Nachdem wir bereits theoretisch über Schnittgrößen diskutiert haben, uns Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers und auch die Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs angesehen haben, möchten wir uns nun der Berechnung von Querkraft und Biegemoment mittels Integration widmen. Dazu folgendes Beispiel.
Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen, sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x). Geg.: q0, l
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Wir beginnen wie gewohnt mit einem Freikörperbild, nämlich um die Lagerreaktionen berechnen zu können. Dann stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und berechnen alle Auflagerkräfte in A und B. Dabei können wir für die Streckenlast eine Kombination aus Rechtecks- und Dreiecksform und deren entsprechende resultierende Einzellasten verwenden. Wenn das erledigt ist widmen wir uns schließlich der Berechnung der Querkraft über das Integral, genau wie im Theoriebeitrag zu Schnittgrößen besprochen. Natürlich müssen wir uns dazu noch überlegen welche Funktion unsere trapezförmige Streckenlast korrekt beschreibt. Auch hier werden wir wieder bei der Geradengleichung fündig. Im Anschluss an die Querkraft können wir dann das Schnittmoment bestimmen, indem wir einfach die Querkraft noch einmal integrieren. Zum Schluss zeige ich euch auch noch einen alternativen Weg zur Bestimmung des Schnittmoments und wir diskutieren die Wichtigkeit einer Dimensionskontrolle. Alles im Detail findest ihr wie immer im verlinkten Video sowie auch in der angehängten pdf-Datei. Viel Spaß damit!
Auch hier gilt – wie schon bei den vorhergehenden Beispielen zu den Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Unklarheiten bitte also unbedingt gleich melden.
Hier ist das erste Beispiel zum Arbeits- bzw. Energiesatz. Es lautet folgendermaßen:
Gegeben ist ein schwingungsfähiges System, bestehend aus zwei gleichen Scheiben (Masse m, Massenträgheitsmoment IS um die Drehachse durch den Schwerpunkt, Radius r). Es tritt kein Gleiten zwischen den Scheiben und dem idealen, undehnbaren Seil auf, Lagerungen reibungsfrei. Eine lineare Feder mit Federkonstante k, eine Drehfeder mit Federkonstante cT.
Ges.: *die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe des Energiesatzes. *die Schwingungsdauer des Systems.
In diesem Beispiel sollten wir uns zuerst Gedanken über die Kinematik machen. Dadurch verknüpfen wir die Bewegungskoordinate x mit den Rotationen der Rollen und damit auch dem Weg der Drehfeder oben. Außerdem hilft uns eine Betrachtung des Momentanpols der unteren Rolle. Danach lassen sich die kinetische und potentielle Energie sehr einfach hinschreiben. Die Idee des Energiesatzes ist es dann, dass die Energie erhalten bleibt und damit deren zeitliche Ableitung verschwinden muss. Aus diesem Zusammenhang lässt sich die Bewegungsgleichung des Systems bestimmen. Diese ist schon in der Normalform, weshalb wir dann auch die Periodendauer einfach ablesen können. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!
Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen.
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Wir berechnen hier zuerst die Komponenten der einzelnen Kräfte in x- und y-Richtung und bestimmen daraus die Komponenten der resultierenden Kraft. Anschließend bauen wir den Vektor der Resultierenden aus den beiden Komponenten zusammen. Zum Schluss berechnen wir noch den Winkel der Resultierenden zur x-Achse. Nebenbei diskutieren wir noch wichtige Punkte bei der Reduktion eines solchen Kraftsystems bzw. allgemein bei der Lösung von Beispielen aus der technischen Mechanik. Die Details dazu gibt es wie immer im verlinkten YouTube Video zu sehen.
Ich hoffe diese erste Aufgabe zur Statik war verständlich und hilfreich. Wenn es Fragen oder Anregungen gibt, bitte schreibt einen Kommentar und ich antworte gerne.
Ich möchten den heutigen 24. Dezember dazu nutzen mich bei euch allen für die bisherige Unterstützung zu bedanken. Gleichzeitig gibt es ein paar Infos von mir wie es mit der Website und dem YouTube Kanal weitergehen wird.
Heute ist der 24. Dezember und Weihnachten ist ja immer die Zeit der Dankbarkeit. Auch ich möchte diese Gelegenheit nutzen, um mich bei allen für die Unterstützung bis hierher zu bedanken.
Herzlich Willkommen zurück auch hier auf dem Blog! Ich freue mich, dass du wieder dabei bist. Ich habe ja eigentlich erst Ende November 2021 das neue Konzept für diesen Kanal gestartet und ich freue mich riesig, dass es bisher so gutes Feedback gegeben hat. Vielen Dank dafür!
Was plane ich für die absehbare Zukunft?
Ich möchte euch deswegen ganz kurz einen Ausblick geben, was auf dem Kanal im nächsten Jahr alles geplant ist und was ihr erwarten könnt.
Ich plane die Frequenz der Videos mit zwei Videos pro Woche beizubehalten und die derzeitige Idee ist immer Montags und Donnerstags ein Video zu posten. Allerdings wenn ihr Ideen habt, dass es bessere Tage gibt, bessere Uhrzeiten, die Videos zu posten, dann schreibt mir bitte gerne in den Kommentaren eure Vorschläge und ich werde sie durchsehen und gerne alles berücksichtigen. Schließlich geht es darum, dass ich euch, die den Kanal ansehen, bestmöglich mit meinen Videos unterstützen kann.
Wir haben ja in einem vergangenen Video schon kurz über die Themen in der technischen Mechanik und damit auch über die Themen auf diesem Kanal gesprochen. Und ihr wisst daher im Grunde, welche Themen euch erwarten werden. Falls ihr dieses Video verpasst haben solltet, schaut es euch gerne nachträglich an, damit ihr wisst, was euch erwarten wird. Die Idee ist damit auch, einen roten Faden in den Kanal hineinzubringen, um euch das Lernen der technischen Mechanik zu erleichtern.
Erstes Steinchen: Vektorrechnung
Wir haben ja gestern bereits über Vektoren gesprochen und wir werden das Ganze fortsetzen. Es geht dann nächste Woche weiter mit Rechenoperationen für Vektoren und wir starten dann auch mit Übungsaufgaben zur Vektorrechnung.
Weitere Steinchen
Dann wird es weitergehen mit der Statik, Festigkeitslehre und erst dann springen wir in die Dynamik. Dazwischen wird es aber auch immer komplexere Videos geben, die ich einstreue. So wie er es jetzt aus den vergangenen Wochen bereits kennt. Zur Lagrange Mechanik, zu Stoßvorgängen, Kreiseldynamik und so weiter.
Gesamtkonzept und die Bitte um Feedback
Ich hoffe, dieses Konzept hilft euch weiter die Technische Mechanik besser zu verstehen, besser zu lernen und vor allem auch Freude daran zu entwickeln. Denn das ist aus meiner Sicht das Allerwichtigste. Wenn ihr weitere Vorschläge zur Verbesserung des Kanals habt, dann schreibt mir auch die Bitte gerne in die Kommentare. Ich lese mir immer alles durch und greife nach Möglichkeit eure Vorschläge auch sehr gerne auf.
Ganz wichtig ist auch: Solltet ihr den Kanal noch nicht abonniert haben und dem Blog noch nicht folgen, dann holt das jetzt bitte unbedingt nach damit ihr keine Inhalte mehr verpasst.
Außerdem darf ich auch noch einmal auf die Website technischemechanik.com hinweisen, wo ihr alles auch zusammengefasst findet und Beispielangaben herunterladen könnt.
In diesem Sinne wünsche ich euch jetzt tatsächlich schöne Weihnachten, geruhsame Feiertage und ich hoffe, wir sehen uns zwischen den Feiertagen bei den neuen Videos.
Die Mathematik ist die Sprache der technischen Mechanik und die Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil davon. Wir sehen uns in diesem Beitrag an wie wir Vektoren zeitsparend anschreiben können und stoßen dabei auf die sogenannte Tensornotation.
Außerdem diskutieren wir was ein Vektor überhaupt ist, was es mit Koordinatensystemen und Einheitsvektoren auf sich hat und wie wir die Komponenten eines Vektors in einem Koordinatensystem bestimmen können.
Schließlich besprechen wir auch noch wie der Betrag eines Vektors in der ebene und auch im Raum bestimmt werden kann. Natürlich gibt es noch zahlreiche weitere Möglichkeiten mit Vektoren zu rechnen. Diese schauen wir uns dann in den folgenden Beiträgen zur Vektorrechnung an und erarbeiten uns damit die mathematische Basis für die technische Mechanik.
Du hast vielleicht im Urlaub schon einmal mit jemandem gesprochen, der nicht deine eigene Sprache spricht. Hat das gut funktioniert? Vielleicht kann man sich mit Englisch behelfen, wenn beide Englisch können. Aber besser wäre es doch, wenn beide dieselbe Sprache sprechen.
Und genau das gleiche gilt für die technische Mechanik. Die Sprache der technischen Mechanik ist die Mathematik. Und ein sehr wichtiger Teil der Mathematik, den wir insbesondere zu Beginn der technischen Mechanik brauchen, ist die Vektorrechnung.
Wie schreiben wir einen Vektor eigentlich auf?
Insbesondere in der technischen Mechanik haben wir eine Notation, die vielleicht ein bisschen davon abweicht, was du gewohnt bist. Es geht darum, dass wir verschiedene Größen haben. Wir können Skalare haben, wir können Vektoren haben, wir können Matrizen haben und wir wollen all diese Größen in eine gemeinsame Notation zusammenfassen.
Wir beginnen also bei Null, nämlich bei einem Skalar. Wir haben auch in der Mechanik skalare Größen, nämlich Masse, Länge, Flächeninhalte, Volumina und so weiter. Alle skalaren Größen haben gemeinsam, dass sie als Zahl ausdrückbar sind. Wir fassen das alles was wir jetzt besprechen zusammen in die sogenannte Tensornotation. Wir haben hier bei den Skalaren sogenannte Tensoren 0. Stufe. Deswegen auch vorher der Hinweis: Wir beginnen bei Null – Tensor 0.Stufe.
Wir haben aber nicht nur Skalare, sondern wir haben natürlich auch Vektoren in der technischen Mechanik. Also z.B. einen Kraftvektor, einen Momentenvektor, einen Abstandsvektor r, aber auch in der Dynamik, einen Geschwindigkeitsvektor oder einen Beschleunigungsvektor. Und so weiter. Bei den Vektoren wissen wir, diese haben Betrag und Richtung und natürlich eine Wirkungslinie. Wir besprechen das dann gleich im Detail. Wir können einen Vektor also in Komponenten ausdrücken. Und der Vektor ist ein Tensor erster Stufe.
Und dann gibt es in der Mechanik natürlich auch noch Größen wie Spannungen, Dehnungen. Und die werden als Matrix entsprechend angeschrieben. Nämlich, eine Dehnungsmatrix, Dehnungstensor Epsilon Spannungstensor, Spannungsmatrix Sigma. Und so weiter. Und die nennen wir Tensoren zweiter Stufe. Hier haben wir jetzt sozusagen ein Gebilde, das sowohl Spalten als auch Zeilen enthält. Eine Matrix, wie du sie kennst. Also zwei Dimensionen sozusagen. Und deswegen Tensor zweiter Stufe.
Und jetzt wird hoffentlich auch die Notation klar. Wir verwenden nämlich hier am Kanal insbesondere, aber auch oft in der technischen Mechanik im Allgemeinen eine Notation, die genau die Stufe des Tensors widerspiegelt.
Wir haben: nullte Stufe. Keinen Unterstrich.
Wir haben: erste Stufe. Ein Unterstrich.
Und wir haben: zweite Stufe. Zwei Unterstriche.
Damit ersparen wir uns, dass wir unterschiedlich notieren, ob etwas ein Vektor ist oder eine Matrix mit z.B. diesem Dach-Symbol, wie es oft in der Physik zu finden ist oder irgendetwas Fettdrucken. Wir haben einfach ein Unterstrich Vektor, zwei Unterstriche Matrix und so weiter.
Und dieses und so weiter gibt es in der technischen Mechanik auch, nämlich einen mit vier Unterstrichen. Ein Tensor vierter Stufe. Das ist der bekannte E-Modul Tensor. Der E-Modul Tensor bzw. der E-Modul wird uns dann später noch begegnen, wenn wir über das Hooke’sche Gesetz sprechen. Lineare Elastizität. Du kennst das Ganze vielleicht in der einfachsten Form, nämlich als zwei skalare Werte: E-Modul als Zahlenwert und Querkontraktionszahl nü als zweiten Zahlenwert, um das linear elastische Materialverhalten zu beschreiben. In dieser Notation als Tensor hat der E-Modul Tensor im Allgemeinen 81 Komponenten. Man braucht zwar nie diese 81 Komponenten, weil auch Symmetrien auftreten, aber es gibt im Allgemeinen 81 Einträge in diesem vierstufigen Tensor. Dazu aber später mehr.
Was ist ein Vektor eigentlich?
Nachdem wir jetzt wissen, wie wir einen Vektor aufschreiben, wollen wir uns überlegen, was ein Vektor eigentlich ist. Und ich gehe davon aus, dass die meisten schon Vektoren gesehen haben, wissen, wie man einen Vektor im Grunde hinschreibt, dass er Komponenten hat usw. Wir wollen uns das Ganze aber trotzdem im Detail noch einmal anschauen.
Was ist also ein Vektor? Ein Vektor ist ein Objekt, das eine Wirkungslinie besitzt. Ein Stift beispielsweise hat eine Wirkungslinie. Einen Betrag. Beginn und Ende des Stifts. Und er hat eine Richtung, in die er zeigt. Diese drei Größen definieren unseren Vektor – Stift.
Wenn wir uns das genauer aufzeichnen, dann hätten wir also hier eine Wirkungslinie und auf dieser Wirkungslinie liegt unser Vektor. Wir nennen den Vektor F. Kraftvektor. Der Vektor hat jetzt hier einen Beginn. Und ein Ende. Beginn und Ende nennen wir Schaft und Spitze. Das wird später noch interessant werden, wenn wir ausrechnen, wie ein Vektor eigentlich aussieht. Aus zwei Punkten beispielsweise. Und dann hat der Vektor natürlich die Richtung, nämlich die Richtung, in die er mit seinem Kopf, mit dem Pfeil des Vektors zeigt. Hier in unserem Fall nach rechts oben. Und er hat einen Betrag, nämlich den Abstand zwischen seinem Schaft und seiner Spitze.
Jetzt können wir den Vektor in Komponenten zerlegen. Nämlich beispielsweise in eine horizontale Komponente. In dem wir hier ein Dreieck einzeichnen. Fx. Und in eine vertikale Komponente Fy. Jetzt habe ich hier stillschweigend vorausgesetzt, dass es bereits ein Koordinatensystem gibt, nämlich x in horizontale und y in vertikale Richtung. Auch das zeichnen wir uns hier noch ein. x und y. Und wir bezeichnen dann in der Mechanik oft diese beiden Richtungen als ex und ey. Durch den Einheitsvektor. e bezeichnet den Einheitsvektor. ex Einheitsvektor in x Richtung. Einheitsvektor heißt, der Vektor beschreibt die Richtung und hat die Länge eins.
Wozu ist das gut?
Wir können damit auf unseren Einheitsvektor projizieren, indem wir nämlich sagen Fx ist der Betrag unseres Vektors in x-Richtung multipliziert mit dem Einheitsvektor ex. Und das gleiche natürlich für unsere y Komponente. Und wir können damit, weil es manchmal einfach praktischer ist, Beträge und Richtungen voneinander getrennt hinschreiben.
Betrag eines Vektors in der Ebene (2D)
Wie kommen wir jetzt in diesem Beispiel hier zur Länge? Zum Betrag unseres Vektors F.
Dazu nutzen wir den Satz von Pythagoras. Wir können ja unseren Vektor F darstellen durch diese beiden Komponenten in x und y Richtung.
Wir können diese beiden Komponenten, wenn wir ein bisschen aufpassen, auch hier einfach als Dreieck anlegen. Aufpassen muss man insbesondere bei der Momentenwirkung von Fy hier, dass man sich nicht selbst in die Irre führt. Aber abgesehen davon, für diese Konstruktion dürfen wir das. Wir haben also dann ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel hier. Und damit gilt der Satz von Pythagoras, der ja lautet: F Quadrat – Hypotenuse ist gleich Quadrat der einen Kathete plus Quadrat der anderen Kathete. Und daraus lässt sich F ist gleich Wurzel aus Fx Quadrat plus Fy Quadrat anschreiben.
Wenn wir jetzt noch berücksichtigen, dass die Quadrate natürlich zu positiven Ergebnissen führen, dann müssen wir hier auch noch Betrag von F schreiben. Unter Berücksichtigung, dass wir die Einheitsvektoren ex und ey herausziehen dürfen, reicht es uns hier natürlich aus, nur die Längen von Fx und Fy zu quadrieren. Wir können also genauso schreiben. Unser Betrag von F ist die Wurzel aus dem Betrag von Fx zum Quadrat und dem Betrag von Fy zum Quadrat. Nur deren Länge. Die Einheitsvektoren werden ja jeweils eins, wenn man sie quadriert. Das ist in der Ebene der Satz von Pythagoras.
Betrag eines Vektors im Raum (3D)
Das Ganze funktioniert aber auch als Erweiterung auf drei Dimensionen. Wir können uns nämlich ein Koordinatensystem in drei Dimensionen aufzeichnen mit x, y und z, indem hier ein Vektor liegt. Beispielsweise so: F Vektor und das Ganze dann projizieren auf die Achsen. Wir haben hier natürlich eine z-Achse und damit hier hinten Fz. Und wir können in diese Ebene herunter in die x-y-Ebene projizieren und dann weiter auf die einzelnen Achsen und bekommen hier einen Beitrag Fx und einen Beitrag Fy.
Und dann lässt sich Pythagoras auf drei Dimensionen simpel erweitern, indem wir einfach die dritte, nämlich die z-Komponente mit reinnehmen in unsere Wurzel als quadrierten Wert.
Und damit gilt auch hier, dass der Betrag unseres Vektors F die Wurzel sein muss. Fx Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Und gleiches Argument wie zuvor: Die Einheitsvektoren fallen aus dem Quadrat heraus. Sie liefern jeweils nur eins. Wir können also mit den Beträgen arbeiten und dann hier den Betrag von F bestimmen aus der Wurzel Fx Länge Quadrat plus Fy Quadrat plus Fz Quadrat. Jeweils ohne Vektor.
Ausblick auf weitere Beiträge
Das sind die zwei wesentlichen Ergebnisse, wenn es um die Berechnung des Betrags eines Vektors geht. Die sollte man im Hinterkopf behalten und sich noch einmal durchüberlegen, wie das Ganze funktioniert.
Welche anderen Möglichkeiten es jetzt gibt, mit Vektoren zu rechnen, zu addieren, Produkte zu bilden, das ist natürlich für die technische Mechanik genauso wichtig und das werden wir uns im nächsten Video dann genauer anschauen.
Wenn du zu diesem Beitrag hier Fragen hast, dann stelle die Fragen bitte einfach in die Kommentare (hier oder auf YouTube). Ich werde alles so schnell wie möglich beantworten.
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Wir wollen uns heute ein Beispiel ansehen bei dem zwei Stoßvorgänge hintereinander stattfinden. Der erste ist ein durch Seilstraffung ausgelöster Stoßvorgang, der zweite dann ein klassischer Stoß zwischen Kugel und Quader. Insbesondere die Seilstraffung beinhaltet ein paar interessante Gedankengänge, die wir im Detail besprechen werden. Zuerst allerdings zur Angabe:
Eine Kugel mit der Masse mA, die als Massenpunkt angenähert werden kann, ist über ein schlaffes Seil mit dem Lager C verbunden. Die Kugel wird lt. Skizze aus der Horizontalen im Abstand 3/4 l vom Lager losgelassen. Das Seil wird als undehnbar angenommen, so dass bei der Straffung ein plastischer Stoß (Stoßziffer ε = 0) auftritt. In der Vertikalen trifft das Fadenpendel anschließend vollkommen elastisch (Stoßziffer ε = 1) auf einen Quader der Masse mB und verschiebt diesen auf einer rauen Ebene mit dem Reibungskoeffizient μ.
Geg.: mA = 2 kg, mB = 5 kg, l = 1.2 m, μ = 0.3
Ges.: *Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar vor der Seilstraffung. *Geschwindigkeit der Kugel nach dem Straffungsstoß und Stoßantrieb auf das Lager C. *Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar vor dem Stoß mit dem Quader. *Geschwindigkeiten von Kugel und Quader unmittelbar nach deren Stoß. *Die Höhe auf welche die Kugel zurückpendelt und die Strecke um die der Quader verschoben wird.
Quelle: Aufgabe D30 (S. 345f.) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden
Die Angabe gibt es wie üblich als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.
Wir starten dieses Beispiel wieder mit einem Freikörperbild und berechnen insbesondere die Geometrie für den freien Fall der Kugel. Danach diskutieren wir eine Koordinatentransformation die uns die Berechnung des Straffungsstoßes erleichtert. In diesem Zusammenhang besprechen wir auch wie der Straffungsstoß ablaufen wird. Nachdem das geklärt ist, können die Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Stoßvorgang und der Stoßantrieb auf das Lager C berechnet werden. Mittels Energieerhaltung lässt sich dann die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß mit dem Quader bestimmen und der elastische Stoß zwischen Kugel und Quader berechnen. Hier führen wir auch eine Plausibilitätskontrolle durch, was immer eine gute Sache ist. Am Ende berechnen wir noch wie weit die Kugel zurückschwingt und wie weit der Quader auf der reibungsbehafteten Unterlage rutscht. Alle Schritte im Detail besprechen und berechnen wir wieder im verlinkten YouTube Video.
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Das letzte der nachzuholenden Beispiele ist noch einmal aus der Relativkinetik. Allerdings handelt es sich um eher untypische Relativkinetik. Warum, werden wir weiter unten besprechen. Zuerst aber zur Angabe.
Ein Keil der Masse m2 und des Neigungswinkels α kann sich entsprechend der Abbildung auf einer horizontalen Ebene bewegen. Auf dem Keil befindet sich im höchsten Punkt ein Quader, der aus der Ruhelage heraus reibungsfrei nach unten rutscht.
Geg.: m1 = 3 kg, m2 = 6 kg, α = 30°, l = 1.2 m
Ges.: *Beschleunigung des Quaders und des Keils. *Geschwindigkeit des Quaders und des Keils, wenn der Quader seine tiefste Lage erreicht. *Verschiebung des Keils, wenn der Quader seine tiefste Lage erreicht.
Quelle: Aufgabe D34 (S. 356) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden
In der Einleitung habe ich es schon angesprochen: Dieses Beispiel ist etwas unüblich für Relativkinetik. Wir müssen hier nämlich mit den Schwerpunktsätzen starten und können uns erst damit die relevanten Beschleunigungen ausrechnen. Normalerweise ist es umgekehrt. Daher ist besonders hier ein sauberes Freikörperbild essentiell. Zur besseren Veranschaulichung fertigen wir sogar zwei separate Freikörperbilder an. Eines für die Kräfte und eines für die Beschleunigungen. Damit können wir dann die Schwerpunktsätze aufstellen und uns daraus und mit Hilfe kinematischer Zusammenhänge alle gefragten Werte berechnen. Die Rechenschritte im Detail, besprechen wir ausführlich im YouTube Video.
Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen.
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Bis morgen mit einer weiteren Einheit zur Theorie, Markus
Das vorletzte der Beispiele die ich hier nachholen möchte ist ein Kreisel. Konkret wollen wir den Kreisel als Drehzahlmesser verwenden und sehen uns an wie wir das zu Stande bringen können. Die Angabe lautet:
Ein Kreisel kann auch als Drehzahlmesser benutzt werden, nämlich folgendermaßen: In einem Rahmen 1 ist ein Gehäuse 2 reibungsfrei drehbar gelagert und mit einer Drehfeder mit diesem verbunden. Ein im Gehäuse 2 gelagerter Kreisel 3 rotiert mit der relativen Winkelgeschwindigkeit ω_R gegen dieses Gehäuse. Wird nun der Rahmen 1 mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω gedreht, so stellt sich nach einem Einschwingvorgang ein konstant bleibender Winkel ϕ ein und Ω kann bestimmt werden.
Geg.: Schwerpunkte liegen im Schnittpunkt der Drehachsen Gehäuse 2: ϕ, Hauptträgheitsmomente I_Gx, I_Gy, I_Gz, lineare Drehfeder mit Konstante c_T, vollkommen entspannt für ϕ = 0 Kreisel 3: ω_R = const., Trägheitsmomente: I_x, I_y = I_z
Ges.: Berechne die konstante Winkelgeschwindigkeit Ω des Rahmens 1 nach dem Einschwingvorgang unter der Annahme, dass ω_R viel größer als Ω ist.
Quelle: Aufgabe 4.4.3 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien
Auch hier starten wir wieder mit dem Freikörperbild, von dem ihr ja jetzt schon wisst, dass es ein essentieller Bestandteil der technischen Mechanik ist. Nachdem wir uns darüber im Klaren sind wie die Winkelgeschwindigkeiten im gegeben Koordinatensystem wirken, können wir den Drehimpulsvektor anschreiben. Für den Drehimpulssatz benötigen wir die Zeitableitung dieses Drehimpulsvektors, welche hier auf den Kreuzproduktterm (Rotation des Koordinatensystems) beschränkt bleibt, weil wir es mit konstanten Winkelgeschwindigkeiten zu tun haben. Der zweite Term des Drehimpulssatzes ist der Vektor der äußeren Momente. Dabei spielt die gegebene Drehfeder eine Rolle. Nachdem dieser aufgestellt ist, kann der volle Drehimpulssatz angeschrieben und die Vereinfachung für ω_R sehr viel größer als Ω gemacht werden. Zum Abschluss diskutieren wir noch, welche „Drehzahl“ mit einem solchen Gerät typischerweise gemessen wird. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir ausführlich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!
Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.
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Heute geht es wieder um ein Beispiel aus der Relativkinetik bzw. genauer gesagt aus der Relativkinematik (weil wir nur Geschwindigkeiten und Beschleunigungen berechnen). Hier ist die Angabe dazu:
Der Ausleger OA eines Transportbandes dreht sich im dargestellten Augenblick mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω1 um die z-Achse und richtet sich gleichzeitig mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω2 auf. Das Transportband selbst bewegt sich mit der Geschwindigkeit r˙ und Beschleunigung r¨.
Wie der Name des Beispiels schon sagt, werden wir uns der Kinematik der Relativbewegung bedienen. Dazu überlegen wir uns ein geeignetes Koordinatensystem und stellen den Ortsvektor in diesem Koordinatensystem auf. Dann berechnen wir die Beiträge zur Absolutgeschwindigkeit, nämlich Relativ- und Führungsgeschwindigkeit, und stellen daraus die Absolutgeschwindigkeit für das Paket auf. Zum Schluß berechnen wir aus den Termen Relativ-, Führungs- und Coriolisbeschleunigung die Absolutbeschleunigung des Pakets. Zu allen Ergebnissen gibt es in diesem Fall auch Zahlenwerte. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir wieder ausführlich im aktuellen YouTube Video.
Sämtliche Fragen beantworte ich natürlich sehr gerne – schreibt sie mir einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.
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Heute sehen wir uns ein Beispiel zum Prinzip von d’Alembert an.
Gegeben ist das nachfolgend dargestellte schwingungsfähige mechanische System, bestehend aus Rollen, Massen und Federn. Die Masse m wird gehalten und zum Zeitpunkt t=0 losgelassen. Zu Beginn sind alle Federn entspannt.
Geg.: m, I, c, k, R, r
Ges.: *Die Winkelkoordinaten φ1, φ2, φ3 als Funktion von x(t) *Sämtliche Beiträge zum Prinzip von d’Alembert *Die Bewegungsgleichung des Systems sowie dessen Eigenkreisfrequenz *Das Bewegungs-Zeit-Gesetz x(t)
Die Angabe gibt es natürlich wieder als Download inkl. Endergebnissen, damit ihr das Beispiel vorab selbst rechnen könnt.
Für die Lösung dieser Aufgabe überlegen wir uns zuerst die Kinematik an den einzelnen Rollen. Dazu nutzen wir zur besseren Veranschaulichung ein Freikörperbilder. Dann sind alle kinematischen Beziehungen aufzustellen. Wir werden feststellen, dass es nur einen Freiheitsgrad im System gibt. Damit können alle kinematischen Größen als Funktion der Variable x(t) ausgedrückt werden und es gibt am Ende auch nur eine Bewegungsgleichung. Um die Bewegungsgleichung zu berechnen nutzen wir das Prinzip von d’Alembert. Dafür ist es wiederum nötig die virtuelle Arbeit von äußeren und inneren Kräften, sowie die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte aufzustellen. Am Ende können wir dann die Bewegungsgleichung lösen und das Bewegungs-Zeit-Gesetz anschreiben. Wie das im Detail funktioniert erkläre ich im untenstehenden YouTube Video.
Wenn ihr Fragen habt schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen schnellstmöglich beantworten.
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Viel Spaß beim Rechnen und bis spätestens Donnerstag zum nächsten Beispiel, Markus
