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Prinzip von d’Alembert: Rollen & Walzen

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Herzlich Willkommen!

Es gab schon längere Zeit kein Beispiel zum Prinzip von d’Alembert. Das wollen wir diesmal ändern.

Gegeben sei das skizzierte System aus Rollen und Massen.

Ges.:
*sämtliche Bewegungsgleichungen des Systems.
*die Beschleunigung der Masse 5m.

Die Angabe gibt es natürlich wieder als Download, damit du das Beispiel vorab selbst rechnen kannst.

dalembert-dA03Herunterladen

In diesem Fall ist zwar sehr einfach aufzustellen welche Koordinaten und Zwangsbedingungen notwendig sind, die Rechnung selbst ist aber etwas aufwändiger. Typischerweise lösen wir ein solches Problem, indem wir das Prinzip von d’Alembert allgemein anschreiben und dann die Zwangsbedingungen einsetzen. Nachdem die Dynamik der Masse 5m gesucht ist, sollten wir lediglich darauf achten die Koordinaten dieser Masse in unseren Gleichungen zu behalten. Anschließend lassen sich mittels Koeffizientenvergleich und auflösen des entstehenden Gleichungssystems direkt die Beschleunigungen der Massen – insbesondere der Masse 5m – bestimmen. Das und noch einige zusätzliche Erklärungen und Nebenbemerkungen findest du im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!

Auch die Musterlösung stelle ich, wie gewohnt, als pdf zum Download zur Verfügung.

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Wenn ihr Fragen habt schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Video gefallen? Dann lasst bitte ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Alles Gute und bis bald,
Markus

Kreisel: Kollermühle

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Herzlich Willkommen!

Wir fügen wieder einmal ein Kreiselbeispiel zu unserem Repertoire hinzu. Diesmal geht es um eine der klassischsten Anwendung der Kreiseldynamik, nämlich eine Kollermühle. Wie ihr wahrscheinlich wisst, wird dieses Gerät in der Zerkleinerungstechnik (z.B. um Mehl zu mahlen) verwendet. Warum das überhaupt funktioniert, sollte das heutige Beispiel sehr anschaulich zeigen.

Eine Kollermühle besteht aus einer drehbar gelagerten, dünnen Kreisscheibe (Masse m, Radius ρ0), die über einen masselosen Stab der Länge l=2ρ0 aus der Ruhelage mit konstanter Winkelbeschleunigung α beschleunigt wird, wobei gilt ω0(t)=αt.

Bestimme für reines Rollen zwischen Scheibe und Unterlage:
*das erforderliche äußere Moment M im mit der Scheibe mitrotierenden körperfesten Koordinatensystem e–1-e–2-e–3.
*die Zeit t1, bei der die Anpresskraft zwischen Scheibe und Unterlage FN=2mg beträgt.
*den erforderlichen minimalen Reibungskoeffizienten μ zwischen Scheibe und Unterlage, sodass während des gesamten Beschleunigungsvorganges reines Rollen sichergestellt ist.

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

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Wir können hier laut Angabe davon ausgehen, dass die Stange masselos ist, weil sie als sehr leicht im Vergleich zur Kreisscheibe angenommen wird. Daher reicht es aus, die relevanten Gleichungen für die Scheibe – allerdings im gegebenen e1-e2-e3-Koordinatensystem – anzuschreiben. Wir benötigen also den Drehimpulssatz der Scheibe. Damit wir diesen aufstellen können, brauchen wir wiederum die Winkelgeschwindigkeit und den Trägheitstensor der Kreisscheibe. Aus dem fertigen Drehimpulssatz lässt sich schließlich sowohl die gesuchte Zeit t1, als auch der minimal notwendige Reibungskoeffizient zwischen Scheibe und Unterlage bestimmen, sodass wir jederzeit reines Rollen haben. Wie immer findest du alle Details im verlinkten Video.

Für diejenigen unter euch die lieber lesen als ein Video anzuschauen gibt es das pdf der fertigen Rechnung hier zum Download.
K04Herunterladen

Bei Fragen meldet euch sehr gerne jederzeit bei mir. Ich versuche alles schnellstmöglich zu beantworten.

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Bis bald,
Markus

Momentanpol konstruieren – einfaches Beispiel

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Herzlich Willkommen!

Wie im Beitrag zur Theorie Momentanpol versprochen gibt es hier nun ein einfaches Anwendungsbeispiel, wie der Momentanpol konstruiert werden kann.

Ermittle die Lage des Momentanpols
a) für die Pleuelstange BC in Abb. a und
b) für die Koppelstange BC in Abb. b.

Quelle: Beispiel 5.10 (S. 373) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die beiden Momentanpole in den Teilaufgaben (a) und (b) lassen sich hier sehr einfach konstruieren indem wir Normalenvektoren auf die Geschwindigkeitsvektoren durch die jeweiligen Angriffspunkte legen. Bei Teilaufgabe (b) stoßen wir allerdings auf einen Spezialfall, den ich im Video genauer erkläre. Viel Spaß dabei!


Wenn ihr ähnliche, vielleicht etwas kompliziertere Aufgaben zum Momentanpol sehen wollt, dann sagt mir bitte in den Kommentaren bescheid. Ich nehme gerne noch weitere Beispiele zu diesem Thema auf.

Alles Gute und bis bald,
Markus

Theorie: Momentanpol in der Kinematik

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Herzlich Willkommen!

Ich bin gebeten worden ein Video über den Momentanpol zu machen. Hier ist es. Wir besprechen was der Momentanpol ist und wie wir diesen in der ebenen Kinematik zu unserem Vorteil nutzen können. Außerdem gehen wir die wichtigsten Fälle durch, die bei der Bestimmung des Momentanpols auftreten können.


Parallel zu diesem Beitrag veröffentliche ich auch ein erstes einfaches Beispiel zur Bestimmung des Momentanpols. Weitere Beispiele werden folgen. Solltest du Fragen haben bitte jederzeit gerne melden.
Wenn auch du ein Thema hast, bei dem ich behilflich sein kann, dann melde dich gerne bei mir. Ich werde mich bemühen dein Wunschthema unterzubringen.

Alles Gute und bis bald,
Markus

Kreisel: Rotor in rotierender Gabel

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Herzlich Willkommen!

Kreiseldynamik ist derzeit noch eine recht unterrepräsentierte Spezies hier auf der Website. Dies soll sich im Laufe der Zeit ändern, daher gibt es heute wieder einmal ein Kreiselbeispiel mit folgender Angabe.

In einer Gabel, die mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω rotiert, ist ein Rotor gelagert, der sich seinerseits mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωr relativ zur Gabel dreht. Der Rotor besitzt die Hauptträgheitsmomente: Ix = Iy = Iz = I und das Gewicht G. Für die Gabel sind die Abmessungen l1, l2 und l gegeben.

Errechne im gabelfesten xyz−System:
*den Drehimpuls des Rotors bezüglich S.
*die Auflagerkräfte in C und D.
*die Auflagerkräfte in A und B zufolge des Rotors.

Quelle: Aufgabe 4.4.1 (S. 41) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt hier:

Kreisel-K01Herunterladen

Es handelt sich in diesem Fall um ein relativ simples Kreiselbeispiel. Nachdem die Rotationen von Rotor und Gabel normal zueinander stehen ergibt sich ein kompakter Drehimpulsvektor, der wiederum zu einem sehr kompakten Drehimpulssatz führt. Anschließend benötigen wir noch den Schwerpunktsatz als zweite Gleichung, der allerdings auch zum Kräftegleichgewicht wird, weil es keine Schwerpunktsbewegung gibt. Damit lassen sich schon alle vier Lagerreaktionen berechnen. Die Schritt-für-Schritt Erklärung findet ihr im Video. Viel Spaß damit.

Für diejenigen unter euch die wieder lieber lesen als ein Video zu schauen gibt es das pdf der fertigen Rechnung.
K01Herunterladen

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

Hat euch das Video gefallen? Dann lasst bitte ein Like hier auf dem Blog und auf YouTube da. Abonniert auch unbedingt den Kanal um kein Video mehr zu verpassen. Vielen Dank!

Bis bald,
Markus

Energiesatz: Halbzylinderschale rollt auf Unterlage

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon bei vorhergehenden Beispielen zur Thematik eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die Angabe vermuten lässt.

Eine dünne Halbzylinderschale der Masse m rollt ohne zu rutschen auf einer Ebene. Die Schale wird dabei aus der dargestellten Lage aus der Ruhe losgelassen.

Bestimme mittels Energiesatz:
*die Winkelgeschwindigkeit φ˙(φ) in Abhängigkeit der Lage φ
*den Winkel φ bei dem die Winkelgeschwindigkeit ihr Maximum erreicht.

Die Angabe als Download gibt es hier. Probiere vielleicht zuerst die Lösung selbst zu finden und schaue dir dann erst meine Musterlösung an. Das hilft in der Regel enorm beim Verständnis.

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Wir haben in diesem Fall jeweils die Energien zum Startzeitpunkt sowie für eine beliebige Winkellage aufzustellen. Dafür benötigen wir zuvor die Winkelgeschwindigkeit der Halbzylinderschale (über das analytische Prinzip einfach errechenbar) sowie auch die Lage des Schwerpunkts. Außerdem wird es am einfachsten sein die kinetische Energie der Rotation zu verwenden, also brauchen wir auch noch das Massenträgheitsmoment der Schale. Ist das alles bestimmt lassen sich die Energieterme einfach hinschreiben und über Energieerhaltung miteinander verknüpfen. Damit erhalten wir direkt einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels selbst. Im Detail sprechen wir wieder im Video über die Lösung. Viel Spaß beim Anschauen!


Es gibt natürlich auch wieder die Musterlösung als pdf – lade es gerne herunter.

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Solltest du fragen haben bitte schreibe gerne hier oder auf YouTube einen Kommentar. Mich interessiert natürlich auch was du generell zu diesem Beispiel und meiner Musterlösung sagst. Gerne jederzeit melden.

Wenn dir die Website und mein YouTube Kanal weiterhelfen, dann lass mir auch gerne ein Abo da und gib die Links an deine Studienkolleg*innen weiter.

Alles Gute, viel Spaß und bis bald,
Markus

Schnittgrößen am gekrümmten Träger

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Herzlich Willkommen!

Wir haben uns mittlerweile über die Theorie zu Schnittgrößen unterhalten und uns auch einige Beispiele angesehen und dort Schnittgrößen an speziellen Punkten, Berechnungen des Schnittgrößenverlaufs sowie Schnittgrößen mittels Integration durchgeführt. Was uns in der Sammlung noch fehlt ist die Diskussion von Schnittgrößen am gekrümmten Träger. Dazu sehen wir uns als einfaches Beispiel einen Viertelkreisbogen an, welcher am oberen Ende eingespannt ist.

Ein Viertelkreisbogen wird laut Skizze durch die Kräfte F und P belastet. Berechne die Einspannreaktion in A sowie die Schnittgrößen N(φ), Q(φ), M(φ).

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass es mit dem Winkel φ mit dreht, wobei für φ=0 die ex-Achse nach rechts, die ey-Achse aus der Blattebene heraus und die ez-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Die Berechnung der Einspannreaktionen ist für die konkrete Fragestellung – wie wir später sehen werden – eigentlich gar nicht nötig. Dennoch berechnen wir diese und holen uns damit eine wenig zusätzliche Übung. Dazu bedarf es wieder eines Freikörperbildes und dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Hier sind diese aber so einfach, dass wir sofort die Ergebnisse für die Lagerreaktionen anschreiben können. Effizienz ist schließlich auch wichtig. Danach geht es darum zu besprechen wie das Koordinatensystem sich entlang des Kreisbogens ändert. Das ist deshalb relevant, weil wir damit auch positives und negatives Schnittufer sowie die positiven Richtungen der Schnittgrößen selbst definieren. Ist das erledigt werden noch die Einzelkräfte P und F in Komponenten entlang des gedrehten Koordinatensystems zerlegt und wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Letztere definieren dann in diesem einfachen Fall bereits die Schnittgrößen. Damit sollte auch für komplexere gekrümmte und sogar zusammengesetzte Träger prinzipiell klar sein, wie Schnittgrößen berechnet werden. Die Details und viele kleine Zusatzanmerkungen zur Rechnung findet ihr wie immer im verlinkten Video!


Den vollständigen Lösungsweg als pdf stelle ich auch hier wieder zur Verfügung.
Statik-A34Herunterladen

Stellt gerne jederzeit eure Fragen. Erfahrungsgemäß handelt es sich bei Schnittgrößen am gekrümmten Träger um eine Thematik die vergleichsweise viele Fragen aufwirft. Wie ihr wisst gehe ich jederzeit gerne auf diese Fragen ein.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Schnittgrößen mittels Integration

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Herzlich Willkommen!

Nachdem wir bereits theoretisch über Schnittgrößen diskutiert haben, uns Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers und auch die Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs angesehen haben, möchten wir uns nun der Berechnung von Querkraft und Biegemoment mittels Integration widmen. Dazu folgendes Beispiel.

Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen, sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).
Geg.: q0, l

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Wir beginnen wie gewohnt mit einem Freikörperbild, nämlich um die Lagerreaktionen berechnen zu können. Dann stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und berechnen alle Auflagerkräfte in A und B. Dabei können wir für die Streckenlast eine Kombination aus Rechtecks- und Dreiecksform und deren entsprechende resultierende Einzellasten verwenden. Wenn das erledigt ist widmen wir uns schließlich der Berechnung der Querkraft über das Integral, genau wie im Theoriebeitrag zu Schnittgrößen besprochen. Natürlich müssen wir uns dazu noch überlegen welche Funktion unsere trapezförmige Streckenlast korrekt beschreibt. Auch hier werden wir wieder bei der Geradengleichung fündig. Im Anschluss an die Querkraft können wir dann das Schnittmoment bestimmen, indem wir einfach die Querkraft noch einmal integrieren. Zum Schluss zeige ich euch auch noch einen alternativen Weg zur Bestimmung des Schnittmoments und wir diskutieren die Wichtigkeit einer Dimensionskontrolle. Alles im Detail findest ihr wie immer im verlinkten Video sowie auch in der angehängten pdf-Datei. Viel Spaß damit!


Statik-A33Herunterladen

Auch hier gilt – wie schon bei den vorhergehenden Beispielen zu den Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Unklarheiten bitte also unbedingt gleich melden.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Energiesatz: Rollendes Rad an Feder (Schwingung)

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon beim letzten Beispiel zu diesem Thema eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die folgende Angabe zeigt.

Ein Rad mit der Masse m und dem Trägheitsradius is rollt ohne zu gleiten. Im entspannten Zustand hat die Feder die Länge l0 und die Federkonstante c. In der skizzierten Position wird das Rad aus der Ruhe freigegeben.
Geg.: m = 60 kg, is = 0.6 m, r = 1 m, l = 3 m, l0 = 0.5 m, c = 10 N/m, β = 60°

Ges.:
*der allgemeine Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ω des Rades, nachdem es sich um den Winkel β im Uhrzeigersinn verdreht hat.
*der Zahlenwert für diese Winkelgeschwindigkeit ω.

Die Angabe gibt es natürlich wie gewohnt hier als Download.

Die Lösung dieses Beispiels ist an sich recht kurz, erfordert aber einige Überlegungen zur Geometrie. So müssen wir uns insbesondere Gedanken darüber machen wie sich die Federlänge in Abhängigkeit von der Rollbewegung des Rades ändert. Wenn das erledigt ist und wir uns für eine Betrachtung am Momentanpol des Rades entscheiden, ist alles weitere schnell aufgeschrieben. Es gibt in diesem Fall nur eine kinetische Energie der Rotation und die potentiellen Energien der Feder zu Beginn und am Ende. Damit lässt sich leicht die Winkelgeschwindigkeit des Rades als Funktion des Drehwinkels bestimmen. Die Details dazu findest du wie gehabt im verlinkten Video.


Ich beginne ab diesem Beispiel auch damit pdf-Dateien des Lösungsweges bereitzustellen. Falls das für dich interessant ist, hinterlasse mir gerne einen Kommentar, dann kann ich gerne auch bei schon besprochenen Beispielen solche pdfs nachreichen.

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Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.

Hat euch das Beispiel und die Musterlösung gefallen? Dann lasst bitte unbedingt auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Außerdem freue ich mich über ein Abo meines YouTube Kanals! Ihr helft mir damit enorm. Vielen Dank!

Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Schnittgrößenverlauf berechnen

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Herzlich Willkommen!

Ich habe beim letzten Schnittgrößenbeispiel versprochen, dass wir uns als zweites Beispiel zu den Schnittgrößen einen Verlauf ansehen werden. Wir haben ja schon theoretisch diskutiert Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel haben wir dann Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers bestimmt. Jetzt wollen wir uns der eigentlich relevanten Herangehensweise, nämlich der Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs widmen, nämlich an folgendem Beispiel.

Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).

Geg.: q0, l, P=q0*l, M0=q0*l^2

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Schnittgrößenverlauf bedeutet, dass wir Normalkraft, Querkraft und Biegemoment jeweils als Funktion der Laufvariable x entlang des gesamten Trägers berechnen. Wir erhalten also als Ergebnisse Funktionen von x, N(x), Q(x) und M(x) mit deren Hilfe alle Schnittgrößen an jedem beliebigen Punkt entlang des Trägers berechnet werden können. Das ist natürlicher praktischer für die spätere Verwendung. Um das zu erreichen, müssen wir zuerst wieder die Auflagerreaktionen aus dem Gesamtgleichgewicht bestimmen. Anschließend können wir Teilgleichgewichte für die notwendigen Felder aufstellen und daraus die Schnittgrößen berechnen. In diesem konkreten Beispiel benötigen wir 2 Felder, nämlich 0<x<l und l<x<4l, d.h. ein Feld links der Streckenlast und eines im Bereich der Streckenlast. Dann lässt sich für jedes Teilgleichgewicht wieder ein Freikörperbild zeichnen und aus den bekannten Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- und Momentensumme) die Schnittgrößen als Funktion der Laufvariable bestimmen. Wie das detailliert funktioniert besprechen wir wie immer im verlinkten Video. Viel Spaß damit!


Auch hier gilt – wie schon beim Einstiegsbeispiel zu Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Fragen scheue also bitte nicht davor zurück, mich jederzeit zu kontaktieren.

Vielen Dank und bis bald,
Markus