Wir haben uns mittlerweile über die Theorie zu Schnittgrößen unterhalten und uns auch einige Beispiele angesehen und dort Schnittgrößen an speziellen Punkten, Berechnungen des Schnittgrößenverlaufs sowie Schnittgrößen mittels Integration durchgeführt. Was uns in der Sammlung noch fehlt ist die Diskussion von Schnittgrößen am gekrümmten Träger. Dazu sehen wir uns als einfaches Beispiel einen Viertelkreisbogen an, welcher am oberen Ende eingespannt ist.
Ein Viertelkreisbogen wird laut Skizze durch die Kräfte F und P belastet. Berechne die Einspannreaktion in A sowie die Schnittgrößen N(φ), Q(φ), M(φ).
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass es mit dem Winkel φ mit dreht, wobei für φ=0 die ex-Achse nach rechts, die ey-Achse aus der Blattebene heraus und die ez-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Die Berechnung der Einspannreaktionen ist für die konkrete Fragestellung – wie wir später sehen werden – eigentlich gar nicht nötig. Dennoch berechnen wir diese und holen uns damit eine wenig zusätzliche Übung. Dazu bedarf es wieder eines Freikörperbildes und dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Hier sind diese aber so einfach, dass wir sofort die Ergebnisse für die Lagerreaktionen anschreiben können. Effizienz ist schließlich auch wichtig. Danach geht es darum zu besprechen wie das Koordinatensystem sich entlang des Kreisbogens ändert. Das ist deshalb relevant, weil wir damit auch positives und negatives Schnittufer sowie die positiven Richtungen der Schnittgrößen selbst definieren. Ist das erledigt werden noch die Einzelkräfte P und F in Komponenten entlang des gedrehten Koordinatensystems zerlegt und wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Letztere definieren dann in diesem einfachen Fall bereits die Schnittgrößen. Damit sollte auch für komplexere gekrümmte und sogar zusammengesetzte Träger prinzipiell klar sein, wie Schnittgrößen berechnet werden. Die Details und viele kleine Zusatzanmerkungen zur Rechnung findet ihr wie immer im verlinkten Video!
Den vollständigen Lösungsweg als pdf stelle ich auch hier wieder zur Verfügung.
Stellt gerne jederzeit eure Fragen. Erfahrungsgemäß handelt es sich bei Schnittgrößen am gekrümmten Träger um eine Thematik die vergleichsweise viele Fragen aufwirft. Wie ihr wisst gehe ich jederzeit gerne auf diese Fragen ein.
Nachdem wir bereits theoretisch über Schnittgrößen diskutiert haben, uns Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers und auch die Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs angesehen haben, möchten wir uns nun der Berechnung von Querkraft und Biegemoment mittels Integration widmen. Dazu folgendes Beispiel.
Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen, sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x). Geg.: q0, l
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Wir beginnen wie gewohnt mit einem Freikörperbild, nämlich um die Lagerreaktionen berechnen zu können. Dann stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und berechnen alle Auflagerkräfte in A und B. Dabei können wir für die Streckenlast eine Kombination aus Rechtecks- und Dreiecksform und deren entsprechende resultierende Einzellasten verwenden. Wenn das erledigt ist widmen wir uns schließlich der Berechnung der Querkraft über das Integral, genau wie im Theoriebeitrag zu Schnittgrößen besprochen. Natürlich müssen wir uns dazu noch überlegen welche Funktion unsere trapezförmige Streckenlast korrekt beschreibt. Auch hier werden wir wieder bei der Geradengleichung fündig. Im Anschluss an die Querkraft können wir dann das Schnittmoment bestimmen, indem wir einfach die Querkraft noch einmal integrieren. Zum Schluss zeige ich euch auch noch einen alternativen Weg zur Bestimmung des Schnittmoments und wir diskutieren die Wichtigkeit einer Dimensionskontrolle. Alles im Detail findest ihr wie immer im verlinkten Video sowie auch in der angehängten pdf-Datei. Viel Spaß damit!
Auch hier gilt – wie schon bei den vorhergehenden Beispielen zu den Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Unklarheiten bitte also unbedingt gleich melden.
Wie behandeln wir einen Winkelträger in Kombination mit einer Streckenlast? Im Grund wissen wir das bereits aus vergangenen Beispielen. Wir müssen lediglich die drei Konzepte Gleichgewichtsbedingungen, Streckenlast und Gerberträger miteinander kombinieren. Genau das wollen wir hier tun. Es geht dabei um folgendes Beispiel:
Die Auflagerreaktionen in den Lagern A und C des Tragwerks aus Balken und Winkelträger sind zu bestimmen. Geg.: q,l
Quelle: Aufgabe 6.75 (S. 352) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Auch in diesem Fall eines Winkelträgers können wir wie im Beispiel zum Gerberträger besprochen, das System an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte für den oberen und den unteren Teil anschreiben. Für diese beiden Teile lassen sich jeweils die Gleichgewichtsbedingungen (Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht) anschreiben und schließlich alle unbekannten Größen berechnen. Zum Schluss diskutieren wir noch den auftretenden Zweikraftstab zwischen B und C. Den kompletten Rechenweg im Detail findest du wie gewohnt im verlinkten Video! Viel Spaß und aufschlussreiche Erkenntnisse damit!
Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.
Wir möchten uns in diesem Beitrag einen 2fachen Gerberträger ansehen, d.h. einen Gelenkbalken mit zwei Gelenken laut folgender Angabe.
An einem Gelenkbalken ist unmittelbar rechts vom Gelenk G1 ein Querarm angeschweißt, der durch ein Kräftepaar belastet wird. Außerdem greift unmittelbar rechts vom Gelenk G2 eine Kraft P an.
Wie groß sind die Lagerreaktionen und die Gelenkkräfte? Wie ändern sie sich, wenn die Kraft P unmittelbar links vom Gelenk G2 angreift?
Quelle: Aufgabe I.4.8 (S. 23) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Wir können wie schon in den anderen Beispielen zum Gerberträger besprochen, den Träger an den Gelenken trennen und einzelne Gleichgewichte anschreiben. Hier erhalten wir also drei Einzelteile. Für jedes davon lassen sich die drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Eine Besonderheit hier ist, dass wir sofort sehen, dass es keine Kräfte in Horizontalrichtung geben wird. Wir können also das horizontale Kräftegleichgewicht gleich von Beginn an weglassen. Anschließend sehen wir, dass sich aus den jeweiligen Teilstücken sofort die Unbekannten Größen berechnen lassen, ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen. Zumindest dann, wenn die Reihenfolge der Berechnung an den Teilsystemen klug gewählt wird. Zum Schluss besprechen wir noch die Eingangs gestellte Frage: Macht es einen Unterschied ob die äußere Kraft P unmittelbar rechts oder links von G2 liegt. Diese Frage beantworten und natürlich den kompletten Rechenweg im Detail diskutieren wir im verlinkten Video! Ganz viel Spaß damit!
Sollten Fragen auftauchen schreibt mir bitte unbedingt hier oder auf YouTube einen Kommentar. Wie ihr hoffentlich in der Vergangenheit gesehen habt, versuche ich alle Fragen verständlich zu beantworten. Auch eine scheinbar einfache Frage ist besser wenn sie geklärt wird. Scheut also bitte nicht davor zurück zu Fragen.
Diesmal gibt es ein etwas komplexeres Beispiel in dem wir einen Gerberträger unter anderem mit einer Streckenlast beaufschlagen wollen.
Für den dargestellten Gerberträger sollen die Lagerreaktionen und die Gelenkkraft bestimmt werden.
Quelle: Aufgabe I.4.7 (S. 22f.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Wir ersetzen als ersten Schritt die Streckenlast durch ihre resultierende Einzellast. Dann erstellen wir ein Freikörperbild in dem wir den Träger am Gelenk trennen und damit ein linkes und rechtes Teilsystem erhalten. Hier ist es allerdings auch hilfreich zuerst das Gesamtsystem anzusehen. Daraus erhalten wir in diesem Fall nämlich die horizontale Komponente der Lagerkraft in A und können schließen, dass die horizontalen Anteile der Gelenkskräfte verschwinden müssen. Das erleichtert uns bereits die Rechnung. Dann werden Kräfte- und Momentengleichgewichte am linken Teilsystem aufgestellt und damit ein Teil der Unbekannten berechnete. Für das rechte Teilsystem gehen wir dann den Weg zweier Momentengleichgewichte – natürlich um unterschiedliche Punkte. Auch das ist möglich, wie wir im Video besprechen. Damit lassen sich dann auch noch die restlichen Unbekannten berechnen. Die Details findest du wie immer im verlinkten Video. Viel Spaß beim Ansehen!
Wenn Fragen oder Unklarheiten auftauchen, freue ich mich jederzeit über deinen Kommentar – entweder hier oder direkt auf YouTube.
Wir besprechen heute in der Theorie, wie sich beliebige Streckenlasten in äquivalente Einzellasten umrechnen lassen. Dies ist insofern wichtig, als sich mit Einzellasten oft einfacher arbeiten lässt. Wenn einmal bekannt ist, wie eine solche Umrechnung funktioniert – nämlich über Fläche unter Streckenlast und Schwerpunkt der Streckenlast – dann sind wir in der Lage jede beliebige Streckenlast in eine Einzellast umzurechnen. Schließlich diskutieren wir zur Veranschaulichung noch, wie das ganze an einer dreiecksförmigen Streckenlast funktioniert. Das Video dazu erklärt wie gewohnt sämtliche Details!
Sollte dennoch Fragen offen bleiben dann freue ich mich auf deinen Kommentar. Wenn du sonst Wünsche, Anmerkungen oder ähnliches hast bitte ebenfalls gerne melden.
Heute sehen wir uns ein konkretes Beispiel an, wie wir einerseits mit Stäben und Stabkräften umgehen und andererseits eine dreiecksförmige Streckenlast in unsere Rechnung mit einbeziehen. Die Angabe für dieses Problem lautet kurz und knackig folgendermaßen:
Ein Balken unter Dreiecksbelastung wird von drei Stäben gestützt. Wie groß sind die Stabkräfte?
Quelle: Aufgabe I.4.1 (S. 20f.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Das Freikörperbild ist auch hier unser zentraler Zugang zur Lösung des Problems. Wir ersetzen dabei, wie in der Theorie besprochen, die dreiecksförmige Streckenlast gegen eine äquivalente Einzellast. Dann müssen wir uns noch Gedanken zu den Stabkräften machen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass idealisierte Stäbe nur Kräfte in Längsrichtung (Zug & Druck), aber keine Kräfte quer zum Stab aufnehmen können. Schließlich bestimmen wir noch über die Geometrie den Winkel der beiden Stäbe 1 und 3. Mit diesen Zutaten lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen problemlos aufstellen und das System aus 3 Gleichungen anschließend lösen. Im Detail besprechen wir den Lösungsweg wieder im verlinkten Video.
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Ein erstes kleines Auslegungsbeispiel nehmen wir uns diesmal vor. Es handelt sich um ein Tragwerk, welches im Lager A maximal mit einer vorgegebenen Kraft belastet werden darf. Die Frage dabei ist, welche Kraft P darf dann am freien Ende des Tragwerks maximal angreifen.
Bestimme die maximale Kraft P, die auf das Tragwerk aufgebracht werden darf, sodass die Resultierende in A maximal Fmax beträgt.
Geg.: Fmax=2kN, l=0.75m, h=0.5m, r=0.1m
Quelle: Aufgabe 6.74 (S. 351) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Wie immer beginnen wir mit einem Freikörperbild, wobei wir hier das Seil nur am horizontalen Stück (links der Rolle) schneiden dürfen. Das macht die Rechnung etwas einfacher. Danach stellen wir Kräfte- und Momentengleichgewicht auf und lösen das entstehende Gleichungssystem. Nachdem in A ein Betrag als Maximalwert vorgegeben ist, wir aber je eine Kraft vertikal und horizontal erhalten, müssen wir noch mittels Pythagoras einen Betrag ermitteln. Schließlich lässt sich eine Gleichung für den maximalen Wert von P finden. Die genaue Rechnung, wie immer gespickt mit einigen Hinweisen und zusätzlichen Erklärungen findet ihr im verlinkten Video. Viel Spaß!
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Wir sehen uns heute an was eigentlich ein Gerberträger ist und wie wir dessen Lagerreaktionen bestimmen können.
Der zusammengesetzte Balken ist in C gelenkig gelagert und wird in A und B jeweils von einem Rollenlager gehalten. In D ist ein Scharniergelenk angebracht. Bestimme die Lagerkräfte unter Vernachlässigung der Dicke des Balkens.
Quelle: Aufgabe 6.73 (S. 351) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Beim Gerberträger kommt es darauf an, dass wir ein im Grunde statisch unbestimmtes System durch zerlegen im Gerbergelenk zu einem statisch bestimmten System machen können. Wir erhalten dadurch im vorliegenden Beispiel zwei Teilsysteme. Für beide Teilsysteme können wir unsere Gleichgewichtsbedingungen (Momenten-, und Kräftegleichgewicht) separat anschreiben und erhalten damit sechs Gleichungen für insgesamt sechs Unbekannte (vier Lagerreaktionen und zwei Gelenkskräfte). Damit lässt sich das System schlussendlich vollständig berechnen. Wichtig hierbei ist, dass die Gelenkskräfte innere Kräfte sind und sich beim Zusammensetzen des Trägers wieder aufheben müssen. Daher müssen Sie an den beiden Teilsystemen in jeweils entgegengesetzte Richtung zeigen. Alle Details zur Rechnung und viele weitere Anmerkungen erfahrt ihr wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!
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Hast du dich auch schon einmal gefragt wozu wir Vektoren in der Mechanik brauchen? Wieso schreiben wir Kräfte als Vektoren an, wenn wir doch auch Komponentenweise arbeiten können? Ist es dann überhaupt sinnvoll mit Vektoren zu arbeiten? Diese und weitere Fragen werde ich in diesem Beispiel versuchen zu beantworten.
Es geht um folgendes dreidimensionales Statikproblem:
Ein Mast wird von zwei Seilen BC und BD gehalten. Am Punkt B greifen die Kräfte F1 und F2 an. Bestimme unter der Voraussetzung, dass der Mast von einem Kugelgelenk am Fuß gehalten wird, die Komponenten der Lagerkraft in A. Die Kräfte F1 und F2 liegen in einer horizontalen Ebene.
Quelle: Aufgabe 5.89 (S. 296) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Wie fast immer, beginnen wir auch hier mit einem Freikörperbild um einen Überblick über die am Mast angreifenden Kräfte zu bekommen. Dann schreiben wir die Koordinaten der Punkte B, C und D an und können damit sehr einfach die Ortsvektoren und mit deren Betrag auch die Einheitsvektoren entlang der Seile aufstellen. In einem abschließenden Schritt können dann alle Kraftvektoren angeschrieben werden. Da wir uns in der Statik befinden, müssen natürlich die Kraft- und Momentensummen verschwinden. Das gilt selbstverständlich auch für die vektoriellen Summen. Hier muss sich der Nullvektor ergeben. Wir können also alle drei Kraftrichtungen in eine vektorielle Bilanz zusammenfassen. Analoges gilt für die Momentenbilanz. Die einzelnen Momente berechnen wir dann natürlich mit dem Kreuzprodukt zwischen Abstandsvektoren und Kraftvektoren. Damit bekommen wir am Ende ein System aus fünf unabhängigen Gleichungen, welches wir auflösen und die fünf Unbekannten bestimmen können. Wir finden außerdem heraus, dass es sich beim Mast um einen sogenannten Zweikraftstab handelt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß beim Nachvollziehen der einzelnen Schritte.
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