Vektorrechnung: Kreuzprodukt zweier Vektoren

Herzlich Willkommen!

Diesmal behandeln wir das Kreuzprodukt zweier Vektoren und sehen uns an was es bedeutet, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wir berechnen das Kreuzprodukt einerseits mittels der Determinante und andererseits als Alternative auch mit den Einheitsvektoren.

In unserem letzten konkreten Video zur Vektorrechnung haben wir uns mit dem Skalarprodukt beschäftigt. Heute möchten wir uns daher mit dem Kreuzprodukt beschäftigen und wie wir dieses konkret ausrechnen können und was es bedeutet, dass ein Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wenn dich die Inhalte auf dem Kanal weiterbringen, dann lass mir doch bitte ein Abo da und gib auch diesem Video einen Daumen hoch. Vielen Dank!

Herzlich willkommen zurück auf dem Kanal. Heute wollen wir uns also das Kreuzprodukt ansehen. Und dazu habe ich folgendes Beispiel vorbereitet: Wir haben hier zwei Vektoren, einen Vektor x, y und z. Ganz allgemein und einen Vektor p 1, 0 und 2 mit Zahlenwerten. Wir sollen davon die beiden möglichen Kreuzprodukte berechnen. Damit ist gemeint einmal r kreuz p und einmal p kreuz r,und uns dann überlegen, wie sich diese beiden Kreuzprodukte voneinander unterscheiden. Schauen wir uns das ganze also an. Wir berechnen das Kreuzprodukt in diesem Fall als Determinante. Wir haben also r kreuz p. Mittels der Determinantenregel, müssen wir eine Zeile Einheitsvektoren e1, e2, e3 einführen. Ich nenne das Koordinatensystem hier jetzt eins, zwei, drei. Natürlich lässt es sich analog auch als x, y, z bezeichnen. Und wir haben den Vektor r: x, y, z. Und unseren Vektor P: 1, 0, 2. Davon die Determinante berechnet. Hier ergibt sich. Als 1-Komponente einmal 2y. Und in die andere Richtung Null mal z mal 1, also 0. 2. Richtung e2 z mal 1 also +z. Und in die andere Richtung hier zwei mal x e2, also minus 2 x. Und die dritte Komponente entsprechend e mal x mal 0, also Null. Und der Minus Beitrag 1mal y e3, also minus y. Das ist unser Produkt r kreuz p. Wie sieht das Produkt p kreuz r aus? Ganz einfach wir müssen dazu nur entsprechend die beiden Zeilen der Determinante umdrehen. Also e1, e2, e3,die Zeile der Einheitsvektoren bleibt genau gleich und wir haben hier aber dann p zuerst, nämlich eins null zwei und dann erst r nämlich x, y und z. Und damit ergibt sich hier genau das Negative. Wer nämlich sich ein bisschen mit den Determinantenregeln auskennt, wird wissen, dass wenn wir zwei Zeilen miteinander vertauschen, in einer Determinante, sich genau das Vorzeichen umdreht. Schauen wir uns das konkret hier an und prüfen es nach. Wir haben nämlich e1 mal 0 mal z. Also der positive Eintrag 0. Negativer Eintrag y mal 2, also minus 2y. Genau das gleiche für die anderen Beiträge, e2: 2 mal x positiv und in die negative Richtung z mal eins e2, also minus z. Und für die 3 Komponente e3 mal 1 y, also plus y. Und x mal 0 e3 in die negative Richtung. Das ist also unser Kreuzprodukt p kreuz r. Wenn wir es vergleichen mit oben, sehen wir, wir haben genau das negative: r kreuz p ist gleich minus p kreuz r. Das bedeutet es, dass das Kreuzprodukt nicht kommunikativ ist. In unserem einfachen Fall hier haben wir es also einfach mit einem verdrehen des Vorzeichens zu tun. Wenn wir die Kreuzprodukt Beiträge entsprechend umdrehen. Als alternative Berechnungsmöglichkeit möchte ich gerne noch die Berechnungsmöglichkeit mit dem Zeilenvektor herzeigen. Exemplarisch für unser erstes Kreuzprodukt r kreuz p. Mit den Einheitsvektoren. Wenn wir das nämlich so anschreiben, dann haben wir für r kreuz p nichts anderes als den Vektor r als Zeilenvektor angeschrieben mit e1,e2, e3 und p genau das gleiche. Wir haben hier also x e1 plus y e2 plus z e3 Kreuzprodukt 1 e1 aus dem p Vektor, die 1 Komponente. Es gibt keine 2 Komponente im p-Vektor. Die ersparen wir uns in dieser Schreibweise also. Und 2 e3. Davon das Kreuzprodukt ausgeführt. Jetzt entweder mit dem Epsilon Tensor, wie ich das öfter in Beispielen vorführe, oder mit unserer grafischen Darstellung e1, e2, e3. Wir wissen hier in die Richtung des Uhrzeigersinn haben wir positive Kreuzprodukte und entgegen dem Uhrzeigersinn entsprechend negative Kreuzprodukte. Noch einmal zur Erinnerung: Es entsteht immer der Vektor, zu dem der Pfeil hin zeigt. Also e1 kreuz e2 wird plus e3. Wer das nochmal genauer erklärt haben möchte, bitte einfach das Video zur Vektortheorie ansehen. Wenn wir das Ganze also durchführen, dann sehen wir uns an e1 kreuz e1 wird natürlich 0 – verschwindet. e1 kreuz e3 hier 1 – 3 wird minus 2. Minus e2. Und e2 kreuz e1 auch hier noch einmal geschaut. e2 kreuz e1 ist minus e3. e2 kreuz e3, 2 – 3 wird jetzt + e1. Und so geht das Ganze weiter. Einfach durchführen. Auch noch für das e3: e3 kreuz e1 muss dann +e2 sein und e3 kreuz e3 verschwindet natürlich. Das heißt, wir haben im Endeffekt einen Vektor minus 2 xe2 aus dem Kreuz e1 mit e3. Die Faktoren 2 und x einfach vorne rausgezogen und für die Einheitsvektoren das Kreuzprodukt ausgeführt. Und den Einheitsvektor hingeschrieben mit dem richtigen Vorzeichen der aus diesem Kreuzprodukt entsteht. Und genau das gleiche für die anderen Kreuzprodukte, nämlich der Reihenfolge nach dann minus y e3 +2y e1plus z e2. Und dann können wir das ganze noch entsprechend richtig anordnen nach Einheitsvektoren eins zwei drei und landen bei 2y e1 plus die beiden e2 Einträge zusammengefasst z minus 2 x e2 und minus y e3. Und verglichen mit oben, gerne auch als Spaltenvektor noch einmal hingeschrieben, haben wir genau das Ergebnis von hier oben produziert. Somit lässt sich natürlich das Kreuzprodukt, wie wir schon besprochen haben, auf viele verschiedene Wege berechnen. Am besten ist es, man sucht sich einfach den Weg aus, der einem selbst am besten liegt und der für die eigene Rechenweise am besten geeignet ist. Wenn es dazu Fragen gibt, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen. Ich beantworte alle Fragen wie gehabt gerne und erkläre auch Dinge gerne mehrfach. Wenn ihr zu dieser Thematik noch andere Videos haben möchtet oder Ideen habt für Beispiele, die ich hier behandeln soll, dann schickt mir die Beispiele bitte gerne zu. Die E-Mail-Adresse findet ihr in den Kanalinfos bzw. auf meiner Webseite technischemechanik.com und wir behandeln dann diese Beispiele in einem weiteren Video. Wie gesagt, wenn euch die Inhalte gefallen, dann freue ich mich sehr über ein Abo des Kanals. Das hilft mir enorm weiter die Inhalte auch einem breiteren Publikum zur Verfügung zu stellen. Und bitte gebt auch gerne die Infos weiter, dass es diesen Kanal gibt, damit auch andere davon profitieren können. Vielen Dank! Wir sehen uns dann also beim nächsten Beitrag.

Bis dahin alles Gute,
Markus