Ableitung von Vektoren

Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag sehen wir uns an wie ein Vektor abgeleitet werden kann.

Einleitung
Ab einem gewissen Punkt in der technischen Mechanik spielen auch Ableitung und Integration von Vektoren eine gewisse Rolle. Wir wollen uns also in den letzten Beispielen zur Vektorrechnung noch ansehen, wie wir einen Vektor ableiten, wie wir ein Vektorfeld ableiten und wie wir einen Vektor integrieren können. Heute geht es darum, Vektoren abzuleiten. Wie das konkret funktioniert, das sehen wir uns gleich an.

Beispielangabe
Das Ableiten von Vektoren funktioniert im Grunde genau gleich wie das Ableiten von Funktionen, mit dem einzigen Unterschied, dass wir auch noch Komponenten des Vektors beibehalten. Wir wollen uns das an dem gegebenen Beispiel hier ansehen. Wir haben nämlich einen Vektor A, der von der Zeit abhängt, und wir haben einen Vektor B, der von der Zeit abhängt. Und wir möchten gerne die totalen Ableitungen der beiden Vektoren bestimmen und dann auch die Ableitung des Skalarprodukts dieser beiden Vektoren. Das funktioniert, wie wir sehen werden, sehr einfach. Wenn wir wissen, wie Polynome abzuleiten sind, und das sollte ja in der Regel kein großes Problem sein.

Ableitung von A
Schauen wir uns also einmal den Vektor A an. Die Zeitableitung von A. dA als Funktion der Zeit nach der Zeit abgeleitet ist. Die Zeitableitung des Vektors abgeschrieben. 5 t in 1 Richtung + 8 t Quadrat in 2 Richtung minus 6 t in drei Richtungen bzw. analog einfach als Spaltenvektor angeschrieben, je nach Belieben. Und das heißt, wir machen einfach die Ableitung der einzelnen Richtungen 1, 2 und 3 und landen also wieder bei einem Vektor, sinnvollerweise. 5 t abgeleitet ergibt 5 e1. 8 t Quadrat abgeleitet wir wissen t Quadrat abgeleitet gibt zweimal t zweimal 8 ist 16, also 16 t in die 2 Richtung und minus sechs t abgeleitet ergibt entsprechend minus 6 in die 3 Richtung.

Ableitung von B
Genau das gleiche für den Vektor B. dB von t nach dt ist demnach dt unseres Vektors B von oben abgeschrieben. Minus 3 t der dritten in 1 Richtung +2 t Quadrat in 2 Richtung minus 10 t in 3 Richtung. Auch hier wieder jede einzelne Komponente entsprechend abgeleitet minus 3 t der dritten t der dritten abgeleitet ist dreimal t Quadrat dreimal drei ist neun, also minus 9 t Quadrat in eins Richtung Plus hier kommt 2 herunter; 4 t in 2 Richtung und minus 10 in 3 Richtung. Das t abgeleitet wird zu eins. Auch hier wieder die beiden Vektoren.

Ableitung des Skalarprodukts
Dann führen wir die Ableitung der Skalarprodukts aus. Dazu müssen wir natürlich zuerst das Skalarprodukt durchführen A in B skalar und davon dann die Ableitung. Wir machen uns zunutze, dass die beiden Vektoren bereits oben in der Klammer stehen, machen also das Skalarprodukt aus diesen jeweiligen Komponenten hier. Wir sehen also, wir haben fünf t mal minus drei t der dritten ist jeweils die 1-Einrichtung. Skalar fällt natürlich dann die 1-Einrichtung weg, also minus 15 und t mal t der dritten t der vierten plus 16 t der vierten aus acht t Quadrat, zwei t Quadrat und 60 t Quadrat aus minus sechs t Mal minus 10 t. Davon wieder die Ableitung gebildet ergibt dann minus 60 t der Dritten aus dem ersten Term plus 64 t der Dritten aus dem zweiten Term plus 120 t aus dem dritten Term. Und dann entsprechend die t der Dritten zusammengefasst ergibt 4 t der Dritten plus 120 t. Das sind unsere drei Ergebnisse. Die Ableitungen der Einzelvektoren und die Ableitung des Skalarprodukts.

Wenn es Fragen dazu gibt, biete gerne die Fragen jederzeit stellen und ich hoffe, das Video hat dir weitergeholfen und wir sehen uns beim nächsten Video wieder.

Bis dahin alles Gute,
Markus