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Stoß: Kerbschlagversuch

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Herzlich Willkommen!

Nach langer Pause melde ich mich nun endlich wieder mit einem neuen Beispiel zurück und werde ab sofort wieder regelmäßiger Inhalte zur Verfügung stellen. Heute starten wir mit einem Stoßproblem in das Jahr 2024.

Mit dem Pendelschlagwerk nach Skizze wird die Kerbschlagfestigkeit einer Werkstoffprobe
geprüft. Das Schlagwerk hat die Form eines Hammers. Der Stiel ist ein Stab der Länge l
und der Masse m1. Der Hammerkopf kann angenähert als homogene Kreisscheibe mit dem
Radius r und der Masse m2 aufgefasst werden. Das Schlagpendel wird aus der anfänglichen
Ruhelage unter dem Winkel ϕ0 losgelassen, trifft die Werkstoffprobe in der Senkrechten
und erreicht nach dem Stoß die Umkehrlage bei einem Winkel ϕ3.
Gegeben: m1 = 6kg, m2 = 25kg, l = 0,65m, r = 0,18m, ϕ0 = 70°, ϕ3 = 40°

Quelle: Aufgabe D28 (S. 338) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Die Angabe gibt es hier wie bei allen Beispielen zum Download.

Stoss-S05Herunterladen

Dieses Beispiel ist deshalb interessant, weil es sich nur auf den ersten Blick als Stoßbeispiel präsentiert. In Wirklichkeit handelt es sich um ein Problem, dass komplett ohne Stoßbetrachtung berechnet werden kann. Wie das geht zeige ich im verlinkten Video detailliert. Viel Spaß damit!

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald und alles Gute,
Markus

Lagrange: Mathematisches Tripelpendel

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Herzlich Willkommen!

Das Tripelpendel ist die logische Fortführung des oft in der Lagrangemechanik behandelten Doppelpendels. Wir wollen dieses daher auch hier besprechen.

Gegeben ist ein mathematisches Tripelpendel laut Skizze.

Bestimme für dieses System:
*die Lagrangefunktion
*die Bewegungsgleichungen in allen generalisierten Koordinaten.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche idealerweise das Beispiel zuerst selbst zu lösen und greife erst dann auf meine Musterlösung zurück.

Lagrange-L22Herunterladen

Wir können hier ganz klassisch vorgehen und zu Beginn die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte bestimmen. Anschließend bietet es sich an die Geschwindigkeitsquadrate separat zu berechnen um diese dann direkt für die kinetische Energie zur Verfügung zu haben. Die Quadrate sind doch etwas längere Formen und auf diese Weise machen wir weniger leicht einen Fehler. Damit lassen sich dann sowohl kinetische und potentielle Energie sowie die Lagrangefunktion aufstellen. Schließlich müssen „nur noch“ die Bewegungsgleichungen mittels Euler-Lagrange-Gleichungen berechnen. Das ist hier ebenfalls eine etwas längere Rechnung, weshalb ich die vollständige Rechnung nur für eine generalisierte Koordinate durchführe. Berechne gerne selbst die anderen Bewegungsgleichungen selbständig und melde dich bei mir, wenn es zu Problemen kommt. Das Endergebnis stelle ich natürlich zur Verfügung. Schritt für Schritt gehen wir die Lösung dieses Beispiels im verlinkten Video durch. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wenn du nicht so gerne Videos ansiehst, kannst du dir hier auch die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

L22Herunterladen

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Stoß: Qualitätskontrolle von Preiselbeeren (Rücksprungtest)

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Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns ein Beispiel aus der Lebensmittelverarbeitung an. Es handelt sich dabei um die Qualitätskontrolle von Preiselbeeren mittels Rücksprungtest.

Erstaunlicherweise werden Preiselbeeren zur Qualitätskontrolle einem Rücksprungtest unterworfen, wobei die Stoßziffer zwischen Beere und Aufprallebene mindestens ϵ betragen muss. Bestimme die Abmessungen d und h zur Positionierung der Schranke C so, dass nur Preiselbeeren welchen den Qualitätskriterien entsprechen in den Auffangbehälter in C gelangen. Die Früchte werden einzeln in A aus der Ruhe losgelassen.

Geg.: ϵ = 0.8, hA = 1m, tan α = 3/4

Die Angabe gibt es hier wie jedesmal zum Download.

Stoss-S25Herunterladen

Wir starten hier, wie so oft, mit der Energieerhaltung um die Geschwindigkeit der Preiselbeere unmittelbar vor dem Aufprall zu bestimmen. Dann ist wichtig zu beachten, dass die Unterlage als glatt angenommen wird, wir also Impulserhaltung in Tangentialrichtung und die Stoßhypothese in Normalrichtung (bezogen auf die Unterlage) ansetzen können. Mit ein wenig zusätzlicher Kinematik können wir schließlich die Komponenten der Geschwindigkeit unserer Preiselbeere unmittelbar nach dem Stoß als Funktion der Stoßziffer anschreiben. Schließlich müssen wir noch einen schiefen Wurf ansetzen um Abstand und Höhe der Barriere berechnen zu können. Damit sind wir auch schon am Ziel unserer Berechnung angelangt. Im verlinkten Video gibt es wie gewohnt sämtliche Details und Schritte ausführlich erklärt. Viel Spaß damit!

Selbstverständlich gibt es auch wieder den schriftlichen Lösungsweg als Download. Damit könnt ihr einzelne Rechenschritte leichter vergleichen.

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Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Bis bald und alles Gute,
Markus

Stoß: Kugel stößt exzentrisch mit Platte

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Herzlich Willkommen!

Ich hatte über YouTube gefragt ob ihr auch alte Aufnahmen haben wollte und die Antwort war ein klares JA. Damit gibt es hier das erste von etlichen Beispielen die noch mit altem Equipment entstanden sind. Die Videoqualität, sowie auch die Auflösung des elektronischen Whiteboards sind nicht ideal, aber die fachlichen Inhalte sind dennoch wie gewohnt.

In diesem Beispiel geht es um den Stoß einer Kugel mit einer drehbar aufgehängten Platte.

Eine quadratische Platte der Masse mB ist gemäß Skizze bei C drehbar aufgehängt. Im Punkt E im Abstand l von der Aufhängung stößt eine Kugel (punktförmige Masse mA) mit der Geschwindigkeit vA1 gegen die anfangs ruhende Platte. Die Stoßziffer beträgt ϵ.

Geg.: mA=1.2kg, mB=3kg, a=0.6m, l=0.4m, vA1=5ms−1, ϵ=0.8

Ges.:
*Massenträgheitsmoment der Platte bezogen auf den Aufhängepunkt C
*Winkelgeschwindigkeit der Platte und Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar nach dem Stoß *Stoßantriebe in den Punkten E und C
*Energieverlust während des Stoßvorganges
*Wie groß müsste die Geschwindigkeit vA1 der Kugel unmittelbar vor dem Stoß sein, damit sich die Platte nach dem Stoß überschlägt?

Die Angabe gibt es hier auch zum Download.

Stoss-S15Herunterladen

Nachdem hier der innere Stoßantrieb am Punkt E gefragt ist (c), ist es sinnvoll die beiden Stoßpartner getrennt zu betrachten. Wir schreiben also für jeden Impuls- und Drehimpulssatz an, sowie die gemeinsame Stoßhypothese. Damit und mit zwei kinematischen Überlegungen sowie den Massenträgheitsmomenten (auch die Kugel hat um C ein Massenträgheitsmoment!) haben wir bereits ein vollständiges Gleichungsystem vorliegen. Dieses können wir direkt lösen und uns danach noch Gedanken über den Energieverlust bzw. den Fall des Überschlagens machen. Die Details sind wie gewohnt im Video zu finden. Viel Spaß damit!

Selbstverständlich gibt es auch wieder den schriftlichen Lösungsweg als Download. Damit könnt ihr einzelne Rechenschritte leichter vergleichen.

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Stoß: Verkehrsunfall auf nasser Fahrbahn

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Heute wollen wir Unfallsachverständige spielen und uns folgende Situation ansehen.

Ein PKW (2) schleudert auf nasser Fahrbahn und bleibt quer stehen. Trotz Vollbremsung, also Rutschen mit Reibungskoeffizient μ1, ab der Entfernung s1 prallt der nachfolgende Wagen (1) zentrisch so stark auf, dass der Wagen (2) um die Strecke s2 weiterrutscht, wobei der Reibungskoeffizient μ2 beträgt. Die Stoßzahl ist mit ϵ gegeben.

Geg.: m1 = 2m2, μ1 = μ2 = 1/3, ε = 0.2, s1 = 50m, s2 = 10m

Berechne
*die Geschwindigkeit v0 des Wagens (1) vor dem Bremsen.
*die Geschwindigkeit v1 des Wagens (1) unmittelbar vor dem Zusammenstoß.

Quelle: Aufgabe 6.4 (S. 145) aus D. Gross et al., Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3, 10. erweiterte Auflage, 2012 Springer-Verlag, Berlin Heidelberg

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

Stoss-S24Herunterladen

Der Lösungsweg ist in diesem Fall recht klar. Wir wissen die Strecken s1 und s2, die Massen und Reibungskoeffizienten der PKWs und eine Stoßziffer. Damit können wir auf die Geschwindigkeit schließen, die der PKW 1 unmittelbar vor dem Zusammenstoß hatte und in weiterer Folge auf die Geschwindigkeit mit der das Bremsmanöver eingeleitet wurde. Wir verwenden dazu den Arbeitssatz für die beiden Strecken, sowie Impulsbilanz und Stoßhypothese für den Stoßvorgang selbst. Auflösen dieser Gleichungssysteme liefert dann die gesuchte Ergebnisse. Wie immer erkläre ich im Video genau worauf es bei der Berechnung ankommt. Viel Spaß damit!

Selbstverständlich gibt es auch wieder den schriftlichen Lösungsweg als Download.

S24Herunterladen

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Lagrange: Kreisscheibe mit Unwucht an Feder

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Im vorliegenden Beispiel zum Thema Schwingungen, wollen wir mit der Methode von Lagrange eine Rolle (Kreisscheibe) mit einer Unwucht betrachten. Die Rolle hängt zusätzlich an einer Feder und das System führt damit eine Schwingung aus.

Eine in der skizzierten Weise federnd aufgehängte, homogene Kreisscheibe mit Masse M und Radius r rollt auf einer waagrechten Unterlage ohne zu gleiten. Am Umfang der Scheibe befindet sich eine als Punktmasse anzusehende Unwucht der Masse m. Für x=0 ist die Feder mit Federkonstante c vollkommen entspannt und die Unwucht befindet sich senkrecht unter dem Scheibenschwerpunkt.

Bestimme für dieses System:
*die generalisierte Koordinate und Geschwindigkeit.
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems sowie dessen Lagrange Funktion.
*die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichung.
*die vereinfachte Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen x, also x/r und x/a sehr klein

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Lagrange-L17Herunterladen

Das Beispiele lässt sich ganz klassisch nach dem Schema von Lagrange lösen. Wir wählen als generalisierte Koordinate die x-Auslenkung der Kreisscheibe, welche wir mit dem Rollwinkel/Ausslenkungswinkel der Unwucht in Verbindung bringen können. Dann stellen wir Koordinaten, Geschwindigkeiten sowie kinetische und potentielle Energie auf. Einzig bei der zeitlich veränderlichen Federlänge müssen wir ein wenig Geometrie ins Spiel bringen und diese Länge entsprechend durch x und die Abmessung a ausdrücken. Danach lässt sich die Lagrangefunktion anschreiben und die Bewegungsgleichung (es gibt hier ausnahmsweise nur eine) mittels Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. Zum Schluss sehen wir uns noch eine linearisierte Form der Bewegungsgleichung an. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wer nicht so gerne Videos ansieht, kann auch hier die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

L17Herunterladen

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Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Lagrange: Mittels Seil verbundene Zylinder im Schwerefeld

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Herzlich Willkommen!

Auch wenn die Methode von Lagrange meist ohne Kräfte auskommt, lassen sich dennoch bei Bedarf auch Kräfte damit berechnen. Wie das funktionieren kann sehen wir uns in diesem Beitrag an.

Zwei homogene Zylinder mit Massen m1, m2 und Radien r1, r2 sind mit einem Faden umwickelt. Die Achse des Zylinders 1 ist reibungsfrei gelagert. Der Zylinder 2 fällt im Schwerefeld senkrecht nach unten. Beide Zylinder rollen ohne zu rutschen und spulen dabei Faden ab.

Stelle die Bewegungsgleichungen auf und berechne die Fadenkraft.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Lagrange-L16Herunterladen

In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich durch reines Abrollen der Zylinder am Seil, eine Zwangsbedingung zwischen den Drehwinkeln und der x-Achse aufstellen lässt. Damit können wir ein der drei Variablen eliminieren und beispielsweise die beiden Winkel als generalisierte Koordinaten verwenden. Anschließend stellen wir wieder kinetische und potentielle Energie auf und schreiben mit deren Hilfe die Lagrangefunktion an. Es ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen, eine für jeden Winkel, die wir dann ineinander einsetzen und damit zwei geschlossene Gleichungen für die Beschleunigungen finden können. Anschließend lässt sich mit wenigen Zusatzüberlegungen (Drallsatz), die Seilkraft aus den Winkelbeschleunigungen bestimmen. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video.

Wer lesen bevorzugt, findet hier auch wieder die vollständige Lösung als pdf, allerdings dann ohne die üblichen Erklärungen zwischen den Zeilen. Diese findet ihr nur im Video.

L16Herunterladen

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Markus

Stoß: Projektil trifft auf Scheibe

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Herzlich Willkommen!

Wir widmen uns wieder einem Stoßbeispiel. Dieses Mal geht es um ein Projektil das auf eine aufgehängte Scheibe auftrifft und in diese eindringt.

Ein Projektil der Masse mP dringt mit der Geschwindigkeit vP in die Mantelfläche einer Scheibe der Masse mS unter dem Winkel α zur Horizontalen ein. Unmittelbar vor dem Stoß befindet sich die Scheibe in Ruhe.

Geg.: mP = 7g, mS = 5kg, vP = 800m/s, r = 0.2m, α = 30°

Ges.:
*die Winkelgeschwindigkeit ω′S der Scheibe unmittelbar nach dem Eindringen des Projektils.
*der Winkel θ um den die Scheibe schwingt bis sie ihren Umkehrpunkt erreicht hat.

Quelle: Aufgabe x.x (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

Stoss-S22Herunterladen

In diesem Fall bevorzuge ich die Zerlegung des Systems in Projektil und Scheibe und die Einführung eines inneren Stoßantriebs. So können wir einen Impulssatz für das Projektil anschreiben, das wir als Punktmasse betrachten dürfen. Andererseits lässt sich für die Scheibe ein Drehimpulssatz um das Lager aufstellen. Zusätzlich benötigen wir natürlich noch eine kinematische Bedingungen. Diese ist hier jene des rauen Stoßes, also gleiche Geschwindigkeitsvektoren von Projektil und Eindringpunkt unmittelbar nach dem Stoßvorgang. Damit lässt sich dann die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe bestimmen. Schließlich können wir über eine einfach Energiebetrachtung noch den Umkehrpunkt der Schwingung bestimmen. Wie das geht besprechen wir im verlinkten Video im Detail. Viel Spaß damit!

Wie auch schon die letzten Male stelle ich zusätzlich wieder ein pdf mit dem vollständigen Lösungsweg zur Verfügung.

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Lagrange: Dynamik eines hochgeworfenen Seils

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Herzlich Willkommen!

Ein sehr interessantes – und oft in der analytischen Mechanik anzutreffendes – Beispiel ist jenes, das wir uns in diesem Beitrag genauer ansehen wollen.

Ein Seil der Länge l wird senkrecht in die Luft geworfen. Es sei voll beweglich, sodass der Knick frei über das Seil laufen kann. Die Seilmasse pro Längeneinheit sei ρ. Die Krümmung der Knickstelle ist als vernachlässigbar anzusehen, d.h. die relevante Bewegung findet nur in x-Richtung statt.

Ges.:
*Finde geeignete generalisierte Koordinaten und stelle die Lagrangefunktion des Systems auf.
*Leite die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten her.
*Wie verhält sich die Geschwindigkeit der Knickstelle, wenn diese das Seilende erreicht?

Die Angabe gibt es wie üblich als Download, damit du dir das Beispiel in Ruhe selbst ansehen kannst.

Lagrange-L15Herunterladen

Auch hier braucht es zu Beginn einen Ansatz für die generalisierten Koordinaten bzw. die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilstücke des Seils. Dabei hilft uns wieder eine Zwangsbedingung, nämlich jene konstanter Seillänge. Dann erhalten wir aus den Koordinaten durch Zeitableitung wieder die Geschwindigkeiten der Seilschwerpunkte. Vorsicht ist hier beim Aufstellen der Energien geboten. Nachdem die Knickstelle des Seils ja wandern soll, muss auch die Masse der Teilstücke sich verändern. Wir haben es also erstmals mit einer zeitabhängigen Masse in der kinetischen Energie zu tun. Diese lässt sich allerdings mit der gegebenen Seilmasse pro Längeneinheit relativ einfach aufstellen. Ähnlich gehen wir bei der potentiellen Energie vor, sodass wir schließlich die Lagrangefunktion anschreiben können. Im nächsten Schritt bestimmen wir die Bewegungsgleichungen der Seilenden und können daraus schließlich eine geschlossene Differentialgleichung bauen. Dann wollen wir aber auch noch wissen, wie sich die Geschwindigkeit der Knickstelle verhält. Durch kluge Substitution finden wir eine sehr einfache Differentialgleichung die sich mit ein wenig Aufwand lösen lässt. Schließlich erhalten wir eine sehr einfach Gleichung für die Geschwindigkeit der Knickstelle. Daran ist abzulesen was passiert, wenn wir ein Seilende erreichen. Allerdings möchte ich das hier noch nicht verraten, sondern die Spannung ein wenig aufrecht erhalten. Um das Phänomen zu erfahren das wir hier mathematisch abgeleitet haben, musst du dir schon das Video ansehen. Viel Spaß damit!

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Viel Spaß mit diesem etwas aufwändigeren Beispiel und bis bald,
Markus

Unelastischer Stoß: Punktmasse bleibt in Quader stecken

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Herzlich Willkommen!

Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.

Eine Masse m2 stößt vollkommen unelastisch mit der Geschwindigkeit v2 gegen eine ruhende Masse m1, die an zwei gleichlangen, masselosen Pendelstützen aufgehängt ist und verbleibt in ihr. Aus dem Maximalausschlag φ=α soll auf die Geschwindigkeit v2 geschlossen werden, wobei die Wirkungslinie von v2 durch den Schwerpunkt von m1 geht.

Ges.:
*Geschwindigkeit der Massen nach dem Stoß.
*Zusammenhang zwischen dem Winkel α der Umkehrlage und v2
*Energieverlust während dem Stoß

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

Stoss-S16Herunterladen

Zur Lösung dieses Beispiels verwenden wir für den Stoßvorgang selbst eine reine Impulsbilanz, die wir für das Gesamtsystem aufstellen. Nachdem es sich um einen zentrischen Stoß handelt, reicht uns diese Impulsbilanz aus um einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß mit jener unmittelbar vor dem Stoß herzustellen. Zur Ermittlung des gesuchten Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit v2 der Punktmasse vor dem Stoß und dem Maximalausschlag der Gesamtmasse danach setzen wir anschließend eine Energieerhaltung an, weil der Schwingvorgang nach dem Stoß ohne Energieverlust passiert. Schließlich können wir den Energieverlust der während des Stoßvorgangs selbst auftritt mittels einer Energiebilanz zwischen den Zeitpunkten unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Die Details und weitere Anmerkungen zum Beispiel findet ihr wie immer im verlinkten Video. Viel Freude dabei!

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