Herzlich Willkommen!

Das Tripelpendel ist die logische Fortführung des oft in der Lagrangemechanik behandelten Doppelpendels. Wir wollen dieses daher auch hier besprechen.

Gegeben ist ein mathematisches Tripelpendel laut Skizze.

Bestimme für dieses System:
*die Lagrangefunktion
*die Bewegungsgleichungen in allen generalisierten Koordinaten.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche idealerweise das Beispiel zuerst selbst zu lösen und greife erst dann auf meine Musterlösung zurück.

Wir können hier ganz klassisch vorgehen und zu Beginn die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte bestimmen. Anschließend bietet es sich an die Geschwindigkeitsquadrate separat zu berechnen um diese dann direkt für die kinetische Energie zur Verfügung zu haben. Die Quadrate sind doch etwas längere Formen und auf diese Weise machen wir weniger leicht einen Fehler. Damit lassen sich dann sowohl kinetische und potentielle Energie sowie die Lagrangefunktion aufstellen. Schließlich müssen „nur noch“ die Bewegungsgleichungen mittels Euler-Lagrange-Gleichungen berechnen. Das ist hier ebenfalls eine etwas längere Rechnung, weshalb ich die vollständige Rechnung nur für eine generalisierte Koordinate durchführe. Berechne gerne selbst die anderen Bewegungsgleichungen selbständig und melde dich bei mir, wenn es zu Problemen kommt. Das Endergebnis stelle ich natürlich zur Verfügung. Schritt für Schritt gehen wir die Lösung dieses Beispiels im verlinkten Video durch. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wenn du nicht so gerne Videos ansiehst, kannst du dir hier auch die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

Unterstütze bitte meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und des YouTube Kanals. Falls du es noch nicht getan hast, verhilfst du mir außerdem mit einem Abo zu mehr Sichtbarkeit bei den YouTube-Göttern. 😉 Vielen Dank dafür!

Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Herzlich Willkommen!

Im vorliegenden Beispiel zum Thema Schwingungen, wollen wir mit der Methode von Lagrange eine Rolle (Kreisscheibe) mit einer Unwucht betrachten. Die Rolle hängt zusätzlich an einer Feder und das System führt damit eine Schwingung aus.

Eine in der skizzierten Weise federnd aufgehängte, homogene Kreisscheibe mit Masse M und Radius r rollt auf einer waagrechten Unterlage ohne zu gleiten. Am Umfang der Scheibe befindet sich eine als Punktmasse anzusehende Unwucht der Masse m. Für x=0 ist die Feder mit Federkonstante c vollkommen entspannt und die Unwucht befindet sich senkrecht unter dem Scheibenschwerpunkt.

Bestimme für dieses System:
*die generalisierte Koordinate und Geschwindigkeit.
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems sowie dessen Lagrange Funktion.
*die Bewegungsgleichung mit Hilfe der Euler-Lagrange Gleichung.
*die vereinfachte Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen x, also x/r und x/a sehr klein

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

Das Beispiele lässt sich ganz klassisch nach dem Schema von Lagrange lösen. Wir wählen als generalisierte Koordinate die x-Auslenkung der Kreisscheibe, welche wir mit dem Rollwinkel/Ausslenkungswinkel der Unwucht in Verbindung bringen können. Dann stellen wir Koordinaten, Geschwindigkeiten sowie kinetische und potentielle Energie auf. Einzig bei der zeitlich veränderlichen Federlänge müssen wir ein wenig Geometrie ins Spiel bringen und diese Länge entsprechend durch x und die Abmessung a ausdrücken. Danach lässt sich die Lagrangefunktion anschreiben und die Bewegungsgleichung (es gibt hier ausnahmsweise nur eine) mittels Euler-Lagrange-Gleichung ableiten. Zum Schluss sehen wir uns noch eine linearisierte Form der Bewegungsgleichung an. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video. Viel Spaß und zahlreiche Erkenntnisse damit.

Wer nicht so gerne Videos ansieht, kann auch hier die vollständige Lösung als pdf herunterladen. Die zahlreichen Erklärungen zwischen den Zeilen gehen so allerdings leider verloren. Aus diesem Grunde empfehle ich persönlich das Video. Der Download kann aber natürlich als zusätzliche Referenz dienen.

Unterstütze bitte meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und des YouTube Kanals. Falls du es noch nicht getan hast, verhilfst du mir außerdem mit einem Abo zu mehr Sichtbarkeit. Vielen Dank dafür!

Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Herzlich Willkommen!

Auch wenn die Methode von Lagrange meist ohne Kräfte auskommt, lassen sich dennoch bei Bedarf auch Kräfte damit berechnen. Wie das funktionieren kann sehen wir uns in diesem Beitrag an.

Zwei homogene Zylinder mit Massen m₁, m₂ und Radien r₁, r₂ sind mit einem Faden umwickelt. Die Achse des Zylinders 1 ist reibungsfrei gelagert. Der Zylinder 2 fällt im Schwerefeld senkrecht nach unten. Beide Zylinder rollen ohne zu rutschen und spulen dabei Faden ab.

Stelle die Bewegungsgleichungen auf und berechne die Fadenkraft.

Die Angabe gibt es hier als Download. Versuche gerne das Beispiel zuerst selbst zu lösen, damit lässt sich üblicherweise am meisten lernen.

In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich durch reines Abrollen der Zylinder am Seil, eine Zwangsbedingung zwischen den Drehwinkeln und der x-Achse aufstellen lässt. Damit können wir ein der drei Variablen eliminieren und beispielsweise die beiden Winkel als generalisierte Koordinaten verwenden. Anschließend stellen wir wieder kinetische und potentielle Energie auf und schreiben mit deren Hilfe die Lagrangefunktion an. Es ergeben sich zwei Bewegungsgleichungen, eine für jeden Winkel, die wir dann ineinander einsetzen und damit zwei geschlossene Gleichungen für die Beschleunigungen finden können. Anschließend lässt sich mit wenigen Zusatzüberlegungen (Drallsatz), die Seilkraft aus den Winkelbeschleunigungen bestimmen. Wie gewohnt besprechen wir die Details zur Lösung dieses Problems im verlinkten Video.

Wer lesen bevorzugt, findet hier auch wieder die vollständige Lösung als pdf, allerdings dann ohne die üblichen Erklärungen zwischen den Zeilen. Diese findet ihr nur im Video.

Unterstütze bitte meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und des YouTube Kanals. Falls du es noch nicht getan hast, verhilfst du mir außerdem mit einem Abo zu mehr Sichtbarkeit. Vielen Dank dafür!

Bis zum nächsten Beitrag,
Markus

Herzlich Willkommen!

Ein sehr interessantes – und oft in der analytischen Mechanik anzutreffendes – Beispiel ist jenes, das wir uns in diesem Beitrag genauer ansehen wollen.

Ein Seil der Länge l wird senkrecht in die Luft geworfen. Es sei voll beweglich, sodass der Knick frei über das Seil laufen kann. Die Seilmasse pro Längeneinheit sei ρ. Die Krümmung der Knickstelle ist als vernachlässigbar anzusehen, d.h. die relevante Bewegung findet nur in x-Richtung statt.

Ges.:
*Finde geeignete generalisierte Koordinaten und stelle die Lagrangefunktion des Systems auf.
*Leite die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten her.
*Wie verhält sich die Geschwindigkeit der Knickstelle, wenn diese das Seilende erreicht?

Die Angabe gibt es wie üblich als Download, damit du dir das Beispiel in Ruhe selbst ansehen kannst.

Auch hier braucht es zu Beginn einen Ansatz für die generalisierten Koordinaten bzw. die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilstücke des Seils. Dabei hilft uns wieder eine Zwangsbedingung, nämlich jene konstanter Seillänge. Dann erhalten wir aus den Koordinaten durch Zeitableitung wieder die Geschwindigkeiten der Seilschwerpunkte. Vorsicht ist hier beim Aufstellen der Energien geboten. Nachdem die Knickstelle des Seils ja wandern soll, muss auch die Masse der Teilstücke sich verändern. Wir haben es also erstmals mit einer zeitabhängigen Masse in der kinetischen Energie zu tun. Diese lässt sich allerdings mit der gegebenen Seilmasse pro Längeneinheit relativ einfach aufstellen. Ähnlich gehen wir bei der potentiellen Energie vor, sodass wir schließlich die Lagrangefunktion anschreiben können. Im nächsten Schritt bestimmen wir die Bewegungsgleichungen der Seilenden und können daraus schließlich eine geschlossene Differentialgleichung bauen. Dann wollen wir aber auch noch wissen, wie sich die Geschwindigkeit der Knickstelle verhält. Durch kluge Substitution finden wir eine sehr einfache Differentialgleichung die sich mit ein wenig Aufwand lösen lässt. Schließlich erhalten wir eine sehr einfach Gleichung für die Geschwindigkeit der Knickstelle. Daran ist abzulesen was passiert, wenn wir ein Seilende erreichen. Allerdings möchte ich das hier noch nicht verraten, sondern die Spannung ein wenig aufrecht erhalten. Um das Phänomen zu erfahren das wir hier mathematisch abgeleitet haben, musst du dir schon das Video ansehen. Viel Spaß damit!

Unterstütze bitte meine Arbeit durch ein Like und eine Weiterempfehlung der Website und meines YouTube Kanals. Falls du es noch nicht getan hast, verhilfst du mir außerdem mit einem Abo zu mehr Sichtbarkeit. Vielen Dank vorab!

Viel Spaß mit diesem etwas aufwändigeren Beispiel und bis bald,
Markus