Monthly Archives: January 2023

Energiesatz: Halbzylinderschale rollt auf Unterlage

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon bei vorhergehenden Beispielen zur Thematik eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die Angabe vermuten lässt.

Eine dünne Halbzylinderschale der Masse m rollt ohne zu rutschen auf einer Ebene. Die Schale wird dabei aus der dargestellten Lage aus der Ruhe losgelassen.

Bestimme mittels Energiesatz:
*die Winkelgeschwindigkeit φ˙(φ) in Abhängigkeit der Lage φ
*den Winkel φ bei dem die Winkelgeschwindigkeit ihr Maximum erreicht.

Die Angabe als Download gibt es hier. Probiere vielleicht zuerst die Lösung selbst zu finden und schaue dir dann erst meine Musterlösung an. Das hilft in der Regel enorm beim Verständnis.

ArbeitEnergie-AE05Herunterladen

Wir haben in diesem Fall jeweils die Energien zum Startzeitpunkt sowie für eine beliebige Winkellage aufzustellen. Dafür benötigen wir zuvor die Winkelgeschwindigkeit der Halbzylinderschale (über das analytische Prinzip einfach errechenbar) sowie auch die Lage des Schwerpunkts. Außerdem wird es am einfachsten sein die kinetische Energie der Rotation zu verwenden, also brauchen wir auch noch das Massenträgheitsmoment der Schale. Ist das alles bestimmt lassen sich die Energieterme einfach hinschreiben und über Energieerhaltung miteinander verknüpfen. Damit erhalten wir direkt einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels selbst. Im Detail sprechen wir wieder im Video über die Lösung. Viel Spaß beim Anschauen!


Es gibt natürlich auch wieder die Musterlösung als pdf – lade es gerne herunter.

AE05Herunterladen

Solltest du fragen haben bitte schreibe gerne hier oder auf YouTube einen Kommentar. Mich interessiert natürlich auch was du generell zu diesem Beispiel und meiner Musterlösung sagst. Gerne jederzeit melden.

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Alles Gute, viel Spaß und bis bald,
Markus

Lagrange: Kreisscheibe mit Unwucht an Feder

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Herzlich Willkommen!

Im vorliegenden Beispiel zum Thema Schwingungen, wollen wir mit der Methode von Lagrange eine Rolle (Kreisscheibe) mit einer Unwucht betrachten. Die Rolle hängt zusätzlich an einer Feder und das System führt damit eine Schwingung aus.

Eine in der skizzierten Weise federnd aufgehängte, homogene Kreisscheibe mit Masse M und Radius r rollt auf einer waagrechten Unterlage ohne zu gleiten. Am Umfang der Scheibe befindet sich eine als Punktmasse anzusehende Unwucht der Masse m. Für x=0 ist die Feder mit Federkonstante c vollkommen entspannt und die Unwucht befindet sich senkrecht unter dem Scheibenschwerpunkt.

Bestimme für dieses System:
*die generalisierte Koordinate und Geschwindigkeit.
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems sowie dessen Lagrange Funktion.
*die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichung.
*die vereinfachte Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen x, also x/r und x/a sehr klein

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Lagrange-L17Herunterladen

Das Beispiele lässt sich ganz klassisch nach dem Schema von Lagrange lösen. Wir wählen als generalisierte Koordinate die x-Auslenkung der Kreisscheibe, welche wir mit dem Rollwinkel/Ausslenkungswinkel der Unwucht in Verbindung bringen können. Dann stellen wir Koordinaten, Geschwindigkeiten sowie kinetische und potentielle Energie auf. Einzig bei der zeitlich veränderlichen Federlänge müssen wir ein wenig Geometrie ins Spiel bringen und diese Länge entsprechend durch x und die Abmessung a ausdrücken. Danach lässt sich die Lagrangefunktion anschreiben und die Bewegungsgleichung (es gibt hier ausnahmsweise nur eine) mittels Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. Zum Schluss sehen wir uns noch eine linearisierte Form der Bewegungsgleichung an. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wer nicht so gerne Videos ansieht, kann auch hier die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

L17Herunterladen

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Relativkinetik: Drehkran mit Wagen

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Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag geht es wieder um einen Klassiker der Relativkinetik, nämlich einen Drehkran mit einem an Seilen geführten Wagen.

Ein Drehkran laut Skizze ist gegeben. Der Wagen (1) darf näherungsweise als Punktmasse m betrachtet werden, deren Ortsvektor r, Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨ gegeben sind, und die zudem abhebesicher und reibungsfrei geführt ist. Der Schwenkarm (2) bewegt sich entlang des Winkels ϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ und der Winkelbeschleunigung ϕ¨. Die Drehsäule (3) rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω und der Winkelbeschleunigung Ω˙.

Ges.:
*Die Differenz der Seilkräfte S2−S1.
*Die Kraft des Schwenkarmes auf den Wagen.

Hier wie gewohnt zuerst einmal die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R12Herunterladen

Dieses Beispiel ist ziemlich Standard, was den Rechenweg betrifft. Wir müssen uns nur zuerst auf ein Relativsystem festlegen. Zwei offensichtliche Möglichkeiten dafür bespreche ich im Video. Danach stellen wir den Ortsvektor sowie den Vektor der Führungsrotation auf und bestimmen sämtliche Beschleunigungen. Im Anschluss rechnen wir über den Schwerpunktsatz die gesuchten Kräfte aus. Klingt einfach? Ist es im Grunde auch. Die Details zur Rechnung erfahrt ihr wie immer im Video. Wenn ihr lieber zuerst selbst grübelt, könnt ihr natürlich auch gerne den Rechenweg als pdf herunterladen. Viel Spaß mit dem Beispiel!

R12Herunterladen

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg seid ihr herzlich eingeladen einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich jederzeit über Fragen.

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Bis bald,
Markus