Wir besprechen heute in der Theorie, wie sich beliebige Streckenlasten in äquivalente Einzellasten umrechnen lassen. Dies ist insofern wichtig, als sich mit Einzellasten oft einfacher arbeiten lässt. Wenn einmal bekannt ist, wie eine solche Umrechnung funktioniert – nämlich über Fläche unter Streckenlast und Schwerpunkt der Streckenlast – dann sind wir in der Lage jede beliebige Streckenlast in eine Einzellast umzurechnen. Schließlich diskutieren wir zur Veranschaulichung noch, wie das ganze an einer dreiecksförmigen Streckenlast funktioniert. Das Video dazu erklärt wie gewohnt sämtliche Details!
Sollte dennoch Fragen offen bleiben dann freue ich mich auf deinen Kommentar. Wenn du sonst Wünsche, Anmerkungen oder ähnliches hast bitte ebenfalls gerne melden.
Heute sehen wir uns ein konkretes Beispiel an, wie wir einerseits mit Stäben und Stabkräften umgehen und andererseits eine dreiecksförmige Streckenlast in unsere Rechnung mit einbeziehen. Die Angabe für dieses Problem lautet kurz und knackig folgendermaßen:
Ein Balken unter Dreiecksbelastung wird von drei Stäben gestützt. Wie groß sind die Stabkräfte?
Quelle: Aufgabe I.4.1 (S. 20f.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Das Freikörperbild ist auch hier unser zentraler Zugang zur Lösung des Problems. Wir ersetzen dabei, wie in der Theorie besprochen, die dreiecksförmige Streckenlast gegen eine äquivalente Einzellast. Dann müssen wir uns noch Gedanken zu den Stabkräften machen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass idealisierte Stäbe nur Kräfte in Längsrichtung (Zug & Druck), aber keine Kräfte quer zum Stab aufnehmen können. Schließlich bestimmen wir noch über die Geometrie den Winkel der beiden Stäbe 1 und 3. Mit diesen Zutaten lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen problemlos aufstellen und das System aus 3 Gleichungen anschließend lösen. Im Detail besprechen wir den Lösungsweg wieder im verlinkten Video.
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Ein erstes kleines Auslegungsbeispiel nehmen wir uns diesmal vor. Es handelt sich um ein Tragwerk, welches im Lager A maximal mit einer vorgegebenen Kraft belastet werden darf. Die Frage dabei ist, welche Kraft P darf dann am freien Ende des Tragwerks maximal angreifen.
Bestimme die maximale Kraft P, die auf das Tragwerk aufgebracht werden darf, sodass die Resultierende in A maximal Fmax beträgt.
Geg.: Fmax=2kN, l=0.75m, h=0.5m, r=0.1m
Quelle: Aufgabe 6.74 (S. 351) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Wie immer beginnen wir mit einem Freikörperbild, wobei wir hier das Seil nur am horizontalen Stück (links der Rolle) schneiden dürfen. Das macht die Rechnung etwas einfacher. Danach stellen wir Kräfte- und Momentengleichgewicht auf und lösen das entstehende Gleichungssystem. Nachdem in A ein Betrag als Maximalwert vorgegeben ist, wir aber je eine Kraft vertikal und horizontal erhalten, müssen wir noch mittels Pythagoras einen Betrag ermitteln. Schließlich lässt sich eine Gleichung für den maximalen Wert von P finden. Die genaue Rechnung, wie immer gespickt mit einigen Hinweisen und zusätzlichen Erklärungen findet ihr im verlinkten Video. Viel Spaß!
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Wir sehen uns heute an was eigentlich ein Gerberträger ist und wie wir dessen Lagerreaktionen bestimmen können.
Der zusammengesetzte Balken ist in C gelenkig gelagert und wird in A und B jeweils von einem Rollenlager gehalten. In D ist ein Scharniergelenk angebracht. Bestimme die Lagerkräfte unter Vernachlässigung der Dicke des Balkens.
Quelle: Aufgabe 6.73 (S. 351) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Beim Gerberträger kommt es darauf an, dass wir ein im Grunde statisch unbestimmtes System durch zerlegen im Gerbergelenk zu einem statisch bestimmten System machen können. Wir erhalten dadurch im vorliegenden Beispiel zwei Teilsysteme. Für beide Teilsysteme können wir unsere Gleichgewichtsbedingungen (Momenten-, und Kräftegleichgewicht) separat anschreiben und erhalten damit sechs Gleichungen für insgesamt sechs Unbekannte (vier Lagerreaktionen und zwei Gelenkskräfte). Damit lässt sich das System schlussendlich vollständig berechnen. Wichtig hierbei ist, dass die Gelenkskräfte innere Kräfte sind und sich beim Zusammensetzen des Trägers wieder aufheben müssen. Daher müssen Sie an den beiden Teilsystemen in jeweils entgegengesetzte Richtung zeigen. Alle Details zur Rechnung und viele weitere Anmerkungen erfahrt ihr wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!
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Diesmal geht es um eine Variation eines Klassikers der Relativkinetik, nämlich eine Masse in einem rotierenden Rahmen, welche zusätzlich an einem Ende mit einer Feder verbunden ist.
In einem Rahmen, der sich nach dem vorgegebenen Winkel-Zeit-Gesetz φ(t) in der xy-Ebene um den raumfesten Punkt 0 dreht, kann reibungsfrei eine Masse m gleiten, die mit einer Feder (Federkonstante c) verbunden ist. In der Lage q=L sei die Feder entspannt.
Berechne bezogen auf die Masse m folgende Größen: *Ortsvektor des Schwerpunktes *Relativgeschwindigkeit, Führungsgeschwindigkeit und Absolutgeschwindigkeit *Relativbeschleunigung, Führungsbeschleunigung, Coriolisbeschleunigung, Absolutbeschleunigung *Bewegungsgleichung der Relativbewegung der Masse im rotierenden Bezugssystem. *Normalkraft als Funktion der kinematischen Größen und der Masse m
Wir stellen zuallererst, wie in der Angabe gefordert, den Ortsvektor für die Masse auf. Dann können wir aus Relativ- und Führungsgeschwindigkeit den Vektor der Absolut-geschwindigkeit, sowie aus den Beschleunigungskomponenten eben den Absolut-beschleunigungsvektor berechnen. Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes erhalten wir schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse und können auch die Normalkraft auf die Masse bestimmen. Eine genaue Anleitung dazu mit den üblichen weiterführenden Erklärungen findest du im angehängten Video.
Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.
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Hast du dich auch schon einmal gefragt wozu wir Vektoren in der Mechanik brauchen? Wieso schreiben wir Kräfte als Vektoren an, wenn wir doch auch Komponentenweise arbeiten können? Ist es dann überhaupt sinnvoll mit Vektoren zu arbeiten? Diese und weitere Fragen werde ich in diesem Beispiel versuchen zu beantworten.
Es geht um folgendes dreidimensionales Statikproblem:
Ein Mast wird von zwei Seilen BC und BD gehalten. Am Punkt B greifen die Kräfte F1 und F2 an. Bestimme unter der Voraussetzung, dass der Mast von einem Kugelgelenk am Fuß gehalten wird, die Komponenten der Lagerkraft in A. Die Kräfte F1 und F2 liegen in einer horizontalen Ebene.
Quelle: Aufgabe 5.89 (S. 296) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Wie fast immer, beginnen wir auch hier mit einem Freikörperbild um einen Überblick über die am Mast angreifenden Kräfte zu bekommen. Dann schreiben wir die Koordinaten der Punkte B, C und D an und können damit sehr einfach die Ortsvektoren und mit deren Betrag auch die Einheitsvektoren entlang der Seile aufstellen. In einem abschließenden Schritt können dann alle Kraftvektoren angeschrieben werden. Da wir uns in der Statik befinden, müssen natürlich die Kraft- und Momentensummen verschwinden. Das gilt selbstverständlich auch für die vektoriellen Summen. Hier muss sich der Nullvektor ergeben. Wir können also alle drei Kraftrichtungen in eine vektorielle Bilanz zusammenfassen. Analoges gilt für die Momentenbilanz. Die einzelnen Momente berechnen wir dann natürlich mit dem Kreuzprodukt zwischen Abstandsvektoren und Kraftvektoren. Damit bekommen wir am Ende ein System aus fünf unabhängigen Gleichungen, welches wir auflösen und die fünf Unbekannten bestimmen können. Wir finden außerdem heraus, dass es sich beim Mast um einen sogenannten Zweikraftstab handelt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß beim Nachvollziehen der einzelnen Schritte.
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Heute sehen wir uns das vielleicht kürzeste jemals aufgenommene Mechanik-Beispiel an. 😉 Wir wollen bestimmen wie weit eine Scheibtruhe gekippt werden kann, bevor sie umkippt.
Die Scheibtruhe mit Inhalt hat die Masse m und den Schwerpunkt S. Bestimme den größten Neigungswinkel θ, bei dem die Scheibtruhe gerade noch nicht umkippt.
Quelle: Aufgabe 5.58 (S. 289) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Es geht dabei zwar schon um das Anfertigen eines Freikörperbildes, im Endeffekt aber nur um geometrische Überlegungen anhand dieses Bildes. Daher will ich auch heute gar nicht mehr verraten, sondern auf das verlinkte Video verweisen. Dort wird – in nicht einmal 5 Minuten – hoffentlich alles klar werden. Viel Spaß damit!
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Auch in diesem Beispiel geht es wieder um Statik, nämlich um die Fragestellung welche Last ein Kran maximal heben kann ohne selbst umzukippen.
Der skizzierte Kran besteht aus drei Teilen mit den Gewichtskräften G1, G2, G3 und den Schwerpunkten S1, S2, S3.
Bestimme unter Vernachlässigung des Gewichtes des Auslegers (a) die Lagerkräfte auf jeden der vier Reifen, wenn die Last mit konstanter Geschwindigkeit gehoben wird und ein Gewichtskraft G hat. (b) die maximale Last, die der Kran mit dem Ausleger in der dargestellten Position heben kann, ohne dass er umkippt.
Quelle: Aufgabe 5.47 (S. 287) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Den Start macht wieder ein möglichst einfaches Freikörperbild, welches aber das Problem ausreichend exakt beschreibt. Daraus lassen sich dann die Gleichgewichtsbedingungen (Momenten- und Kräftegleichgewicht) aufstellen. Wir bestimmen daraus die Normalkräfte auf die Reifen des Krans und können schließlich diese Gleichungen auch nutzen um die maximale Last zu bestimmen, die der Kran heben kann ohne zu kippen. Wie gewohnt gibt es die zugehörige Schritt für Schritt Anleitung im verlinkten Video.
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Wir wenden unser bisher erworbenes Wissen über statisches Gleichgewicht heute auf ein geparktes Auto auf einer abschüssigen Straße an. Die Frage ist, wie groß die Bremskräfte sein müssen, damit das Auto auf der Straße stehen bleibt ohne wegzurollen.
Ein Sportwagen hat die Masse m und seinen Schwerpunkt in S. Die vorderen beiden Federn haben die Steifigkeit cA und die hinteren beiden cB. Bestimme die Stauchung der Federn, wenn das Auto auf einer schiefen Ebene laut Skizze geparkt wird. Welche Reibkraft FB muss auf jedes Hinterrad aufgebracht werden, um das Auto im Gleichgewicht zu halten?
Geg.: m = 1500kg, g = 9.81m/s^2, cA = 58 kN/m, cB = 65 kN/m, a = 0.8m, b = 1.2m,c = 0.4m, α = 30°
Quelle: Aufgabe 5.32 (S. 283) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Wir wissen nun schon, dass ein Freikörperbild essentiell ist. Auch hier starten wir damit. Danach kann auch schon das Gleichgewicht der Kräfte und Momente aufgestellt werden. Da wir es mit 3 unbekannten Kräften zu tun haben, also einem statisch bestimmten System, können wir aus den drei Gleichungen des Gleichgewichts auch alle diese Kräfte berechnen. Zum Schluss diskutieren wir noch, wie sich Kraft und Stauchung bei einer idealen Feder im Allgemeinen verhalten und berechnen die Stauchungen der Federn an Vorder- und Hinterrädern. Wie gewohnt findet ihr all diese Schritte im Video.
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Ein absoluter Klassiker der Relativkinetik ist eine Masse die sich reibungsfrei in einem rotierenden Rohr bewegen kann. Genau das wollen wir uns hier ansehen.
Ein Teilchen P mit der Masse m kann sich reibungsfrei in einem um die z-Achse drehbaren Rohr der Länge l bewegen. Das Rohr rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω, die Winkelbeschleunigung beträgt Ω˙. Für die Anfangsbedingungen r(0)=r0 größer 0 und r˙(0)=0 sind die untenstehende Größen zu berechnen.
*Ortsvektor r_P(t) *Relativgeschwindigkeit v_R, Führungsgeschwindigkeit v_F und Absolutgeschwindigkeit v_P *Relativbeschleunigung a_R, Führungsbeschleunigung a_F, Coriolisbeschleunigung a_C und Absolutbeschleunigung a_P. *Kräfte auf die Masse *Abstand r(t) von der Drehachse für den Spezialfall Ω=const.
Hinweis: Alle Vektoren sind im mitrotierenden ξ,η,ζ System darzustellen.
Zum Ablaufplan der Rechnung ist hier eigentlich nicht viel zu sagen. Die Punkte (a) – (e) in der Angabe stellen nämlich bereits einen guten Ablaufplan zur Verfügung. Wir halten uns einfach daran und können auf direktem Wege alles berechnen. Natürlich könnt ihr den Rechenweg wieder Schritt für Schritt im verlinkten Video nachverfolgen. Viel Spaß damit!
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