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Prinzip von d’Alembert: Rollen & Walzen

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Herzlich Willkommen!

Es gab schon längere Zeit kein Beispiel zum Prinzip von d’Alembert. Das wollen wir diesmal ändern.

Gegeben sei das skizzierte System aus Rollen und Massen.

Ges.:
*sämtliche Bewegungsgleichungen des Systems.
*die Beschleunigung der Masse 5m.

Die Angabe gibt es natürlich wieder als Download, damit du das Beispiel vorab selbst rechnen kannst.

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In diesem Fall ist zwar sehr einfach aufzustellen welche Koordinaten und Zwangsbedingungen notwendig sind, die Rechnung selbst ist aber etwas aufwändiger. Typischerweise lösen wir ein solches Problem, indem wir das Prinzip von d’Alembert allgemein anschreiben und dann die Zwangsbedingungen einsetzen. Nachdem die Dynamik der Masse 5m gesucht ist, sollten wir lediglich darauf achten die Koordinaten dieser Masse in unseren Gleichungen zu behalten. Anschließend lassen sich mittels Koeffizientenvergleich und auflösen des entstehenden Gleichungssystems direkt die Beschleunigungen der Massen – insbesondere der Masse 5m – bestimmen. Das und noch einige zusätzliche Erklärungen und Nebenbemerkungen findest du im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!

Auch die Musterlösung stelle ich, wie gewohnt, als pdf zum Download zur Verfügung.

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Wenn ihr Fragen habt schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen schnellstmöglich beantworten.

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Alles Gute und bis bald,
Markus

Lagrange: Mathematisches Tripelpendel

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Herzlich Willkommen!

Das Tripelpendel ist die logische Fortführung des oft in der Lagrangemechanik behandelten Doppelpendels. Wir wollen dieses daher auch hier besprechen.

Gegeben ist ein mathematisches Tripelpendel laut Skizze.

Bestimme für dieses System:
*die Lagrangefunktion
*die Bewegungsgleichungen in allen generalisierten Koordinaten.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche idealerweise das Beispiel zuerst selbst zu lösen und greife erst dann auf meine Musterlösung zurück.

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Wir können hier ganz klassisch vorgehen und zu Beginn die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte bestimmen. Anschließend bietet es sich an die Geschwindigkeitsquadrate separat zu berechnen um diese dann direkt für die kinetische Energie zur Verfügung zu haben. Die Quadrate sind doch etwas längere Formen und auf diese Weise machen wir weniger leicht einen Fehler. Damit lassen sich dann sowohl kinetische und potentielle Energie sowie die Lagrangefunktion aufstellen. Schließlich müssen “nur noch” die Bewegungsgleichungen mittels Euler-Lagrange-Gleichungen berechnen. Das ist hier ebenfalls eine etwas längere Rechnung, weshalb ich die vollständige Rechnung nur für eine generalisierte Koordinate durchführe. Berechne gerne selbst die anderen Bewegungsgleichungen selbständig und melde dich bei mir, wenn es zu Problemen kommt. Das Endergebnis stelle ich natürlich zur Verfügung. Schritt für Schritt gehen wir die Lösung dieses Beispiels im verlinkten Video durch. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wenn du nicht so gerne Videos ansiehst, kannst du dir hier auch die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Kreisel: Kollermühle

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Herzlich Willkommen!

Wir fügen wieder einmal ein Kreiselbeispiel zu unserem Repertoire hinzu. Diesmal geht es um eine der klassischsten Anwendung der Kreiseldynamik, nämlich eine Kollermühle. Wie ihr wahrscheinlich wisst, wird dieses Gerät in der Zerkleinerungstechnik (z.B. um Mehl zu mahlen) verwendet. Warum das überhaupt funktioniert, sollte das heutige Beispiel sehr anschaulich zeigen.

Eine Kollermühle besteht aus einer drehbar gelagerten, dünnen Kreisscheibe (Masse m, Radius ρ0), die über einen masselosen Stab der Länge l=2ρ0 aus der Ruhelage mit konstanter Winkelbeschleunigung α beschleunigt wird, wobei gilt ω0(t)=αt.

Bestimme für reines Rollen zwischen Scheibe und Unterlage:
*das erforderliche äußere Moment M im mit der Scheibe mitrotierenden körperfesten Koordinatensystem e–1-e–2-e–3.
*die Zeit t1, bei der die Anpresskraft zwischen Scheibe und Unterlage FN=2mg beträgt.
*den erforderlichen minimalen Reibungskoeffizienten μ zwischen Scheibe und Unterlage, sodass während des gesamten Beschleunigungsvorganges reines Rollen sichergestellt ist.

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

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Wir können hier laut Angabe davon ausgehen, dass die Stange masselos ist, weil sie als sehr leicht im Vergleich zur Kreisscheibe angenommen wird. Daher reicht es aus, die relevanten Gleichungen für die Scheibe – allerdings im gegebenen e1-e2-e3-Koordinatensystem – anzuschreiben. Wir benötigen also den Drehimpulssatz der Scheibe. Damit wir diesen aufstellen können, brauchen wir wiederum die Winkelgeschwindigkeit und den Trägheitstensor der Kreisscheibe. Aus dem fertigen Drehimpulssatz lässt sich schließlich sowohl die gesuchte Zeit t1, als auch der minimal notwendige Reibungskoeffizient zwischen Scheibe und Unterlage bestimmen, sodass wir jederzeit reines Rollen haben. Wie immer findest du alle Details im verlinkten Video.

Für diejenigen unter euch die lieber lesen als ein Video anzuschauen gibt es das pdf der fertigen Rechnung hier zum Download.
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Bei Fragen meldet euch sehr gerne jederzeit bei mir. Ich versuche alles schnellstmöglich zu beantworten.

Hat euch das Video gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Abonniert auch unbedingt den Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus

Kreisel: Rotor in rotierender Gabel

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Herzlich Willkommen!

Kreiseldynamik ist derzeit noch eine recht unterrepräsentierte Spezies hier auf der Website. Dies soll sich im Laufe der Zeit ändern, daher gibt es heute wieder einmal ein Kreiselbeispiel mit folgender Angabe.

In einer Gabel, die mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω rotiert, ist ein Rotor gelagert, der sich seinerseits mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωr relativ zur Gabel dreht. Der Rotor besitzt die Hauptträgheitsmomente: Ix = Iy = Iz = I und das Gewicht G. Für die Gabel sind die Abmessungen l1, l2 und l gegeben.

Errechne im gabelfesten xyz−System:
*den Drehimpuls des Rotors bezüglich S.
*die Auflagerkräfte in C und D.
*die Auflagerkräfte in A und B zufolge des Rotors.

Quelle: Aufgabe 4.4.1 (S. 41) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

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Es handelt sich in diesem Fall um ein relativ simples Kreiselbeispiel. Nachdem die Rotationen von Rotor und Gabel normal zueinander stehen ergibt sich ein kompakter Drehimpulsvektor, der wiederum zu einem sehr kompakten Drehimpulssatz führt. Anschließend benötigen wir noch den Schwerpunktsatz als zweite Gleichung, der allerdings auch zum Kräftegleichgewicht wird, weil es keine Schwerpunktsbewegung gibt. Damit lassen sich schon alle vier Lagerreaktionen berechnen. Die Schritt-für-Schritt Erklärung findet ihr im Video. Viel Spaß damit.

Für diejenigen unter euch die wieder lieber lesen als ein Video zu schauen gibt es das pdf der fertigen Rechnung.
K01Herunterladen

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Bis bald,
Markus

Energiesatz: Halbzylinderschale rollt auf Unterlage

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon bei vorhergehenden Beispielen zur Thematik eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die Angabe vermuten lässt.

Eine dünne Halbzylinderschale der Masse m rollt ohne zu rutschen auf einer Ebene. Die Schale wird dabei aus der dargestellten Lage aus der Ruhe losgelassen.

Bestimme mittels Energiesatz:
*die Winkelgeschwindigkeit φ˙(φ) in Abhängigkeit der Lage φ
*den Winkel φ bei dem die Winkelgeschwindigkeit ihr Maximum erreicht.

Die Angabe als Download gibt es hier. Probiere vielleicht zuerst die Lösung selbst zu finden und schaue dir dann erst meine Musterlösung an. Das hilft in der Regel enorm beim Verständnis.

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Wir haben in diesem Fall jeweils die Energien zum Startzeitpunkt sowie für eine beliebige Winkellage aufzustellen. Dafür benötigen wir zuvor die Winkelgeschwindigkeit der Halbzylinderschale (über das analytische Prinzip einfach errechenbar) sowie auch die Lage des Schwerpunkts. Außerdem wird es am einfachsten sein die kinetische Energie der Rotation zu verwenden, also brauchen wir auch noch das Massenträgheitsmoment der Schale. Ist das alles bestimmt lassen sich die Energieterme einfach hinschreiben und über Energieerhaltung miteinander verknüpfen. Damit erhalten wir direkt einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels selbst. Im Detail sprechen wir wieder im Video über die Lösung. Viel Spaß beim Anschauen!


Es gibt natürlich auch wieder die Musterlösung als pdf – lade es gerne herunter.

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Solltest du fragen haben bitte schreibe gerne hier oder auf YouTube einen Kommentar. Mich interessiert natürlich auch was du generell zu diesem Beispiel und meiner Musterlösung sagst. Gerne jederzeit melden.

Wenn dir die Website und mein YouTube Kanal weiterhelfen, dann lass mir auch gerne ein Abo da und gib die Links an deine Studienkolleg*innen weiter.

Alles Gute, viel Spaß und bis bald,
Markus

Lagrange: Kreisscheibe mit Unwucht an Feder

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Herzlich Willkommen!

Im vorliegenden Beispiel zum Thema Schwingungen, wollen wir mit der Methode von Lagrange eine Rolle (Kreisscheibe) mit einer Unwucht betrachten. Die Rolle hängt zusätzlich an einer Feder und das System führt damit eine Schwingung aus.

Eine in der skizzierten Weise federnd aufgehängte, homogene Kreisscheibe mit Masse M und Radius r rollt auf einer waagrechten Unterlage ohne zu gleiten. Am Umfang der Scheibe befindet sich eine als Punktmasse anzusehende Unwucht der Masse m. Für x=0 ist die Feder mit Federkonstante c vollkommen entspannt und die Unwucht befindet sich senkrecht unter dem Scheibenschwerpunkt.

Bestimme für dieses System:
*die generalisierte Koordinate und Geschwindigkeit.
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems sowie dessen Lagrange Funktion.
*die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichung.
*die vereinfachte Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen x, also x/r und x/a sehr klein

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

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Das Beispiele lässt sich ganz klassisch nach dem Schema von Lagrange lösen. Wir wählen als generalisierte Koordinate die x-Auslenkung der Kreisscheibe, welche wir mit dem Rollwinkel/Ausslenkungswinkel der Unwucht in Verbindung bringen können. Dann stellen wir Koordinaten, Geschwindigkeiten sowie kinetische und potentielle Energie auf. Einzig bei der zeitlich veränderlichen Federlänge müssen wir ein wenig Geometrie ins Spiel bringen und diese Länge entsprechend durch x und die Abmessung a ausdrücken. Danach lässt sich die Lagrangefunktion anschreiben und die Bewegungsgleichung (es gibt hier ausnahmsweise nur eine) mittels Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. Zum Schluss sehen wir uns noch eine linearisierte Form der Bewegungsgleichung an. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wer nicht so gerne Videos ansieht, kann auch hier die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Lagrange: Mittels Seil verbundene Zylinder im Schwerefeld

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Herzlich Willkommen!

Auch wenn die Methode von Lagrange meist ohne Kräfte auskommt, lassen sich dennoch bei Bedarf auch Kräfte damit berechnen. Wie das funktionieren kann sehen wir uns in diesem Beitrag an.

Zwei homogene Zylinder mit Massen m1, m2 und Radien r1, r2 sind mit einem Faden umwickelt. Die Achse des Zylinders 1 ist reibungsfrei gelagert. Der Zylinder 2 fällt im Schwerefeld senkrecht nach unten. Beide Zylinder rollen ohne zu rutschen und spulen dabei Faden ab.

Stelle die Bewegungsgleichungen auf und berechne die Fadenkraft.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

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In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich durch reines Abrollen der Zylinder am Seil, eine Zwangsbedingung zwischen den Drehwinkeln und der x-Achse aufstellen lässt. Damit können wir ein der drei Variablen eliminieren und beispielsweise die beiden Winkel als generalisierte Koordinaten verwenden. Anschließend stellen wir wieder kinetische und potentielle Energie auf und schreiben mit deren Hilfe die Lagrangefunktion an. Es ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen, eine für jeden Winkel, die wir dann ineinander einsetzen und damit zwei geschlossene Gleichungen für die Beschleunigungen finden können. Anschließend lässt sich mit wenigen Zusatzüberlegungen (Drallsatz), die Seilkraft aus den Winkelbeschleunigungen bestimmen. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video.

Wer lesen bevorzugt, findet hier auch wieder die vollständige Lösung als pdf, allerdings dann ohne die üblichen Erklärungen zwischen den Zeilen. Diese findet ihr nur im Video.

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Schnittgrößen am gekrümmten Träger

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Herzlich Willkommen!

Wir haben uns mittlerweile über die Theorie zu Schnittgrößen unterhalten und uns auch einige Beispiele angesehen und dort Schnittgrößen an speziellen Punkten, Berechnungen des Schnittgrößenverlaufs sowie Schnittgrößen mittels Integration durchgeführt. Was uns in der Sammlung noch fehlt ist die Diskussion von Schnittgrößen am gekrümmten Träger. Dazu sehen wir uns als einfaches Beispiel einen Viertelkreisbogen an, welcher am oberen Ende eingespannt ist.

Ein Viertelkreisbogen wird laut Skizze durch die Kräfte F und P belastet. Berechne die Einspannreaktion in A sowie die Schnittgrößen N(φ), Q(φ), M(φ).

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass es mit dem Winkel φ mit dreht, wobei für φ=0 die ex-Achse nach rechts, die ey-Achse aus der Blattebene heraus und die ez-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Die Berechnung der Einspannreaktionen ist für die konkrete Fragestellung – wie wir später sehen werden – eigentlich gar nicht nötig. Dennoch berechnen wir diese und holen uns damit eine wenig zusätzliche Übung. Dazu bedarf es wieder eines Freikörperbildes und dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Hier sind diese aber so einfach, dass wir sofort die Ergebnisse für die Lagerreaktionen anschreiben können. Effizienz ist schließlich auch wichtig. Danach geht es darum zu besprechen wie das Koordinatensystem sich entlang des Kreisbogens ändert. Das ist deshalb relevant, weil wir damit auch positives und negatives Schnittufer sowie die positiven Richtungen der Schnittgrößen selbst definieren. Ist das erledigt werden noch die Einzelkräfte P und F in Komponenten entlang des gedrehten Koordinatensystems zerlegt und wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Letztere definieren dann in diesem einfachen Fall bereits die Schnittgrößen. Damit sollte auch für komplexere gekrümmte und sogar zusammengesetzte Träger prinzipiell klar sein, wie Schnittgrößen berechnet werden. Die Details und viele kleine Zusatzanmerkungen zur Rechnung findet ihr wie immer im verlinkten Video!


Den vollständigen Lösungsweg als pdf stelle ich auch hier wieder zur Verfügung.
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Stellt gerne jederzeit eure Fragen. Erfahrungsgemäß handelt es sich bei Schnittgrößen am gekrümmten Träger um eine Thematik die vergleichsweise viele Fragen aufwirft. Wie ihr wisst gehe ich jederzeit gerne auf diese Fragen ein.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Schnittgrößen mittels Integration

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Herzlich Willkommen!

Nachdem wir bereits theoretisch über Schnittgrößen diskutiert haben, uns Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers und auch die Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs angesehen haben, möchten wir uns nun der Berechnung von Querkraft und Biegemoment mittels Integration widmen. Dazu folgendes Beispiel.

Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen, sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).
Geg.: q0, l

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Wir beginnen wie gewohnt mit einem Freikörperbild, nämlich um die Lagerreaktionen berechnen zu können. Dann stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und berechnen alle Auflagerkräfte in A und B. Dabei können wir für die Streckenlast eine Kombination aus Rechtecks- und Dreiecksform und deren entsprechende resultierende Einzellasten verwenden. Wenn das erledigt ist widmen wir uns schließlich der Berechnung der Querkraft über das Integral, genau wie im Theoriebeitrag zu Schnittgrößen besprochen. Natürlich müssen wir uns dazu noch überlegen welche Funktion unsere trapezförmige Streckenlast korrekt beschreibt. Auch hier werden wir wieder bei der Geradengleichung fündig. Im Anschluss an die Querkraft können wir dann das Schnittmoment bestimmen, indem wir einfach die Querkraft noch einmal integrieren. Zum Schluss zeige ich euch auch noch einen alternativen Weg zur Bestimmung des Schnittmoments und wir diskutieren die Wichtigkeit einer Dimensionskontrolle. Alles im Detail findest ihr wie immer im verlinkten Video sowie auch in der angehängten pdf-Datei. Viel Spaß damit!


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Auch hier gilt – wie schon bei den vorhergehenden Beispielen zu den Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Unklarheiten bitte also unbedingt gleich melden.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Energiesatz: Rollendes Rad an Feder (Schwingung)

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon beim letzten Beispiel zu diesem Thema eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die folgende Angabe zeigt.

Ein Rad mit der Masse m und dem Trägheitsradius is rollt ohne zu gleiten. Im entspannten Zustand hat die Feder die Länge l0 und die Federkonstante c. In der skizzierten Position wird das Rad aus der Ruhe freigegeben.
Geg.: m = 60 kg, is = 0.6 m, r = 1 m, l = 3 m, l0 = 0.5 m, c = 10 N/m, β = 60°

Ges.:
*der allgemeine Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ω des Rades, nachdem es sich um den Winkel β im Uhrzeigersinn verdreht hat.
*der Zahlenwert für diese Winkelgeschwindigkeit ω.

Die Angabe gibt es natürlich wie gewohnt hier als Download.

Die Lösung dieses Beispiels ist an sich recht kurz, erfordert aber einige Überlegungen zur Geometrie. So müssen wir uns insbesondere Gedanken darüber machen wie sich die Federlänge in Abhängigkeit von der Rollbewegung des Rades ändert. Wenn das erledigt ist und wir uns für eine Betrachtung am Momentanpol des Rades entscheiden, ist alles weitere schnell aufgeschrieben. Es gibt in diesem Fall nur eine kinetische Energie der Rotation und die potentiellen Energien der Feder zu Beginn und am Ende. Damit lässt sich leicht die Winkelgeschwindigkeit des Rades als Funktion des Drehwinkels bestimmen. Die Details dazu findest du wie gehabt im verlinkten Video.


Ich beginne ab diesem Beispiel auch damit pdf-Dateien des Lösungsweges bereitzustellen. Falls das für dich interessant ist, hinterlasse mir gerne einen Kommentar, dann kann ich gerne auch bei schon besprochenen Beispielen solche pdfs nachreichen.

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Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.

Hat euch das Beispiel und die Musterlösung gefallen? Dann lasst bitte unbedingt auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Außerdem freue ich mich über ein Abo meines YouTube Kanals! Ihr helft mir damit enorm. Vielen Dank!

Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus