Wie letzte Woche angekündigt, besprechen wir diesmal wichtige Rechenregeln für Vektoren. Insbesondere geht es um das Strecken und Stauchen sowie Addieren und Subtrahieren von Vektoren. Welche Möglichkeiten es bei der Multiplikation von Vektoren gibt, nämlich Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt und was eigentlich ein Ortsvektor ist sehen wir uns auch an.
Das Transkript für diesen Beitrag werde ich schnellstmöglich nachreichen – aufgrund der Weihnachtszeit bin ich hier ein wenig in Verzug. Bitte um Nachsicht dafür. In der Zwischenzeit kannst du ja das Video anschauen. Darin ist wie immer alles enthalten.
Wenn du zu diesem Beitrag hier Fragen hast, dann stelle die Fragen bitte einfach in die Kommentare (hier oder auf YouTube). Ich werde alles so schnell wie möglich beantworten.
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Ich hoffe, wir sehen uns beim nächsten Beitrag und wünsche auf diesem Wege schon einmal einen guten Start in das Jahr 2022.
Im heutigen Beispiel sehen wir uns die Dynamik einer Doppelschaukel an. Dabei vergleichen wir diese auch mit dem klassischsten aller Lagrange-Beispiele, dem mathematischen Doppelpendel.
Gegeben ist eine Doppelschaukel laut Skizze.
Ges.: *Die Lagrange-Funktion des Systems. *Die Bewegungsgleichungen der Doppelschaukel.
Die Angabe zum vorab selbst rechnen gibt es wieder als Download inkl. Endergebnissen.
Bei genauerer Betrachtung der Angabe lässt sich feststellen, dass die skizzierte Doppelschaukel analog zum mathematischen Doppelpendel gerechnet werden kann. Wir stellen also zuerst die Koordinaten der Schaukelschwerpunkte als Funktion der generalisierten Koordinaten, d.h. der beiden Schaukelwinkel, auf. Durch Zeitableitung dieser Koordinaten erhalten wir die Geschwindigkeiten der Schaukelschwerpunkte. Danach können wir sowohl kinetische als auch potentielle Energie berechnen um damit die Lagrangefunktion anzuschreiben. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir schließlich zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen für das System, jeweils eine für beide Schaukelwinkel. Die detaillierte Rechnung und viele weitere Bemerkungen, u. A. zur Eindeutigkeit der Lagrangefunktion findet ihr im verlinkten YouTube Video.
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald, Markus
Ich möchten den heutigen 24. Dezember dazu nutzen mich bei euch allen für die bisherige Unterstützung zu bedanken. Gleichzeitig gibt es ein paar Infos von mir wie es mit der Website und dem YouTube Kanal weitergehen wird.
Heute ist der 24. Dezember und Weihnachten ist ja immer die Zeit der Dankbarkeit. Auch ich möchte diese Gelegenheit nutzen, um mich bei allen für die Unterstützung bis hierher zu bedanken.
Herzlich Willkommen zurück auch hier auf dem Blog! Ich freue mich, dass du wieder dabei bist. Ich habe ja eigentlich erst Ende November 2021 das neue Konzept für diesen Kanal gestartet und ich freue mich riesig, dass es bisher so gutes Feedback gegeben hat. Vielen Dank dafür!
Was plane ich für die absehbare Zukunft?
Ich möchte euch deswegen ganz kurz einen Ausblick geben, was auf dem Kanal im nächsten Jahr alles geplant ist und was ihr erwarten könnt.
Ich plane die Frequenz der Videos mit zwei Videos pro Woche beizubehalten und die derzeitige Idee ist immer Montags und Donnerstags ein Video zu posten. Allerdings wenn ihr Ideen habt, dass es bessere Tage gibt, bessere Uhrzeiten, die Videos zu posten, dann schreibt mir bitte gerne in den Kommentaren eure Vorschläge und ich werde sie durchsehen und gerne alles berücksichtigen. Schließlich geht es darum, dass ich euch, die den Kanal ansehen, bestmöglich mit meinen Videos unterstützen kann.
Wir haben ja in einem vergangenen Video schon kurz über die Themen in der technischen Mechanik und damit auch über die Themen auf diesem Kanal gesprochen. Und ihr wisst daher im Grunde, welche Themen euch erwarten werden. Falls ihr dieses Video verpasst haben solltet, schaut es euch gerne nachträglich an, damit ihr wisst, was euch erwarten wird. Die Idee ist damit auch, einen roten Faden in den Kanal hineinzubringen, um euch das Lernen der technischen Mechanik zu erleichtern.
Erstes Steinchen: Vektorrechnung
Wir haben ja gestern bereits über Vektoren gesprochen und wir werden das Ganze fortsetzen. Es geht dann nächste Woche weiter mit Rechenoperationen für Vektoren und wir starten dann auch mit Übungsaufgaben zur Vektorrechnung.
Weitere Steinchen
Dann wird es weitergehen mit der Statik, Festigkeitslehre und erst dann springen wir in die Dynamik. Dazwischen wird es aber auch immer komplexere Videos geben, die ich einstreue. So wie er es jetzt aus den vergangenen Wochen bereits kennt. Zur Lagrange Mechanik, zu Stoßvorgängen, Kreiseldynamik und so weiter.
Gesamtkonzept und die Bitte um Feedback
Ich hoffe, dieses Konzept hilft euch weiter die Technische Mechanik besser zu verstehen, besser zu lernen und vor allem auch Freude daran zu entwickeln. Denn das ist aus meiner Sicht das Allerwichtigste. Wenn ihr weitere Vorschläge zur Verbesserung des Kanals habt, dann schreibt mir auch die Bitte gerne in die Kommentare. Ich lese mir immer alles durch und greife nach Möglichkeit eure Vorschläge auch sehr gerne auf.
Ganz wichtig ist auch: Solltet ihr den Kanal noch nicht abonniert haben und dem Blog noch nicht folgen, dann holt das jetzt bitte unbedingt nach damit ihr keine Inhalte mehr verpasst.
Außerdem darf ich auch noch einmal auf die Website technischemechanik.com hinweisen, wo ihr alles auch zusammengefasst findet und Beispielangaben herunterladen könnt.
In diesem Sinne wünsche ich euch jetzt tatsächlich schöne Weihnachten, geruhsame Feiertage und ich hoffe, wir sehen uns zwischen den Feiertagen bei den neuen Videos.
Die Mathematik ist die Sprache der technischen Mechanik und die Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil davon. Wir sehen uns in diesem Beitrag an wie wir Vektoren zeitsparend anschreiben können und stoßen dabei auf die sogenannte Tensornotation.
Außerdem diskutieren wir was ein Vektor überhaupt ist, was es mit Koordinatensystemen und Einheitsvektoren auf sich hat und wie wir die Komponenten eines Vektors in einem Koordinatensystem bestimmen können.
Schließlich besprechen wir auch noch wie der Betrag eines Vektors in der ebene und auch im Raum bestimmt werden kann. Natürlich gibt es noch zahlreiche weitere Möglichkeiten mit Vektoren zu rechnen. Diese schauen wir uns dann in den folgenden Beiträgen zur Vektorrechnung an und erarbeiten uns damit die mathematische Basis für die technische Mechanik.
Du hast vielleicht im Urlaub schon einmal mit jemandem gesprochen, der nicht deine eigene Sprache spricht. Hat das gut funktioniert? Vielleicht kann man sich mit Englisch behelfen, wenn beide Englisch können. Aber besser wäre es doch, wenn beide dieselbe Sprache sprechen.
Und genau das gleiche gilt für die technische Mechanik. Die Sprache der technischen Mechanik ist die Mathematik. Und ein sehr wichtiger Teil der Mathematik, den wir insbesondere zu Beginn der technischen Mechanik brauchen, ist die Vektorrechnung.
Wie schreiben wir einen Vektor eigentlich auf?
Insbesondere in der technischen Mechanik haben wir eine Notation, die vielleicht ein bisschen davon abweicht, was du gewohnt bist. Es geht darum, dass wir verschiedene Größen haben. Wir können Skalare haben, wir können Vektoren haben, wir können Matrizen haben und wir wollen all diese Größen in eine gemeinsame Notation zusammenfassen.
Wir beginnen also bei Null, nämlich bei einem Skalar. Wir haben auch in der Mechanik skalare Größen, nämlich Masse, Länge, Flächeninhalte, Volumina und so weiter. Alle skalaren Größen haben gemeinsam, dass sie als Zahl ausdrückbar sind. Wir fassen das alles was wir jetzt besprechen zusammen in die sogenannte Tensornotation. Wir haben hier bei den Skalaren sogenannte Tensoren 0. Stufe. Deswegen auch vorher der Hinweis: Wir beginnen bei Null – Tensor 0.Stufe.
Wir haben aber nicht nur Skalare, sondern wir haben natürlich auch Vektoren in der technischen Mechanik. Also z.B. einen Kraftvektor, einen Momentenvektor, einen Abstandsvektor r, aber auch in der Dynamik, einen Geschwindigkeitsvektor oder einen Beschleunigungsvektor. Und so weiter. Bei den Vektoren wissen wir, diese haben Betrag und Richtung und natürlich eine Wirkungslinie. Wir besprechen das dann gleich im Detail. Wir können einen Vektor also in Komponenten ausdrücken. Und der Vektor ist ein Tensor erster Stufe.
Und dann gibt es in der Mechanik natürlich auch noch Größen wie Spannungen, Dehnungen. Und die werden als Matrix entsprechend angeschrieben. Nämlich, eine Dehnungsmatrix, Dehnungstensor Epsilon Spannungstensor, Spannungsmatrix Sigma. Und so weiter. Und die nennen wir Tensoren zweiter Stufe. Hier haben wir jetzt sozusagen ein Gebilde, das sowohl Spalten als auch Zeilen enthält. Eine Matrix, wie du sie kennst. Also zwei Dimensionen sozusagen. Und deswegen Tensor zweiter Stufe.
Und jetzt wird hoffentlich auch die Notation klar. Wir verwenden nämlich hier am Kanal insbesondere, aber auch oft in der technischen Mechanik im Allgemeinen eine Notation, die genau die Stufe des Tensors widerspiegelt.
Wir haben: nullte Stufe. Keinen Unterstrich.
Wir haben: erste Stufe. Ein Unterstrich.
Und wir haben: zweite Stufe. Zwei Unterstriche.
Damit ersparen wir uns, dass wir unterschiedlich notieren, ob etwas ein Vektor ist oder eine Matrix mit z.B. diesem Dach-Symbol, wie es oft in der Physik zu finden ist oder irgendetwas Fettdrucken. Wir haben einfach ein Unterstrich Vektor, zwei Unterstriche Matrix und so weiter.
Und dieses und so weiter gibt es in der technischen Mechanik auch, nämlich einen mit vier Unterstrichen. Ein Tensor vierter Stufe. Das ist der bekannte E-Modul Tensor. Der E-Modul Tensor bzw. der E-Modul wird uns dann später noch begegnen, wenn wir über das Hooke’sche Gesetz sprechen. Lineare Elastizität. Du kennst das Ganze vielleicht in der einfachsten Form, nämlich als zwei skalare Werte: E-Modul als Zahlenwert und Querkontraktionszahl nü als zweiten Zahlenwert, um das linear elastische Materialverhalten zu beschreiben. In dieser Notation als Tensor hat der E-Modul Tensor im Allgemeinen 81 Komponenten. Man braucht zwar nie diese 81 Komponenten, weil auch Symmetrien auftreten, aber es gibt im Allgemeinen 81 Einträge in diesem vierstufigen Tensor. Dazu aber später mehr.
Was ist ein Vektor eigentlich?
Nachdem wir jetzt wissen, wie wir einen Vektor aufschreiben, wollen wir uns überlegen, was ein Vektor eigentlich ist. Und ich gehe davon aus, dass die meisten schon Vektoren gesehen haben, wissen, wie man einen Vektor im Grunde hinschreibt, dass er Komponenten hat usw. Wir wollen uns das Ganze aber trotzdem im Detail noch einmal anschauen.
Was ist also ein Vektor? Ein Vektor ist ein Objekt, das eine Wirkungslinie besitzt. Ein Stift beispielsweise hat eine Wirkungslinie. Einen Betrag. Beginn und Ende des Stifts. Und er hat eine Richtung, in die er zeigt. Diese drei Größen definieren unseren Vektor – Stift.
Wenn wir uns das genauer aufzeichnen, dann hätten wir also hier eine Wirkungslinie und auf dieser Wirkungslinie liegt unser Vektor. Wir nennen den Vektor F. Kraftvektor. Der Vektor hat jetzt hier einen Beginn. Und ein Ende. Beginn und Ende nennen wir Schaft und Spitze. Das wird später noch interessant werden, wenn wir ausrechnen, wie ein Vektor eigentlich aussieht. Aus zwei Punkten beispielsweise. Und dann hat der Vektor natürlich die Richtung, nämlich die Richtung, in die er mit seinem Kopf, mit dem Pfeil des Vektors zeigt. Hier in unserem Fall nach rechts oben. Und er hat einen Betrag, nämlich den Abstand zwischen seinem Schaft und seiner Spitze.
Jetzt können wir den Vektor in Komponenten zerlegen. Nämlich beispielsweise in eine horizontale Komponente. In dem wir hier ein Dreieck einzeichnen. Fx. Und in eine vertikale Komponente Fy. Jetzt habe ich hier stillschweigend vorausgesetzt, dass es bereits ein Koordinatensystem gibt, nämlich x in horizontale und y in vertikale Richtung. Auch das zeichnen wir uns hier noch ein. x und y. Und wir bezeichnen dann in der Mechanik oft diese beiden Richtungen als ex und ey. Durch den Einheitsvektor. e bezeichnet den Einheitsvektor. ex Einheitsvektor in x Richtung. Einheitsvektor heißt, der Vektor beschreibt die Richtung und hat die Länge eins.
Wozu ist das gut?
Wir können damit auf unseren Einheitsvektor projizieren, indem wir nämlich sagen Fx ist der Betrag unseres Vektors in x-Richtung multipliziert mit dem Einheitsvektor ex. Und das gleiche natürlich für unsere y Komponente. Und wir können damit, weil es manchmal einfach praktischer ist, Beträge und Richtungen voneinander getrennt hinschreiben.
Betrag eines Vektors in der Ebene (2D)
Wie kommen wir jetzt in diesem Beispiel hier zur Länge? Zum Betrag unseres Vektors F.
Dazu nutzen wir den Satz von Pythagoras. Wir können ja unseren Vektor F darstellen durch diese beiden Komponenten in x und y Richtung.
Wir können diese beiden Komponenten, wenn wir ein bisschen aufpassen, auch hier einfach als Dreieck anlegen. Aufpassen muss man insbesondere bei der Momentenwirkung von Fy hier, dass man sich nicht selbst in die Irre führt. Aber abgesehen davon, für diese Konstruktion dürfen wir das. Wir haben also dann ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel hier. Und damit gilt der Satz von Pythagoras, der ja lautet: F Quadrat – Hypotenuse ist gleich Quadrat der einen Kathete plus Quadrat der anderen Kathete. Und daraus lässt sich F ist gleich Wurzel aus Fx Quadrat plus Fy Quadrat anschreiben.
Wenn wir jetzt noch berücksichtigen, dass die Quadrate natürlich zu positiven Ergebnissen führen, dann müssen wir hier auch noch Betrag von F schreiben. Unter Berücksichtigung, dass wir die Einheitsvektoren ex und ey herausziehen dürfen, reicht es uns hier natürlich aus, nur die Längen von Fx und Fy zu quadrieren. Wir können also genauso schreiben. Unser Betrag von F ist die Wurzel aus dem Betrag von Fx zum Quadrat und dem Betrag von Fy zum Quadrat. Nur deren Länge. Die Einheitsvektoren werden ja jeweils eins, wenn man sie quadriert. Das ist in der Ebene der Satz von Pythagoras.
Betrag eines Vektors im Raum (3D)
Das Ganze funktioniert aber auch als Erweiterung auf drei Dimensionen. Wir können uns nämlich ein Koordinatensystem in drei Dimensionen aufzeichnen mit x, y und z, indem hier ein Vektor liegt. Beispielsweise so: F Vektor und das Ganze dann projizieren auf die Achsen. Wir haben hier natürlich eine z-Achse und damit hier hinten Fz. Und wir können in diese Ebene herunter in die x-y-Ebene projizieren und dann weiter auf die einzelnen Achsen und bekommen hier einen Beitrag Fx und einen Beitrag Fy.
Und dann lässt sich Pythagoras auf drei Dimensionen simpel erweitern, indem wir einfach die dritte, nämlich die z-Komponente mit reinnehmen in unsere Wurzel als quadrierten Wert.
Und damit gilt auch hier, dass der Betrag unseres Vektors F die Wurzel sein muss. Fx Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Und gleiches Argument wie zuvor: Die Einheitsvektoren fallen aus dem Quadrat heraus. Sie liefern jeweils nur eins. Wir können also mit den Beträgen arbeiten und dann hier den Betrag von F bestimmen aus der Wurzel Fx Länge Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Jeweils ohne Vektor.
Ausblick auf weitere Beiträge
Das sind die zwei wesentlichen Ergebnisse, wenn es um die Berechnung des Betrags eines Vektors geht. Die sollte man im Hinterkopf behalten und sich noch einmal durchüberlegen, wie das Ganze funktioniert.
Welche anderen Möglichkeiten es jetzt gibt, mit Vektoren zu rechnen, zu addieren, Produkte zu bilden, das ist natürlich für die technische Mechanik genauso wichtig und das werden wir uns im nächsten Video dann genauer anschauen.
Wenn du zu diesem Beitrag hier Fragen hast, dann stelle die Fragen bitte einfach in die Kommentare (hier oder auf YouTube). Ich werde alles so schnell wie möglich beantworten.
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Wir wollen uns heute ein Beispiel ansehen bei dem zwei Stoßvorgänge hintereinander stattfinden. Der erste ist ein durch Seilstraffung ausgelöster Stoßvorgang, der zweite dann ein klassischer Stoß zwischen Kugel und Quader. Insbesondere die Seilstraffung beinhaltet ein paar interessante Gedankengänge, die wir im Detail besprechen werden. Zuerst allerdings zur Angabe:
Eine Kugel mit der Masse mA, die als Massenpunkt angenähert werden kann, ist über ein schlaffes Seil mit dem Lager C verbunden. Die Kugel wird lt. Skizze aus der Horizontalen im Abstand 3/4 l vom Lager losgelassen. Das Seil wird als undehnbar angenommen, so dass bei der Straffung ein plastischer Stoß (Stoßziffer ε = 0) auftritt. In der Vertikalen trifft das Fadenpendel anschließend vollkommen elastisch (Stoßziffer ε = 1) auf einen Quader der Masse mB und verschiebt diesen auf einer rauen Ebene mit dem Reibungskoeffizient μ.
Geg.: mA = 2 kg, mB = 5 kg, l = 1.2 m, μ = 0.3
Ges.: *Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar vor der Seilstraffung. *Geschwindigkeit der Kugel nach dem Straffungsstoß und Stoßantrieb auf das Lager C. *Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar vor dem Stoß mit dem Quader. *Geschwindigkeiten von Kugel und Quader unmittelbar nach deren Stoß. *Die Höhe auf welche die Kugel zurückpendelt und die Strecke um die der Quader verschoben wird.
Quelle: Aufgabe D30 (S. 345f.) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden
Die Angabe gibt es wie üblich als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.
Wir starten dieses Beispiel wieder mit einem Freikörperbild und berechnen insbesondere die Geometrie für den freien Fall der Kugel. Danach diskutieren wir eine Koordinatentransformation die uns die Berechnung des Straffungsstoßes erleichtert. In diesem Zusammenhang besprechen wir auch wie der Straffungsstoß ablaufen wird. Nachdem das geklärt ist, können die Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Stoßvorgang und der Stoßantrieb auf das Lager C berechnet werden. Mittels Energieerhaltung lässt sich dann die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß mit dem Quader bestimmen und der elastische Stoß zwischen Kugel und Quader berechnen. Hier führen wir auch eine Plausibilitätskontrolle durch, was immer eine gute Sache ist. Am Ende berechnen wir noch wie weit die Kugel zurückschwingt und wie weit der Quader auf der reibungsbehafteten Unterlage rutscht. Alle Schritte im Detail besprechen und berechnen wir wieder im verlinkten YouTube Video.
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Wir widmen uns diesmal der Frage, welche konkreten Themen hier auf der Website und auf meinem YouTube Kanal eigentlich behandelt werden. Das ganze könnt ihr je nach belieben als Video anschauen oder das Transkript lesen, das ich in diesem Beitrag zur Verfügung stelle.
Du wirst dich vielleicht fragen: Welche Inhalte erwarten mich eigentlich auf diesem Kanal oder hier im Blog? Die kurze Antwort würde lauten: Sehr, sehr viele.
Die längere Antwort und um welche Themengebiete es eigentlich geht, sehen wir uns im folgenden an.
Wir sprechen heute über die Inhalte, die ich in Zukunft behandeln werde bzw. schon behandle. Im Wesentlichen geht es um die großen Themengebiete Statik, Festigkeitslehre, Dynamik und höhere Dynamik.
Überblick über alle Themengebiete
In der Statik beschäftigen wir uns zu allererst und etwas außerhalb des Fokus mit der Vektorrechnung, weil das einfach ein sehr, sehr wichtiges Werkzeug ist, das wir brauchen werden. Deshalb hier auch in Blau dargestellt.
Dann geht es um die Kraftreduktion. Also wie reduziere ich ein allgemeines Kraftsystem, so dass eine resultierende Einzelkraft und eventuell ein resultierendes Moment übrig bleibt?
Dann schauen wir uns Momentengleichgewicht an, und was das im Sinne der Kraftreduktion bedeutet. Wir beschäftigen uns mit den Auflagerreaktionen, und natürlich mit den Gleichgewichtsbedingungen, Kräftegleichgewicht, Momentengleichgewicht.
Themengebiete in der Statik
Dann gehen wir einen Schritt weiter und diskutieren Streckenlasten, sehen uns an, wie wir eine Streckenlast ersetzen können durch resultierende Einzelkräfte. Wie das für einfache Streckenlasten funktioniert, wie beispielsweise eine Rechteckslast oder eine Dreieckslast, aber auch für komplexere Streckenlasten, bei denen eine Integration notwendig ist.
Dann machen wir einen kurzen Abstecher zu den Fachwerken, die in der technischen Mechanik, insbesondere im Bauingenieurwesen, natürlich auch eine große Rolle spielen.
Wir beschäftigen uns mit dem Riesenthema Schnittgrößen, und zwar hier im Gegensatz zu vielen Behandlungen, die vielleicht aus der HTL oder anderen technischen Schulen bekannt sind, mit einem Verlauf von Schnittgrößen, also einer Funktion, die über unseren gesamten Träger gilt und nicht nur mit speziellen Schnittgrößen an speziellen Punkten am Träger.
Und zu guter Letzt und vielleicht schon ein wenig in die Festigkeitslehre reichend. Beschäftigen wir uns noch mit der Berechnung von Schwerpunkten von allgemeinen Körpern.
Dann geht es weiter in der Festigkeitslehre. Dort beginnen wir mit der Definition und der Berechnung von Flächenträgheitsmoment.
Wir schauen uns an, was es mit dem sogenannten Spannungszustand auf sich hat. Wie Spannungen zu charakterisieren sind, den Spannungstensor.
Wir beschäftigen uns mit Materialverhalten. Wozu brauchen wir eigentlich eine Definition des Materialverhaltens und werden uns exemplarisch als eines der einfachsten Materialverhalten, Materialgesetze, das Hook’sche Gesetz – lineare Elastizität – ansehen.
Dann diskutieren wir, was Vergleichsspannungen sind, wofür wir diese brauchen. Warum Vergleichsspannungen so wichtig sind.
Themengebiete in der Festigkeitslehre I
Dann gehen wir sozusagen in die Ebene des Trägers. Beschäftigen uns mit Biegeträgern, Biegebelastungen. Schauen uns also an, was am Querschnitt eines Trägers passiert und wenden uns auch einem analytischen Verfahren zu, nämlich der Differentialgleichung der Biegelinie. Ein sehr mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Verformungen von Trägern.
Ein wichtiger Punkt je nach Fachgebiet kann natürlich auch die Torsion sein. Diese werden wir uns hier für reine Torsion ansehen.
Und am Ende möchten wir uns gerne noch in diesem Abschnitt der Festigkeitslehre ein bisschen Gedanken darüber machen, wie Träger zu dimensionieren sind. Alle Dinge von der Statik begonnen, also von der Reduktion eines Kraftsystems weg, führen uns am Ende zu diesem Kapitel Trägerdimensionierung.
Ein sehr, sehr wichtiges Kapitel aus der technischen Mechanik, das dann auch in weiterführenden Fächern, wie beispielsweise den Maschinenelementen benötigt wird.
Außerdem haben wir dann in der Festigkeitslehre auch noch andere weiterführende Kapitel, die ich gerne diskutieren würde. Nämlich zum Beispiel den Querkraftschub. Energiemethoden, also den Satz von Castigliano und den Satz von Menabrea, die uns auch zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme dienen. Die Bredt’schen Formeln, die für dünnwandige Querschnitte gelten. Und zu guter Letzt beschäftigen wir uns noch ein wenig mit Stabilität, nämlich mit der Euler’schen Knickung.
Themengebiete in der Festigkeitslehre II
Das ist aber noch nicht alles, sondern wir beschäftigen uns natürlich auch mit der Dynamik. Auch die Dynamik ist ein wichtiger Bestandteil der technischen Mechanik und wir beginnen dort ganz langsam mit der Kinematik.
Punktkinematik, zu allererst, schiefe Würfe. Und dann auch Starrkörper- oder Vektorkinematik, wo dann auch Rotationen von Körpern eine Rolle spielen, weil die Körper eine gewisse Ausdehnung haben. Dort sehen wir dann Dinge wie Kurbeltriebe, Kreuzschieber und andere technisch relevante Anwendungen.
Themengebiete in der Dynamik
Um dann auch die Kräfte und Momente behandeln zu können, die zu dieser Kinematik führen brauchen wir auf dem Weg die Massenträgheitmomente. Wir müssen also definieren, was ist ein Massenträgheitsmoment? Wie berechnet man ein Massenträgheitsmoment und wozu wird es eigentlich verwendet?
Dann können wir in die Kinetik gehen. Auch hier Punktkinetik und Starrkörperkinetik. Also Schwerpunktsatz, sprich Newtonsches Axiom und Drallsatz bzw. Drehimpulssatz.
Und hier am Ende der Einführung zur Dynamik stehen dann noch Schwingungen. Auch das natürlich technisch von höchster Relevanz.
Das war aber auch noch nicht alles, sondern wir beschäftigen uns hier auch mit der höheren Dynamik, in diesem Falle insbesondere mit Dingen wie Relativkinetik.
Die Relativkinetik beginnt ja immer mehr an Bedeutung zu gewinnen. Wenn es zum Beispiel um automatisierte Prozesse in Fabriken geht.
Dann geht es auch um analytische Prinzipien in der Dynamik, nämlich die Lagrange-Mechanik und den Satz von d’Alembert, wo wir dann auch Systeme mit mehreren Freiheitsgraden berechnen können. Auch das ist zum Beispiel in der Maschinendynamik eine wichtige Sache, wenn es um die Dämpfung von Schwingungen geht oder auch nur, das Schwingungsverhalten an sich.
Was vielleicht für die eine oder den anderen auch ganz spannend sein kann, nämlich insbesondere, wenn es in Richtung Sachverständigentätigkeit geht, Verkehrsunfälle beispielsweise, sind Stoßvorgänge. Wir werden hier mehrere Stoßvorgänge durchbesprechen, konkrete Beispiele rechnen, auch Beispiele von Autounfällen. Und wir werden dann sehen, dass es hier tatsächlich möglich ist, mit einer sehr guten Genauigkeit zurückzuverfolgen, ob beispielsweise Verkehrsregeln bei einem Zusammenstoß tatsächlich eingehalten wurden.
Und zu guter Letzt geht es auch noch um die Kreiseldynamik, also um Systeme, die im Allgemeinen um mehrere Achsen rotieren und damit als Kreisel definiert werden können, wo Dinge wie Relativkinetik dann auch in diese Kreiseldynamik hineinspielen. Aber insbesondere ein allgemeiner Drehimpuls- oder Drallsatz notwendig ist. Auch das höchst spannende Systeme, die wir uns auch hier anschauen werden.
Du siehst also, wir werden es im Laufe der Zeit mit einer Vielzahl an verschiedensten Themengebieten in der technischen Mechanik zu tun haben. Ich werde immer versuchen, Theorie und Beispiele zu den jeweiligen Themengebieten zur Verfügung zu stellen. Die Themengebiete werden im Laufe der Zeit in verschiedenen Playlists organisiert sein, sodass du hoffentlich möglichst rasch genau das findest, was du suchst.
Wenn es zu den Inhalten oder allgemein Fragen gibt, dann bitte zögere nicht und stelle die Frage gerne in den Kommentaren. Ich werde wie immer die Frage schnellstmöglich beantworten und freue mich schon darauf.
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Das letzte der nachzuholenden Beispiele ist noch einmal aus der Relativkinetik. Allerdings handelt es sich um eher untypische Relativkinetik. Warum, werden wir weiter unten besprechen. Zuerst aber zur Angabe.
Ein Keil der Masse m2 und des Neigungswinkels α kann sich entsprechend der Abbildung auf einer horizontalen Ebene bewegen. Auf dem Keil befindet sich im höchsten Punkt ein Quader, der aus der Ruhelage heraus reibungsfrei nach unten rutscht.
Geg.: m1 = 3 kg, m2 = 6 kg, α = 30°, l = 1.2 m
Ges.: *Beschleunigung des Quaders und des Keils. *Geschwindigkeit des Quaders und des Keils, wenn der Quader seine tiefste Lage erreicht. *Verschiebung des Keils, wenn der Quader seine tiefste Lage erreicht.
Quelle: Aufgabe D34 (S. 356) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden
In der Einleitung habe ich es schon angesprochen: Dieses Beispiel ist etwas unüblich für Relativkinetik. Wir müssen hier nämlich mit den Schwerpunktsätzen starten und können uns erst damit die relevanten Beschleunigungen ausrechnen. Normalerweise ist es umgekehrt. Daher ist besonders hier ein sauberes Freikörperbild essentiell. Zur besseren Veranschaulichung fertigen wir sogar zwei separate Freikörperbilder an. Eines für die Kräfte und eines für die Beschleunigungen. Damit können wir dann die Schwerpunktsätze aufstellen und uns daraus und mit Hilfe kinematischer Zusammenhänge alle gefragten Werte berechnen. Die Rechenschritte im Detail, besprechen wir ausführlich im YouTube Video.
Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen.
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Bis morgen mit einer weiteren Einheit zur Theorie, Markus
Das vorletzte der Beispiele die ich hier nachholen möchte ist ein Kreisel. Konkret wollen wir den Kreisel als Drehzahlmesser verwenden und sehen uns an wie wir das zu Stande bringen können. Die Angabe lautet:
Ein Kreisel kann auch als Drehzahlmesser benutzt werden, nämlich folgendermaßen: In einem Rahmen 1 ist ein Gehäuse 2 reibungsfrei drehbar gelagert und mit einer Drehfeder mit diesem verbunden. Ein im Gehäuse 2 gelagerter Kreisel 3 rotiert mit der relativen Winkelgeschwindigkeit ω_R gegen dieses Gehäuse. Wird nun der Rahmen 1 mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω gedreht, so stellt sich nach einem Einschwingvorgang ein konstant bleibender Winkel ϕ ein und Ω kann bestimmt werden.
Geg.: Schwerpunkte liegen im Schnittpunkt der Drehachsen Gehäuse 2: ϕ, Hauptträgheitsmomente I_Gx, I_Gy, I_Gz, lineare Drehfeder mit Konstante c_T, vollkommen entspannt für ϕ = 0 Kreisel 3: ω_R = const., Trägheitsmomente: I_x, I_y = I_z
Ges.: Berechne die konstante Winkelgeschwindigkeit Ω des Rahmens 1 nach dem Einschwingvorgang unter der Annahme, dass ω_R viel größer als Ω ist.
Quelle: Aufgabe 4.4.3 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien
Auch hier starten wir wieder mit dem Freikörperbild, von dem ihr ja jetzt schon wisst, dass es ein essentieller Bestandteil der technischen Mechanik ist. Nachdem wir uns darüber im Klaren sind wie die Winkelgeschwindigkeiten im gegeben Koordinatensystem wirken, können wir den Drehimpulsvektor anschreiben. Für den Drehimpulssatz benötigen wir die Zeitableitung dieses Drehimpulsvektors, welche hier auf den Kreuzproduktterm (Rotation des Koordinatensystems) beschränkt bleibt, weil wir es mit konstanten Winkelgeschwindigkeiten zu tun haben. Der zweite Term des Drehimpulssatzes ist der Vektor der äußeren Momente. Dabei spielt die gegebene Drehfeder eine Rolle. Nachdem dieser aufgestellt ist, kann der volle Drehimpulssatz angeschrieben und die Vereinfachung für ω_R sehr viel größer als Ω gemacht werden. Zum Abschluss diskutieren wir noch, welche „Drehzahl“ mit einem solchen Gerät typischerweise gemessen wird. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir ausführlich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!
Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.
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Heute geht es wieder um ein Beispiel aus der Relativkinetik bzw. genauer gesagt aus der Relativkinematik (weil wir nur Geschwindigkeiten und Beschleunigungen berechnen). Hier ist die Angabe dazu:
Der Ausleger OA eines Transportbandes dreht sich im dargestellten Augenblick mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω1 um die z-Achse und richtet sich gleichzeitig mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω2 auf. Das Transportband selbst bewegt sich mit der Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨.
Wie der Name des Beispiels schon sagt, werden wir uns der Kinematik der Relativbewegung bedienen. Dazu überlegen wir uns ein geeignetes Koordinatensystem und stellen den Ortsvektor in diesem Koordinatensystem auf. Dann berechnen wir die Beiträge zur Absolutgeschwindigkeit, nämlich Relativ- und Führungsgeschwindigkeit, und stellen daraus die Absolutgeschwindigkeit für das Paket auf. Zum Schluß berechnen wir aus den Termen Relativ-, Führungs- und Coriolisbeschleunigung die Absolutbeschleunigung des Pakets. Zu allen Ergebnissen gibt es in diesem Fall auch Zahlenwerte. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir wieder ausführlich im aktuellen YouTube Video.
Sämtliche Fragen beantworte ich natürlich sehr gerne – schreibt sie mir einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.
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Vielleicht hast du dich schon einmal gefragt was Technische Mechanik eigentlich ist und wie wir sie einteilen? Außerdem stellt sich natürlich die wichtige Frage wobei sie uns eigentlich hilft? Dann klärt dieser Beitrag und das unten verlinkte kurze Video hoffentlich deine Fragen auf.
Wir besprechen darin unter anderem: *Wie die Mechanik definiert wird. *Wie Mechanik im Fachgebiet der Physik eingeteilt wird. *Welche Einteilungen wir üblicherweise in der Technischen Mechanik vornehmen. *Warum die Technische Mechanik für alle Ingenieurswissenschaften von höchster Relevanz ist. *Und nicht zuletzt meine Beweggründe für die Veröffentlichung von Blogbeiträgen und Videos.
Die Mechanik im Allgemeinen wird als Teil der Physik verstanden und beschäftigt sich mit dem Zustand von Körpern auf die Kräfte einwirken. Also mit der Bewegung, die aus den Kräften entsteht, und mit den Verformungen, die aus den Kräften entstehen.
Einteilung im Fachbereich Physik
Im Fachbereich Physik wird dabei strukturiert nach Kinematik, Dynamik und die Dynamik weiter eingeteilt in Statik und Kinetik. Die Kinematik beschäftigt sich hier mit den Bewegungsgesetzen, ohne sich über die Kräfte, die zu diesen Bewegungen führen, Gedanken zu machen.
Quelle: Wikipedia
Die Dynamik im klassischen Einteilungsfall hingegen hat als Spezialgebiet auch die Statik enthalten. Das heißt, die Dynamik beschäftigt sich im Allgemeinen mit der Wirkung von Kräften. Allerdings, wenn sich der Körper im Gleichgewicht befindet, dann sprechen wir hier als Unterteilung der Dynamik von Statik.
Und die Kinetik beschäftigt sich dann wiederum mit den Kräften, die zu einer Veränderung des Bewegungszustandes führen.
Einteilung im Fachbereich Technische Mechanik
In der technischen Mechanik strukturieren wir das Ganze ein wenig anders. Und zwar gibt es hier die Hauptgebiete Statik, Festigkeitslehre und Dynamik. Die Dynamik wird wiederum unterteilt in die Kinematik, die sich also nur mit den Bewegungsgesetzen beschäftigt und nicht mit den Kräften und den Momenten, die zu dieser Bewegung führen, und in die Kinetik, die sich dann sehr wohl mit den Kräften und Momenten, die zu einer Bewegung führen, beschäftigt.
Quelle: Wikipedia
Die Festigkeitslehre im Speziellen beschäftigt sich dann in der Technischen Mechanik mit den Zusammenhängen zwischen den auf einen verformbaren Körper einwirkenden äußeren Lasten und den daraus resultierenden inneren Beanspruchungen. Spannungen, Dehnungen etc. Hier finden wir dann auch oft die Unterteilung in linear elastisches Verhalten und in plastisches Materialverhalten.
Außerdem ist eine sehr beliebte Einteilung in der technischen Mechanik die Einteilung nach der Mechanik der starren Körper, der Mechanik der verformbaren Körper und der Mechanik der Flüssigkeiten, also Strömungsmechanik.
Relevanz für andere Fachgebiete
Die Technische Mechanik hat außerdem sehr viele Verbindungen zu ingenieurwissenschaftlichen Fachgebieten, weil sie ja schließlich die grundsätzlichen Berechnungsmethoden für diese Fachgebiete bereitstellt.
Exemplarisch seien hier der Maschinenbau und das Bauingenieurwesen genannt. Im Maschinenbau haben wir zum Beispiel die Maschinenelemente, die Fahrzeugtechnik, die Mechatronik, Maschinendynamik und so weiter.
Im Bauingenieurwesen haben wir es beispielsweise mit dem konstruktiven Ingenieursbau zu tun. Holzbau, Stahlbau, aber auch Boden- und Felsmechanik.
Wir sehen also, dass die Technische Mechanik für viele, wenn nicht alle ingenieurswissenschaftlichen Fachbereiche von höchster Relevanz ist. Genau deshalb habe ich diese Website und meinen YouTube Kanal ins Leben gerufen, um die grundlegenden Werkzeuge der Technischen Mechanik zu erklären.
Ich hoffe, ich konnte die Relevanz und die Einteilung der Technischen Mechanik etwas klarer machen. Wenn du Fragen hast, bitte stelle sie gerne in den Kommentaren. Ich werde alle Fragen gerne beantworten und ich hoffe wir sehen uns beim nächsten Artikel! Dort werden wir dann etwas genauer auf die Themen eingehen die ich in meinen Beiträgen diskutiere.
