Hier ergibt sich. Als 1-Komponente einmal 2y. Und in die andere Richtung Null mal z mal 1, also 0. 2. Richtung e2 z mal 1 also +z. Und in die andere Richtung hier zwei mal x e2, also minus 2 x. Und die dritte Komponente entsprechend e mal x mal 0, also Null. Und der Minus Beitrag 1mal y e3, also minus y. Das ist unser Produkt r kreuz p. Wie sieht das Produkt p kreuz r aus? Ganz einfach wir müssen dazu nur entsprechend die beiden Zeilen der Determinante umdrehen. Also e1, e2, e3,die Zeile der Einheitsvektoren bleibt genau gleich und wir haben hier aber dann p zuerst, nämlich eins null zwei und dann erst r nämlich x, y und z. Und damit ergibt sich hier genau das Negative. Wer nämlich sich ein bisschen mit den Determinantenregeln auskennt, wird wissen, dass wenn wir zwei Zeilen miteinander vertauschen, in einer Determinante, sich genau das Vorzeichen umdreht. Schauen wir uns das konkret hier an und prüfen es nach. Wir haben nämlich e1 mal 0 mal z. Also der positive Eintrag 0. Negativer Eintrag y mal 2, also minus 2y. Genau das gleiche für die anderen Beiträge, e2: 2 mal x positiv und in die negative Richtung z mal eins e2, also minus z. Und für die 3 Komponente e3 mal 1 y, also plus y. Und x mal 0 e3 in die negative Richtung. Das ist also unser Kreuzprodukt p kreuz r. Wenn wir es vergleichen mit oben, sehen wir, wir haben genau das negative: r kreuz p ist gleich minus p kreuz r. Das bedeutet es, dass das Kreuzprodukt nicht kommunikativ ist. In unserem einfachen Fall hier haben wir es also einfach mit einem verdrehen des Vorzeichens zu tun. Wenn wir die Kreuzprodukt Beiträge entsprechend umdrehen. Als alternative Berechnungsmöglichkeit möchte ich gerne noch die Berechnungsmöglichkeit mit dem Zeilenvektor herzeigen. Exemplarisch für unser erstes Kreuzprodukt r kreuz p. Mit den Einheitsvektoren. Wenn wir das nämlich so anschreiben, dann haben wir für r kreuz p nichts anderes als den Vektor r als Zeilenvektor angeschrieben mit e1,e2, e3 und p genau das gleiche. Wir haben hier also x e1 plus y e2 plus z e3 Kreuzprodukt 1 e1 aus dem p Vektor, die 1 Komponente. Es gibt keine 2 Komponente im p-Vektor. Die ersparen wir uns in dieser Schreibweise also. Und 2 e3. Davon das Kreuzprodukt ausgeführt. Jetzt entweder mit dem Epsilon Tensor, wie ich das öfter in Beispielen vorführe, oder mit unserer grafischen Darstellung e1, e2, e3. Wir wissen hier in die Richtung des Uhrzeigersinn haben wir positive Kreuzprodukte und entgegen dem Uhrzeigersinn entsprechend negative Kreuzprodukte. Noch einmal zur Erinnerung: Es entsteht immer der Vektor, zu dem der Pfeil hin zeigt. Also e1 kreuz e2 wird plus e3. Wer das nochmal genauer erklärt haben möchte, bitte einfach das Video zur Vektortheorie ansehen. Wenn wir das Ganze also durchführen, dann sehen wir uns an e1 kreuz e1 wird natürlich 0 – verschwindet. e1 kreuz e3 hier 1 – 3 wird minus 2. Minus e2. Und e2 kreuz e1 auch hier noch einmal geschaut. e2 kreuz e1 ist minus e3. e2 kreuz e3, 2 – 3 wird jetzt + e1. Und so geht das Ganze weiter. Einfach durchführen. Auch noch für das e3: e3 kreuz e1 muss dann +e2 sein und e3 kreuz e3 verschwindet natürlich. Das heißt, wir haben im Endeffekt einen Vektor minus 2 xe2 aus dem Kreuz e1 mit e3. Die Faktoren 2 und x einfach vorne rausgezogen und für die Einheitsvektoren das Kreuzprodukt ausgeführt. Und den Einheitsvektor hingeschrieben mit dem richtigen Vorzeichen der aus diesem Kreuzprodukt entsteht. Und genau das gleiche für die anderen Kreuzprodukte, nämlich der Reihenfolge nach dann minus y e3 +2y e1plus z e2. Und dann können wir das ganze noch entsprechend richtig anordnen nach Einheitsvektoren eins zwei drei und landen bei 2y e1 plus die beiden e2 Einträge zusammengefasst z minus 2 x e2 und minus y e3. Und verglichen mit oben, gerne auch als Spaltenvektor noch einmal hingeschrieben, haben wir genau das Ergebnis von hier oben produziert. Somit lässt sich natürlich das Kreuzprodukt, wie wir schon besprochen haben, auf viele verschiedene Wege berechnen. Am besten ist es, man sucht sich einfach den Weg aus, der einem selbst am besten liegt und der für die eigene Rechenweise am besten geeignet ist. Wenn es dazu Fragen gibt, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen. Ich beantworte alle Fragen wie gehabt gerne und erkläre auch Dinge gerne mehrfach. Wenn ihr zu dieser Thematik noch andere Videos haben möchtet oder Ideen habt für Beispiele, die ich hier behandeln soll, dann schickt mir die Beispiele bitte gerne zu. Die E-Mail-Adresse findet ihr in den Kanalinfos bzw. auf meiner Webseite technischemechanik.com und wir behandeln dann diese Beispiele in einem weiteren Video. Wie gesagt, wenn euch die Inhalte gefallen, dann freue ich mich sehr über ein Abo des Kanals. Das hilft mir enorm weiter die Inhalte auch einem breiteren Publikum zur Verfügung zu stellen. Und bitte gebt auch gerne die Infos weiter, dass es diesen Kanal gibt, damit auch andere davon profitieren können. Vielen Dank! Wir sehen uns dann also beim nächsten Beitrag.

Bis dahin alles Gute,
Markus

Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns das erste konkrete Beispiel zur Vektorrechnung an. Wir besprechen hier wie wir ein Dreieck mittels Vektoren beschreiben und die Hypotenuse aus den beiden Katheten berechnen können. Damit wenden wir erstmals die zuletzt besprochenen Regeln der Vektorrechnung auf ein konkretes Beispiel an. Zum Schluss begegnet uns sogar eine altbekannte Regel für spezielle Dreiecke – nämlich der Satz von Pythagoras.

Wir haben in den letzten Wochen darüber gesprochen, dass wir in der technischen Mechanik die Vektorrechnung sehr dringend benötigen. Heute wollen wir uns das erste konkrete Beispiel zur Vektorrechnung ansehen.

Als erstes Beispiel zur Vektorrechnung, wollen wir uns ein allgemeines Dreieck ansehen, so wie es hier aufgezeichnet ist. Das Dreieck ist gegeben durch die Vektoren A, B und C. Zwischen A und B haben wir einen Winkel Alpha.
Die erste Frage ist nun, wie berechnet sich die Seite C als Funktion der anderen beiden Seiten A und B?
Zweite Frage: Wie sieht der allgemeine Zusammenhang aus zwischen den Betragsquadraten all dieser Vektoren?
Und die dritte Frage: der spezielle Zusammenhang zwischen den Betragsquadraten, für den Fall, dass dieser Winkel Alpha hier Pi halbe ist.

Erste Frage
Schauen wir uns das Ganze also konkret an. Wir wissen, wir können einen Vektor C, der hier an der Basis von B beginnt und bis an die Spitze von A reicht, einfach als Vektoraddition dieser beiden Vektoren B und A aufschreiben.
Das ist auch schon die Antwort auf die Frage A, nämlich die Seite C Vektor als Funktion von A und B ist nichts anderes als die Summe der beiden Vektoren A und B.
Erste Frage beantwortet.

Zweite Frage
Wie sieht der Zusammenhang für die Betragsquadrate aus? Hier können wir uns zunutze machen, dass wir ja bereits den Zusammenhang kennen und hier einfach auf beiden Seiten das gleiche durchführen dürfen. Es handelt sich ja auch um eine Gleichung. Nämlich Betrag von C Quadrat auf der linken Seite das Betragsquadrat einführen.
Und genau das gleiche auf der rechten Seite.

Hier allerdings bitte aufpassen. Wir müssen natürlich das Ganze wie eine Klammer behandeln und Betrag von A plus B und davon das Quadrat ausführen.
Das heißt, wir wissen aus unserer theoretischen Behandlung der Vektoren, dass das Quadrat eines Vektors gleichbedeutend ist mit dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.
Nachdem wir jetzt hier eine Summe von Vektoren haben, können wir also das Skalarprodukt A plus B skalar mit noch einmal A plus B anschreiben.
Genau analog zum Quadrieren einer Klammer aus zwei Zahlen, wo wir auch Klammer mal Klammer rechnen dürfen. Jetzt müssen wir diese Skalarprodukt ausmultiplizieren.
Und das funktioniert auch hier mit der Klammerregel: erster Term mal erster Term, erster Termin mal zweiter, zweiter mal erster zweiter mal zweiter.
All diese Produkte müssen wir einfach anschreiben.
Das heißt, wir landen bei einem A skalar in A. Erster mit dem ersten Term. Plus A skalar in B. Erster mit dem zweiten Term. Plus B skalar in A, zweiter mit dem ersten und B skalar in B, zweiter mit dem zweiten Term.
Dann können wir das Ganze wieder entsprechend zusammenfassen. Wir haben ja hier A skalar in A und wissen, das ist A Betragsquadrat.
Wir haben hinten B skalar in B ist B Betragsquadrat. Und wir haben so etwas wie einen Mischterm, wo wir aber wissen beim Skalarprodukt gilt Kommutativität. Das heißt, wir können A mal B gleichsetzen mit B mal A bzw. hier B mal A umdrehen auf A mal B und haben dann diesen Mischterm einfach zwei Mal.
Das heißt, wir erhalten A Betragsquadrat plus B Vektor Betragsquadrat, plus zweimal Skalarprodukt A in B.

Und das ist genau das, was auch aus der Quadrierung einer Klammer aus zwei Termen bekannt sein sollte. Klammer klein a plus klein b als einfache Variablen keine Vektoren, sondern Skalare quadriert gibt ja genau das gleiche: a Quadrat plus b Quadrat plus zwei a mal b, und auch das erhalten wir hier für Vektoren.
Zweite Frage beantwortet. Das ist der allgemeine Zusammenhang zwischen den Betragsquadraten der Vektoren.

Dritte Frage
Führt auf einen auch sehr bekannten Spezialfall hinaus. Nämlich was passiert, wenn dieser Winkel Alpha hier zwischen den beiden Vektoren A und B Pi halbe ist. Ist gleich Alpha 90 Grad übersetzt in die Grad-Schreibweise.
Hier ist es ja so, dass der Vektor A dann normal auf B steht.
Wenn das hier ein rechter Winkel ist, und damit gilt, wenn wir uns zurückerinnern an das Skalarprodukt aus zwei Vektoren, die normal aufeinander stehen, dass dieses Skalarprodukt verschwinden muss, dass A skalar in B für diesen Fall also den Nullvektor ergibt.
Und damit können wir aus dem allgemeinen Zusammenhang b) oben feststellen, dass A plus B Vektor Quadrat, gleich erster Term A Quadrat plus B Quadrat plus zweimal Nullvektor – also dieser Mischterm hier verschwindet.
Und damit haben wir A Vektor Quadrat plus B Vektor Quadrat.
Und das ist vielleicht bekannt. Das ist nämlich der berühmte Satz von Pythagoras. Auch diesen können wir natürlich vektoriell hinschreiben.

Und damit haben wir uns hier ein erstes Mal überlegt, wie wir die Rechenregeln, die wir in der Theorie schon besprochen haben, auf konkrete Beispiele anwenden können.

Wenn es dazu Fragen gibt, dann stell die Frage bitte gerne in den Kommentaren. Ich schau mir wie immer alles durch und beantworte alles.
Und ich freue mich, wenn du beim nächsten Mal wieder dabei bist.

Bis dann,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wie letzte Woche angekündigt, besprechen wir diesmal wichtige Rechenregeln für Vektoren. Insbesondere geht es um das Strecken und Stauchen sowie Addieren und Subtrahieren von Vektoren. Welche Möglichkeiten es bei der Multiplikation von Vektoren gibt, nämlich Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt und was eigentlich ein Ortsvektor ist sehen wir uns auch an.

Das Transkript für diesen Beitrag werde ich schnellstmöglich nachreichen – aufgrund der Weihnachtszeit bin ich hier ein wenig in Verzug. Bitte um Nachsicht dafür. In der Zwischenzeit kannst du ja das Video anschauen. Darin ist wie immer alles enthalten.

Wenn du zu diesem Beitrag hier Fragen hast, dann stelle die Fragen bitte
einfach in die Kommentare (hier oder auf YouTube). Ich werde alles so schnell
wie möglich beantworten.

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Ich hoffe, wir sehen uns beim nächsten Beitrag und wünsche auf diesem Wege schon einmal einen guten Start in das Jahr 2022.

Bis bald,
Markus