Herzlich Willkommen!

Wir fügen wieder einmal ein Kreiselbeispiel zu unserem Repertoire hinzu. Diesmal geht es um eine der klassischsten Anwendung der Kreiseldynamik, nämlich eine Kollermühle. Wie ihr wahrscheinlich wisst, wird dieses Gerät in der Zerkleinerungstechnik (z.B. um Mehl zu mahlen) verwendet. Warum das überhaupt funktioniert, sollte das heutige Beispiel sehr anschaulich zeigen.

Eine Kollermühle besteht aus einer drehbar gelagerten, dünnen Kreisscheibe (Masse m, Radius ρ0), die über einen masselosen Stab der Länge l=2ρ0 aus der Ruhelage mit konstanter Winkelbeschleunigung α beschleunigt wird, wobei gilt ω0(t)=αt.

Bestimme für reines Rollen zwischen Scheibe und Unterlage:
*das erforderliche äußere Moment M im mit der Scheibe mitrotierenden körperfesten Koordinatensystem e–1-e–2-e–3.
*die Zeit t1, bei der die Anpresskraft zwischen Scheibe und Unterlage FN=2mg beträgt.
*den erforderlichen minimalen Reibungskoeffizienten μ zwischen Scheibe und Unterlage, sodass während des gesamten Beschleunigungsvorganges reines Rollen sichergestellt ist.

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

Wir können hier laut Angabe davon ausgehen, dass die Stange masselos ist, weil sie als sehr leicht im Vergleich zur Kreisscheibe angenommen wird. Daher reicht es aus, die relevanten Gleichungen für die Scheibe – allerdings im gegebenen e1-e2-e3-Koordinatensystem – anzuschreiben. Wir benötigen also den Drehimpulssatz der Scheibe. Damit wir diesen aufstellen können, brauchen wir wiederum die Winkelgeschwindigkeit und den Trägheitstensor der Kreisscheibe. Aus dem fertigen Drehimpulssatz lässt sich schließlich sowohl die gesuchte Zeit t1, als auch der minimal notwendige Reibungskoeffizient zwischen Scheibe und Unterlage bestimmen, sodass wir jederzeit reines Rollen haben. Wie immer findest du alle Details im verlinkten Video.

Bei Fragen meldet euch sehr gerne jederzeit bei mir. Ich versuche alles schnellstmöglich zu beantworten.

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Bis bald,
Markus

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Kreiseldynamik ist derzeit noch eine recht unterrepräsentierte Spezies hier auf der Website. Dies soll sich im Laufe der Zeit ändern, daher gibt es heute wieder einmal ein Kreiselbeispiel mit folgender Angabe.

In einer Gabel, die mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω rotiert, ist ein Rotor gelagert, der sich seinerseits mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωr relativ zur Gabel dreht. Der Rotor besitzt die Hauptträgheitsmomente: I_x = I_y = I_z = I und das Gewicht G. Für die Gabel sind die Abmessungen l₁, l₂ und l gegeben.

Errechne im gabelfesten xyz−System:
*den Drehimpuls des Rotors bezüglich S.
*die Auflagerkräfte in C und D.
*die Auflagerkräfte in A und B zufolge des Rotors.

Quelle: Aufgabe 4.4.1 (S. 41) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

Es handelt sich in diesem Fall um ein relativ simples Kreiselbeispiel. Nachdem die Rotationen von Rotor und Gabel normal zueinander stehen ergibt sich ein kompakter Drehimpulsvektor, der wiederum zu einem sehr kompakten Drehimpulssatz führt. Anschließend benötigen wir noch den Schwerpunktsatz als zweite Gleichung, der allerdings auch zum Kräftegleichgewicht wird, weil es keine Schwerpunktsbewegung gibt. Damit lassen sich schon alle vier Lagerreaktionen berechnen. Die Schritt-für-Schritt Erklärung findet ihr im Video. Viel Spaß damit.

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Bis bald,
Markus

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Das letzte Beispiel zur Kreiseldynamik ist schon eine ganze Weile her, deshalb wollen wir uns heute wieder einmal ein solches ansehen.

Ein zylindrischer, homogener Stab (kein dünner Stab) ist in einer rotierenden Gabel reibungsfrei drehbar gelagert und über eine Drehfeder mit dieser verbunden.

Geg.:
homogener Stab: Länge l, Durchmesser 2r, Masse m
lineare Drehfeder: Drehfederkonstante cT, vollkommen entspannt bei ϕ=0
Gabel: Winkelgeschwindigkeit Ω, die durch ein entsprechendes Antriebsmoment MA konstant gehalten wird.

Ges.:
*Wie groß darf Ω höchstens sein, damit der Stab für kleine Winkel ϕ eine Schwingung ausführt?
*Welchen Wert muss das Antriebsmoment MA(ϕ) bei reibungsfreier Lagerung der Gabel annehmen. Anfangsbedingung: ϕ=0, ϕ˙=ν

Hinweis: Verwenden Sie die Euler’schen Kreiselgleichungen.

Quelle: Aufgabe 4.4.4 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt ihr hier:

Wie immer ist es wichtig sich anhand einer Skizze, d.h. eines Freikörperbilds bewusst zu machen, welche Kräfte und Momente sowie Geschwindigkeiten und Beschleunigungen im System wirken. Dann können wir hier auch schon die Euler’schen Kreiselgleichungen anschreiben, deren einzelne Terme bestimmen und in die allgemeine Form der Gleichungen einsetzen. Dadurch gelangen wir zu einem Gleichungssystem aus dem wir eine Bewegungsgleichung erhalten. Am Ende müssen wir uns noch darüber Gedanken machen, wann es sich bei dieser Bewegungsgleichung um eine Schwingungsgleichung handelt. All das besprechen wir wieder in voller Schönheit im verlinkten Video.

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Markus

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Wir widmen uns wieder einem Kreiselbeispiel. Darin wollen wir heute die Lager einer idealisierten Mischmaschine dynamisch auslegen. Folgendes ist gegeben:

Ein Rotor sei in einem rotierenden Rahmen gelagert. Die Masse des Rotors ist m, seine Massenträgheitsmomente Ix sowie Iy = Iz und seine Winkelgeschwindigkeit relativ zum Rahmen ωR. Für den Rahmen sind die Abmessungen l, der Winkel α sowie seine Winkelgeschwindigkeit Ω und Winkelbeschleunigung Ω˙ gegeben. Alle Lager sind als reibungsfrei anzunehmen.

Ges.:
*Die Bestimmungsgleichungen für die Kräfte auf den Rotor in A und B dargestellt im rahmenfesten x-y-z-System.
*Die relative Winkelbeschleunigung ω˙R des Rotors.

Quelle: Aufgabe 4.4.2 (S. 41) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download findet ihr wie immer hier:

Wie meistens, starten wir mit einem Freikörperbild. Nachdem wir uns darüber im Klaren sind wie die Winkelgeschwindigkeiten im gegeben Koordinatensystem wirken, können wir den Drehimpulsvektor anschreiben. Für den Drehimpulssatz benötigen wir die Zeitableitung dieses Drehimpulsvektors. Diesmal haben wir auch eine nicht verschwindende partielle Zeitableitung. Der zweite Term des Drehimpulssatzes ist der Vektor der äußeren Momente. Die Momente entstehen aus den Lagerkräften und ermöglichen uns damit die Bestimmung eben dieser Lagerkräfte. Am Ende bestimmen wir noch ω_R und stellen fest, dass dessen x-Komponente konstant sein muss. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir ausführlich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Markus