Notation in der Technischen Mechanik (Skalar, Vektor, Matrix, Tensor)

Herzlich Willkommen!

Die Mathematik ist die Sprache der technischen Mechanik und die Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil davon. Wir sehen uns in diesem Beitrag an wie wir Vektoren zeitsparend anschreiben können und stoßen dabei auf die sogenannte Tensornotation.

Außerdem diskutieren wir was ein Vektor überhaupt ist, was es mit Koordinatensystemen und Einheitsvektoren auf sich hat und wie wir die Komponenten eines Vektors in einem Koordinatensystem bestimmen können.

Schließlich besprechen wir auch noch wie der Betrag eines Vektors in der ebene und auch im Raum bestimmt werden kann. Natürlich gibt es noch zahlreiche weitere Möglichkeiten mit Vektoren zu rechnen. Diese schauen wir uns dann in den folgenden Beiträgen zur Vektorrechnung an und erarbeiten uns damit die mathematische Basis für die technische Mechanik.

Du hast vielleicht im Urlaub schon einmal mit jemandem gesprochen, der nicht deine eigene Sprache spricht. Hat das gut funktioniert? Vielleicht kann man sich mit Englisch behelfen, wenn beide Englisch können. Aber besser wäre es doch, wenn beide dieselbe Sprache sprechen.

Und genau das gleiche gilt für die technische Mechanik. Die Sprache der technischen Mechanik ist die Mathematik. Und ein sehr wichtiger Teil der Mathematik, den wir insbesondere zu Beginn der technischen Mechanik brauchen, ist die Vektorrechnung.

Wie schreiben wir einen Vektor eigentlich auf?

Insbesondere in der technischen Mechanik haben wir eine Notation, die vielleicht ein bisschen davon abweicht, was du gewohnt bist. Es geht darum, dass wir verschiedene Größen haben. Wir können Skalare haben, wir können Vektoren haben, wir können Matrizen haben und wir wollen all diese Größen in eine gemeinsame Notation zusammenfassen.

Wir beginnen also bei Null, nämlich bei einem Skalar.
Wir haben auch in der Mechanik skalare Größen, nämlich Masse, Länge, Flächeninhalte, Volumina und so weiter. Alle skalaren Größen haben gemeinsam, dass sie als Zahl ausdrückbar sind. Wir fassen das alles was wir jetzt besprechen zusammen in die sogenannte Tensornotation. Wir haben hier bei den Skalaren sogenannte Tensoren 0. Stufe. Deswegen auch vorher der Hinweis: Wir beginnen bei Null – Tensor 0.Stufe.

Wir haben aber nicht nur Skalare, sondern wir haben natürlich auch Vektoren in der
technischen Mechanik. Also z.B. einen Kraftvektor, einen Momentenvektor, einen Abstandsvektor r, aber auch in der Dynamik, einen Geschwindigkeitsvektor oder einen Beschleunigungsvektor. Und so weiter. Bei den Vektoren wissen wir, diese haben Betrag und Richtung und natürlich eine Wirkungslinie. Wir besprechen das dann gleich im Detail.
Wir können einen Vektor also in Komponenten ausdrücken. Und der Vektor ist ein Tensor erster Stufe.

Und dann gibt es in der Mechanik natürlich auch noch Größen wie Spannungen, Dehnungen. Und die werden als Matrix entsprechend angeschrieben. Nämlich, eine Dehnungsmatrix, Dehnungstensor Epsilon Spannungstensor, Spannungsmatrix Sigma. Und so weiter. Und die nennen wir Tensoren zweiter Stufe. Hier haben wir jetzt sozusagen ein Gebilde, das sowohl Spalten als auch Zeilen enthält. Eine Matrix, wie du sie kennst. Also zwei Dimensionen sozusagen. Und deswegen Tensor zweiter Stufe.

Und jetzt wird hoffentlich auch die Notation klar. Wir verwenden nämlich hier am Kanal insbesondere, aber auch oft in der technischen Mechanik im Allgemeinen eine Notation, die genau die Stufe des Tensors widerspiegelt.

Wir haben: nullte Stufe. Keinen Unterstrich.

Wir haben: erste Stufe. Ein Unterstrich.

Und wir haben: zweite Stufe. Zwei Unterstriche.

Damit ersparen wir uns, dass wir unterschiedlich notieren, ob etwas ein Vektor ist oder eine Matrix mit z.B. diesem Dach-Symbol, wie es oft in der Physik zu finden ist oder irgendetwas Fettdrucken. Wir haben einfach ein Unterstrich Vektor, zwei Unterstriche Matrix und so weiter.

Und dieses und so weiter gibt es in der technischen Mechanik auch, nämlich
einen mit vier Unterstrichen. Ein Tensor vierter Stufe. Das ist der bekannte E-Modul Tensor. Der E-Modul Tensor bzw. der E-Modul wird uns dann später noch begegnen, wenn wir über das Hooke’sche Gesetz sprechen. Lineare Elastizität. Du kennst das Ganze vielleicht in der
einfachsten Form, nämlich als zwei skalare Werte: E-Modul als Zahlenwert und Querkontraktionszahl nü als zweiten Zahlenwert, um das linear elastische Materialverhalten zu beschreiben. In dieser Notation als Tensor hat der E-Modul Tensor im Allgemeinen 81 Komponenten. Man braucht zwar nie diese 81 Komponenten, weil auch Symmetrien auftreten, aber es gibt im Allgemeinen 81 Einträge in diesem vierstufigen Tensor. Dazu aber später mehr.

Was ist ein Vektor eigentlich?

Nachdem wir jetzt wissen, wie wir einen Vektor aufschreiben, wollen wir uns
überlegen, was ein Vektor eigentlich ist. Und ich gehe davon aus, dass die meisten
schon Vektoren gesehen haben, wissen, wie man einen Vektor im Grunde hinschreibt,
dass er Komponenten hat usw. Wir wollen uns das Ganze aber trotzdem im Detail noch einmal anschauen.

Was ist also ein Vektor?
Ein Vektor ist ein Objekt, das eine Wirkungslinie besitzt. Ein Stift beispielsweise hat eine Wirkungslinie. Einen Betrag. Beginn und Ende des Stifts. Und er hat eine Richtung, in die er zeigt. Diese drei Größen definieren unseren Vektor – Stift.

Wenn wir uns das genauer aufzeichnen, dann hätten wir also hier eine Wirkungslinie und auf dieser Wirkungslinie liegt unser Vektor. Wir nennen den Vektor F. Kraftvektor. Der Vektor hat jetzt hier einen Beginn. Und ein Ende. Beginn und Ende nennen wir Schaft und Spitze. Das wird später noch interessant werden, wenn wir ausrechnen, wie ein Vektor eigentlich aussieht. Aus zwei Punkten beispielsweise. Und dann hat der Vektor natürlich die Richtung, nämlich die Richtung, in die er mit seinem Kopf, mit dem Pfeil des Vektors zeigt. Hier in unserem Fall nach rechts oben. Und er hat einen Betrag, nämlich den Abstand zwischen seinem Schaft und seiner Spitze.

Jetzt können wir den Vektor in Komponenten zerlegen. Nämlich beispielsweise in eine horizontale Komponente. In dem wir hier ein Dreieck einzeichnen. Fx. Und in eine vertikale Komponente Fy. Jetzt habe ich hier stillschweigend vorausgesetzt, dass es bereits ein Koordinatensystem gibt, nämlich x in horizontale und y in vertikale Richtung. Auch das zeichnen wir uns hier noch ein. x und y. Und wir bezeichnen dann in der Mechanik oft diese beiden Richtungen als ex und ey. Durch den Einheitsvektor. e bezeichnet den Einheitsvektor.
ex Einheitsvektor in x Richtung. Einheitsvektor heißt, der Vektor beschreibt die Richtung und hat die Länge eins.

Wozu ist das gut?

Wir können damit auf unseren Einheitsvektor projizieren, indem wir nämlich sagen Fx
ist der Betrag unseres Vektors in x-Richtung multipliziert mit dem Einheitsvektor ex. Und das gleiche natürlich für unsere y Komponente. Und wir können damit, weil es manchmal einfach praktischer ist, Beträge und Richtungen voneinander getrennt hinschreiben.

Betrag eines Vektors in der Ebene (2D)

Wie kommen wir jetzt in diesem Beispiel hier zur Länge? Zum Betrag unseres Vektors F.

Dazu nutzen wir den Satz von Pythagoras. Wir können ja unseren Vektor F darstellen durch diese beiden Komponenten in x und y Richtung.

Wir können diese beiden Komponenten, wenn wir ein bisschen aufpassen, auch hier einfach als Dreieck anlegen. Aufpassen muss man insbesondere bei der Momentenwirkung von Fy hier, dass man sich nicht selbst in die Irre führt. Aber abgesehen davon, für diese Konstruktion dürfen wir das. Wir haben also dann ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel hier. Und damit gilt der Satz von Pythagoras, der ja lautet: F Quadrat – Hypotenuse ist gleich Quadrat der einen Kathete plus Quadrat der anderen Kathete. Und daraus lässt sich F ist gleich Wurzel aus Fx Quadrat plus Fy Quadrat anschreiben.

Wenn wir jetzt noch berücksichtigen, dass die Quadrate natürlich zu positiven Ergebnissen führen, dann müssen wir hier auch noch Betrag von F schreiben. Unter Berücksichtigung, dass wir die Einheitsvektoren ex und ey herausziehen dürfen, reicht es uns hier natürlich aus, nur die Längen von Fx und Fy zu quadrieren. Wir können also genauso schreiben. Unser Betrag von F ist die Wurzel aus dem Betrag von Fx zum Quadrat und dem Betrag von Fy zum Quadrat. Nur deren Länge. Die Einheitsvektoren werden ja jeweils eins, wenn man sie quadriert. Das ist in der Ebene der Satz von Pythagoras.

Betrag eines Vektors im Raum (3D)

Das Ganze funktioniert aber auch als Erweiterung auf drei Dimensionen. Wir können uns nämlich ein Koordinatensystem in drei Dimensionen aufzeichnen mit x, y und z, indem hier ein Vektor liegt. Beispielsweise so: F Vektor und das Ganze dann projizieren auf die Achsen. Wir haben hier natürlich eine z-Achse und damit hier hinten Fz. Und wir können in diese Ebene herunter in die x-y-Ebene projizieren und dann weiter auf die einzelnen Achsen und bekommen hier einen Beitrag Fx und einen Beitrag Fy.

Und dann lässt sich Pythagoras auf drei Dimensionen simpel erweitern, indem wir einfach die dritte, nämlich die z-Komponente mit reinnehmen in unsere Wurzel als quadrierten Wert.

Und damit gilt auch hier, dass der Betrag unseres Vektors F die Wurzel sein muss. Fx Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Und gleiches Argument wie zuvor: Die Einheitsvektoren fallen aus dem Quadrat heraus. Sie liefern jeweils nur eins. Wir können also mit den Beträgen arbeiten und dann hier den Betrag von F bestimmen aus der Wurzel Fx Länge Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Jeweils ohne Vektor.

Ausblick auf weitere Beiträge

Das sind die zwei wesentlichen Ergebnisse, wenn es um die Berechnung des
Betrags eines Vektors geht. Die sollte man im Hinterkopf behalten und sich noch einmal durchüberlegen, wie das Ganze funktioniert.

Welche anderen Möglichkeiten es jetzt gibt, mit Vektoren zu rechnen, zu addieren, Produkte zu bilden, das ist natürlich für die technische Mechanik genauso wichtig und das werden wir uns im nächsten Video dann genauer anschauen.

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Bis bald,
Markus