Fläche eines Dreiecks aus Vektoren

Herzlich Willkommen!

In diesem Beispiel wollen wir uns ansehen wie die Fläche eines Dreiecks aus zwei Vektoren berechnet werden kann. Dabei bestimmen wir ganz nebenbei auch die Ortsvektoren zwischen zwei Punkten.

Einleitung
Wir haben uns jetzt schon einige Beispiele zur Vektorrechnung angesehen und wollen heute weitermachen mit einer Kombination aus zwei Ansätzen. Wir wollen nämlich die Fläche eines Dreiecks bestimmen, von dem wir nur die Eckpunkte kennen. Wie das genau funktioniert, das sehen wir uns an.

Angabe
Wir schauen uns also heute ein Dreieck an, von dem wir nur die Eckpunkte kennen und wir möchten gerne die Fläche dieses Dreiecks bestimmen. Die konkrete Angabe lautet: Die Eckpunkte des Dreiecks sind A, B und C jeweils als Punkte mit dem Abstand Meter in einem Koordinatensystem angegeben.

Strategie
Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist: Wie bestimmen wir überhaupt die Fläche eines Dreiecks, das wir aus Vektoren aufgebaut haben? Und die einfache Antwort ist, dass wir einfach das Rechteck berechnen, das aus diesen beiden Vektoren entsteht. Genauso wie bei dem letzten Beispiel die Grundfläche unseres Volumenkörpers. Und daraus dann die Hälfte nehmen und damit das Dreieck bestimmt haben. Wir zeichnen uns das Ganze am besten einmal auf, und zwar so, dass wir hier einen Vektor haben der zum Punkt A hin zeigt, den ich r_AC nenne. Das wäre unser Vektor aus diesen beiden Punkten oben hier C und einen mit dem Startpunkt – Schaft – B. und der heißt entsprechend r_AB. Und das Rechteck, das aus diesen beiden Vektoren entsteht, sieht dann in etwa so aus. Und um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen, nehmen wir einfach die halbe Fläche des Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks, wissen wir, entsteht aus dem Kreuzprodukt. Damit ist die Fläche des Dreiecks nichts anderes als ein halb Betrag natürlich r_AB Vektor Kreuzprodukt mit r_AC Vektor. Erste wichtige Sache.

Ortsvektoren
Die zweite wichtige Sache ist jetzt: Wie bestimmen wir eigentlich diese beiden Vektoren? Wir haben ja nur die Punkte A, B und C gegeben. Und hier kommen die Ortsvektoren ins Spiel, die wir auch in unserem Theorievideo zur Berechnung diskutiert haben. Wer sich daran nicht mehr erinnern kann, einfach noch einmal nachsehen. Die Ortsvektoren berechnen sich als Differenz Spitze minus Schaft. Das heißt, wir brauchen diese beiden Vektoren hier. r_AB Vektor ist einfach der Punkt A die Spitze unseres Vektors minus Punkt B. Die Koordinaten dieser beiden Punkte natürlich. Und die gleich als Zeilenvektor angeschrieben, von oben abgeschrieben, lauten drei, sechs und zehn Meter ist A. minus acht, vier und minus zwei Meter ist B. Einfach diese Subtraktion durchgeführt, ergibt sich dann ein Vektor minus 5, zwei und 12 Meter. Für unser r_AB. r_AC ist A minus C. Spitze ist nach wie vor A Schaft ist jetzt C. Also der gleiche Vektor für A 3, 6, 10 minus 1, 2, 3 für C. Wieder alles in Meter ist dann 2, vier und sieben. Meter. So, damit haben wir unsere beiden Vektoren für das Kreuzprodukt hier oben und können das Kreuzprodukt einfach ausführen wieder mit der Determinantenschreibweise r_AB kreuz r_AC. Es macht hier, wie wir sehen, auch keinen Unterschied, ob wir r_AB Kreuz r_AC oder umgekehrt berechnen, weil wir sowieso den Betrag davon verwenden. Und das Kreuzprodukt ist zwar nicht kommunikativ, aber es dreht sich in unserem einfachen Fall hier in dieser einfachen Geometrie ja nur das Vorzeichen um. Und damit ist der Betrag wieder genau das gleiche. Macht auch Sinn, wenn wir uns die Skizze anschauen. Wir haben also hier wieder Einheitsvektor eins, zwei, drei Koordinatensystem und die Einträge minus 5, 2, 12 von r_AB und 2, 4, 7 von r_AC. Das ganze Kreuzprodukt ausgeführt. Ich glaube, das ist mittlerweile klar. Zwei mal sieben minus zwölf mal vier in der 1 Komponente und 12 mal zwei minus minus 5 mal 4, also plus 5 mal 7 entschuldigung, ist die 2- Komponente. Und minus 5 mal 4 jetzt hier in der 3- komponente. Minus zwei mal zwei. Das Ganze noch ausgerechnet ergibt sich minus 34, 59, und Minus 24 Quadratmeter wohlgemerkt. Das ist jetzt offensichtlich noch ein Vektor, war ja auch zu erwarten aus einem Kreuzprodukt entsteht ein Vektor. Um den Betrag zu bestimmen, müssen wir jetzt noch den Pythagoras anwenden, nämlich Betrag r_AB kreuz r_AC. Ist die Wurzel aus den Komponenten zum Quadrat. 34 Quadrat minus 34 zum Quadrat ist plus 34 zum Quadrat, 59 zum Quadrat. Und auch hier das Minus bei 24 gleich weggelassen plus 24 Quadrat – Wurzel daraus. Und das ergibt 72,2. Nach wie vor Quadratmeter. Das ist jetzt die Fläche des Rechtecks aus den beiden Vektoren und die Fläche des Dreiecks aus den beiden Vektoren ist damit einfach die Hälfte davon. Noch einmal von oben die Flächenformel abgeschrieben und die Hälfte von 72,2 ist 36,1 Quadratmeter. Das ist die Fläche unseres gesuchten Dreiecks aus diesen beiden Eckpunkten A, B, C.

Zusammenfassung
Also zur Wiederholung wenn die Punkte gegeben sind, muss natürlich zuerst der Ortsvektor bestimmt werden zwischen diesen Punkten, aus denen der Körper aufgebaut ist, und dann können wir vektoriell die Fläche dieses Dreiecks oder welcher Körper es auch immer ist bestimmen. Das würde genauso analog funktionieren für einen Volumenskörper, wenn wir die entsprechenden Punkte gegeben haben und uns die drei Vektoren, die wir für das Spaltprodukte dann benötigen, entsprechend ausrechnen können. Ich hoffe, das war wieder verständlich. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren fragen. Und ich hoffe, wir sehen uns dann beim nächsten Mal.

Bis dahin alles Gute,
Markus