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Lagrange: Massen auf Doppelkeil

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Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beispiel geht es um die Bewegung zweier Massen auf einem Doppelkeil, die mit einem Seil verbunden sind. Hier berechnen wir auch ausnahmsweise eine Kraft im Rahmen der Lagrange-Mechanik.

Zwei Massen m1 und m2 bewegen sich unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei auf einem Keil. Sie seien durch einen masselosen Faden der Länge l = r1 + r2 miteinander verbunden.

Ges.:
*Formulieren Sie die Zwangsbedingungen. Von welchem Typ sind diese? Wie viele Freiheitsgrade s besitzt das System?
*Wählen Sie passende generalisierte Koordinaten. Geben Sie die Transformationsformeln an.
*Formulieren Sie die Lagrange-Funktion.
*Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese unter Berücksichtigung der Randbedingungen r1 (t=0) = r0 und v1(t=0) = 0. Stellen Sie außerdem die Gleichgewichtsbedingung für das System auf.
*Benutzen Sie die Zwangsbedingung der konstanten Fadenlänge nicht als holonome Zwangsbedingung zur Eliminierung von Variablen. Benutzen Sie stattdessen einen Lagrange’schen Multiplikator λ zur Festlegung der Fadenkraft. Wie groß ist diese im Gleichgewicht?

Aufgabe 1.2.11 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Bd.2, Analytische Mechanik, 4. verb. Auflage, 1999, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Die Angabe gibt es auch hier wieder als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt also auch dieses Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

lagrange-l05Herunterladen

In diesem Beispiel zur Lagrange-Mechanik sehen wir uns im Detail an, was Zwangsbedingungen eigentlich sind und wie diese aufgestellt werden. Dann wählen wir anhand dieser Diskussion geeignete generalisierte Koordinaten und stellen wie üblich kinetische und potentielle Energie sowie die Lagrange-Funktion auf. Die Bewegungsgleichung (in diesem Fall ist es nur eine) bestimmen wir aus der Euler-Lagrange-Gleichung und lösen diese dann auch um das Bewegungs-Zeit-Gesetz zu bestimmen. Dann überlegen wir uns wie das allgemeine Gleichgewicht im System aussehen wird. Am Ende bestimmen wir auch noch die Fadenkraft mithilfe eines sogenannten Lagrange-Multiplikators, also unter zu Hilfenahme einer Zwangskraft. Wie diese Rechnung Schritt-für-Schritt funktioniert erkläre ich euch wieder im angehängten YouTube Video.

Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Musterlösung gefallen? Dann lasst bitte ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald,
Markus

Ebener Stoß zwischen Kugel und Stab

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Herzlich Willkommen!

Wie gestern bereits gesagt, werden wir in den nächsten Tagen einige schon auf YouTube gepostete Beispiele nachholen. Das zweite dieser Beispiele ist ein ebener Stoßvorgang zwischen einer Kugel und einem Stab mit folgender Angabe:

Eine als Punktmasse zu betrachtende Kugel mit Masse m1 trifft mit der Geschwindigkeit v1 auf eine im Punkt A frei drehbar gelagerte zylindrische Stange mit der Masse m2 und der Länge L. Vor dem Stoß ist die Stange in Ruhe. Der Stoßpunkt befindet sich im Abstand h vom Lager und die Stoßziffer ist ε.

Geg.:
m_1 = 5 kg, m_2 = 7 kg, L = 0.4 m, ε = 0.7, h = 0.3 m, v_1 = 3 e_x m/s

Ges.:
*die Geschwindigkeit v_1′ der Kugel unmittelbar nach dem Stoß.
*die Winkelgeschwindigkeit ω‘ des Stabes unmittelbar nach dem Stoß.
*der Stoßantrieb S_A auf das Lager in A.

Die Angabe gibt es wie üblich als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.

stoss-s11Herunterladen

Fast immer in der Technischen Mechanik beginnen wir mit einem Freikörperbild. So auch hier. Zusätzlich erkläre ich euch ein wenig theoretischen Hintergrund zum Stoßantrieb. Nachdem das geklärt ist, geht es daran den Drehimpuls vor und nach dem Stoß aufzustellen und den Drehimpulssatz für das Gesamtsystem anzuschreiben. Als zweite Bestimmungsgleichung für das System verwenden wir den Impulssatz, welchen wir ebenfalls für das Gesamtsystem anschreiben. Die dritte und letzte Gleichung ist dann die Newton’sche Stoßhypothese, wofür wir ebenfalls ein wenig Theorie diskutieren. Danach sind wir bereit das Gleichungssystem aufzulösen und die gesuchten Größen zu berechnen. Wie das alles im Detail funktioniert erkläre ich euch wieder im verlinkten YouTube Video.

Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis morgen mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Lagrange: Schwingung eines physikalischen Doppelpendels

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Herzlich Willkommen!

Ich möchte die Gelegenheit nutzen und in den nächsten Tagen Beiträge zu bereits vor dem Neustart des Blogs veröffentlichten Videos nachholen. Wir beginnen mit einem Beispiel zur Lagrange-Mechanik, nämlich dem physikalischen Doppelpendel.

Ein ebenes physikalisches Doppelpendel aus schlanken Stäben mit den Angaben laut Skizze (Stablängen a, Massen m1, m2, Schwerpunktsabstände s1, s2 und Pendelwinkel φ1, φ2) soll betrachtet werden.

Ges.:
*Lagrange-Funktion des Systems.
*Bewegungsgleichungen in den generalisierten Koordinaten φ1 und φ2.
*Wie kann der Spezialfall erreicht werden, dass das unter Pendel keine Relativbewegung zum oberen Pendel vollführt, das System also als einfaches Pendel schwingt?

Die Angabe gibt es auch hier wieder als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt also das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.

lagrange-l11Herunterladen

Wie in der Lagrange-Mechanik üblich stellen wir zuerst die relevanten Koordinaten als Funktion der generalisierten Koordinaten auf. Anschließend können diese Koordinaten nach der Zeit abgeleitet werden um die Geschwindigkeiten zu bestimmen. Die Berechnung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems führt schließlich zur Lagrange-Funktion. Über die Euler-Lagrange-Gleichung lassen sich dann die Bewegungsgleichungen berechnen. Am Ende des Beispiels überlegen wir uns wie der Spezialfall einer einfachen Pendelschwingung erreicht werden kann. An dieser Stelle gibt es auch eine spannende historische Anmerkung. Wie die Rechnung detailliert abläuft erkläre ich euch im verlinkten YouTube Video.

Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Viel Spaß mit diesem Lagrange Beispiel und bis demnächst,
Markus

Relativkinetik: Masse auf rotierendem Winkelhebel

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Herzlich Willkommen!

Heute wollen wir uns ein Beispiel aus der Relativkinetik ansehen. Die Angabe dazu lautet folgendermaßen:

Im betrachteten Augenblick wird eine Punktmasse m durch ein Seil mit der Geschwindigkeit v=const. gegen den gegebenen Winkelhebel bewegt. Der Winkelhebel seinerseits dreht sich mit ω=const. um die Achse durch 0.

Geg.:
l, s, v=const., ω=const., m

Ges.:
*Absolutbeschleunigung der Masse m dargestellt im mitrotierenden e_1, e_2, e_3-Koordinatensystem mit Hilfe der Kinematik der Relativbewegung.
*Kräfte auf die Masse m von Seil und Stange bei reibungsfreier Führung.

Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen wir die Kinematik der Relativbewegung nutzen. In einem ersten Schritt bestimmen wir die absolute Beschleunigung der Masse. Anschließend wenden wir den Schwerpunktsatz an um die Kräfte auf die Masse zu berechnen. Wie das genau geht, erkläre ich ausführlich im aktuellen YouTube Video.

Wenn ihr Fragen habt schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen schnellstmöglich beantworten.

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Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus