Wir haben uns mittlerweile über die Theorie zu Schnittgrößen unterhalten und uns auch einige Beispiele angesehen und dort Schnittgrößen an speziellen Punkten, Berechnungen des Schnittgrößenverlaufs sowie Schnittgrößen mittels Integration durchgeführt. Was uns in der Sammlung noch fehlt ist die Diskussion von Schnittgrößen am gekrümmten Träger. Dazu sehen wir uns als einfaches Beispiel einen Viertelkreisbogen an, welcher am oberen Ende eingespannt ist.
Ein Viertelkreisbogen wird laut Skizze durch die Kräfte F und P belastet. Berechne die Einspannreaktion in A sowie die Schnittgrößen N(φ), Q(φ), M(φ).
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass es mit dem Winkel φ mit dreht, wobei für φ=0 die ex-Achse nach rechts, die ey-Achse aus der Blattebene heraus und die ez-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Die Berechnung der Einspannreaktionen ist für die konkrete Fragestellung – wie wir später sehen werden – eigentlich gar nicht nötig. Dennoch berechnen wir diese und holen uns damit eine wenig zusätzliche Übung. Dazu bedarf es wieder eines Freikörperbildes und dem Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen. Hier sind diese aber so einfach, dass wir sofort die Ergebnisse für die Lagerreaktionen anschreiben können. Effizienz ist schließlich auch wichtig. Danach geht es darum zu besprechen wie das Koordinatensystem sich entlang des Kreisbogens ändert. Das ist deshalb relevant, weil wir damit auch positives und negatives Schnittufer sowie die positiven Richtungen der Schnittgrößen selbst definieren. Ist das erledigt werden noch die Einzelkräfte P und F in Komponenten entlang des gedrehten Koordinatensystems zerlegt und wieder die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Letztere definieren dann in diesem einfachen Fall bereits die Schnittgrößen. Damit sollte auch für komplexere gekrümmte und sogar zusammengesetzte Träger prinzipiell klar sein, wie Schnittgrößen berechnet werden. Die Details und viele kleine Zusatzanmerkungen zur Rechnung findet ihr wie immer im verlinkten Video!
Den vollständigen Lösungsweg als pdf stelle ich auch hier wieder zur Verfügung.
Stellt gerne jederzeit eure Fragen. Erfahrungsgemäß handelt es sich bei Schnittgrößen am gekrümmten Träger um eine Thematik die vergleichsweise viele Fragen aufwirft. Wie ihr wisst gehe ich jederzeit gerne auf diese Fragen ein.
Nachdem wir bereits theoretisch über Schnittgrößen diskutiert haben, uns Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers und auch die Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs angesehen haben, möchten wir uns nun der Berechnung von Querkraft und Biegemoment mittels Integration widmen. Dazu folgendes Beispiel.
Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen, sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x). Geg.: q0, l
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Wir beginnen wie gewohnt mit einem Freikörperbild, nämlich um die Lagerreaktionen berechnen zu können. Dann stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf und berechnen alle Auflagerkräfte in A und B. Dabei können wir für die Streckenlast eine Kombination aus Rechtecks- und Dreiecksform und deren entsprechende resultierende Einzellasten verwenden. Wenn das erledigt ist widmen wir uns schließlich der Berechnung der Querkraft über das Integral, genau wie im Theoriebeitrag zu Schnittgrößen besprochen. Natürlich müssen wir uns dazu noch überlegen welche Funktion unsere trapezförmige Streckenlast korrekt beschreibt. Auch hier werden wir wieder bei der Geradengleichung fündig. Im Anschluss an die Querkraft können wir dann das Schnittmoment bestimmen, indem wir einfach die Querkraft noch einmal integrieren. Zum Schluss zeige ich euch auch noch einen alternativen Weg zur Bestimmung des Schnittmoments und wir diskutieren die Wichtigkeit einer Dimensionskontrolle. Alles im Detail findest ihr wie immer im verlinkten Video sowie auch in der angehängten pdf-Datei. Viel Spaß damit!
Auch hier gilt – wie schon bei den vorhergehenden Beispielen zu den Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Unklarheiten bitte also unbedingt gleich melden.
Ich habe beim letzten Schnittgrößenbeispiel versprochen, dass wir uns als zweites Beispiel zu den Schnittgrößen einen Verlauf ansehen werden. Wir haben ja schon theoretisch diskutiert Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel haben wir dann Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers bestimmt. Jetzt wollen wir uns der eigentlich relevanten Herangehensweise, nämlich der Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs widmen, nämlich an folgendem Beispiel.
Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).
Geg.: q0, l, P=q0*l, M0=q0*l^2
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Schnittgrößenverlauf bedeutet, dass wir Normalkraft, Querkraft und Biegemoment jeweils als Funktion der Laufvariable x entlang des gesamten Trägers berechnen. Wir erhalten also als Ergebnisse Funktionen von x, N(x), Q(x) und M(x) mit deren Hilfe alle Schnittgrößen an jedem beliebigen Punkt entlang des Trägers berechnet werden können. Das ist natürlicher praktischer für die spätere Verwendung. Um das zu erreichen, müssen wir zuerst wieder die Auflagerreaktionen aus dem Gesamtgleichgewicht bestimmen. Anschließend können wir Teilgleichgewichte für die notwendigen Felder aufstellen und daraus die Schnittgrößen berechnen. In diesem konkreten Beispiel benötigen wir 2 Felder, nämlich 0<x<l und l<x<4l, d.h. ein Feld links der Streckenlast und eines im Bereich der Streckenlast. Dann lässt sich für jedes Teilgleichgewicht wieder ein Freikörperbild zeichnen und aus den bekannten Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- und Momentensumme) die Schnittgrößen als Funktion der Laufvariable bestimmen. Wie das detailliert funktioniert besprechen wir wie immer im verlinkten Video. Viel Spaß damit!
Auch hier gilt – wie schon beim Einstiegsbeispiel zu Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Fragen scheue also bitte nicht davor zurück, mich jederzeit zu kontaktieren.
Wir haben uns schon theoretisch angesehen was Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel für die Berechnung von Schnittgrößen wollen wir an speziellen Punkten eines Trägers die drei Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment bestimmen. In Zukunft wollen wir eher Verläufe dieser Schnittgrößen bestimmen, also durchgehende Funktionen der Laufvariable (=Trägerlänge). Um diese Herangehensweise allerdings vorzubereiten, sehen wir uns zuerst an wie wir überhaupt Schnittgrößen bestimmen können – eben an speziellen Punkten entlang des Trägers.
Normal- und Querkraft sowie das Biegemoment im Balken an den Stellen C und D sind zu bestimmen. Die Lagerung in B sei ein Rollenlager. Punkt C liege unmittelbar rechts der Last P. Geg.: P, M, l
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Quelle: Aufgabe 7.6 (S. 407) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Um dieses Beispiel zu lösen müssen wir ebenfalls wieder ein Freikörperbild zeichnen und damit die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht bestimmen. Wir benötigen also alles bisher in der Statik besprochene auch zur Berechnung von Schnittgrößen. Anschließend können wir den Schnitt durchführen. Wir haben schon einige Male besprochen, dass jedes Teilsystem eines statischen Systems ebenfalls im statischen Gleichgewicht sein muss. Genau diese Tatsache können wir uns zu Nutze machen und für den jeweiligen Schnitt wieder die Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- & Momentengleichgewicht) ansetzen. Dazu zeichnen wir ebenfalls wieder ein Freikörperbild für das geschnittene Teilsystem. Die Schnittgrößen sorgen damit dafür, dass dieses Teilsystem im Gleichgewicht bleibt. Mit dieser Vorgehensweise können wir dann also beide Schnitte an C und D ausführen und deren Schnittgrößen berechnen. Die Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video.
Im nächsten Beispiel werden wir dann diskutieren wie wir die oben besprochene Vorgehensweise zur Berechnung eines analytischen Schnittgrößenverlaufs anwenden können. Bei Fragen und Unklarheiten meldet euch bitte jederzeit gerne. Gerade Schnittgrößen zu verstehen ist essentiell für die Technische Mechanik.
Im heutigen Beitrag wollen wir uns dem Thema Schnittgrößen annähern. Wir diskutieren, dass wir Schnittgrößen brauchen um die inneren Belastungen von Bauteilen zu bestimmen. Außerdem besprechen wir natürlich welche Schnittgrößen es gibt, nämlich Normalkraft, Querkraft und Schnittmoment. Ein zentraler Punkt ist ob es sich bei einem gewählten Schnitt um ein positives oder negatives Schnittufer handelt. Was ein Schnittufer ist und woran sich erkennen lässt ob ein positives oder negatives Schnittufer vorliegt besprechen wir sehr detailliert und wie ich glaube äußerst verständlich. Schließlich sehen wir uns noch an wie für beliebige Streckenlasten die Schnittgrößen durch einfache Integration berechnet werden können und welche Zusammenhänge hier gelten.
Es handelt sich bei den Schnittgrößen um ein äußerst wichtiges und sehr zentrales Thema der technischen Mechanik. Wenn du also das Gefühl hast, hier irgendetwas nicht so ganz verstanden zu haben, dann frag bitte jederzeit gerne nach. Die Basics hier zu verstehen bringt im Verlaufe der Mechanik einen unheimlichen Verständnisvorsprung.
Im letzten Beitrag ging es um ein einfaches Fachwerk und wie wir die besprochenen Nullstabregeln anwenden können. Diesmal wollen wir ein komplexeres Fachwerk besprechen und uns auch den sogenannten Ritterschnitt ansehen.
Für das gegebene Fachwerk sollen die Kräfte in den Stäben BC, HC, HG, DC, CF und CG bestimmt werden. Dazu wird das Fachwerk freigeschnitten und eine Gleichgewichtsbedingung zur Berechnung jeder Kraft verwendet. Zudem soll angegeben werden ob die Stäbe unter Zug oder Druck stehen
Quelle: Aufgabe 6.42/6.43 (S. 345) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Um die geforderten Stabkräfte in diesem komplexen Fachwerk bestimmen zu können müssen wir zu Beginn natürlich die Lagerreaktionen berechnen. Das funktioniert durch die statische Bestimmtheit des Systems mittels Gesamtgleichgewicht. Dann können wir uns einen klugen Schnitt durch das gesamte Fachwerk überlegen, einen sog. Ritterschnitt. In unserem Fall verläuft dieser durch die Stäbe BC, HC und HG. Schließlich überlegen wir uns noch, wie wir möglichst Gleichgewichtsbedingungen aufstellen können, die auch direkt Stabkräfte liefern. Das geht deshalb, weil in einem statischen System auch jedes Teilsystem im statischen Gleichgewicht sein muss. Dazu bietet sich ein Punkt in Verlängerung des Stabes HG an, sodass Momentengleichgewichte verwendet werden können. Dafür benötigen wir auch noch ein wenig Geometrie in Form von Dreiecken. Somit lassen sich die drei Stabkräfte im linken Teil berechnen. Für die Stabkräfte im rechten Teil funktioniert die Vorgehensweise vollkommen analog. Wie immer diskutieren wir die Details im verlinkten Video. Viel Spaß!
Sollte es Fragen geben schreib bitte jederzeit gerne einen Kommentar und melde dich auch bei Wünschen zu Beispielen oder mit Verbesserungsvorschlägen.
Wir schauen uns in diesem Beitrag an, wie wir an einem konkreten Beispiel im Fachwerk Nullstäbe bestimmen können. Die Regeln haben wir ja bereits in der Theorie zu Nullstäben diskutiert. Jetzt wollen wir diese Regeln auch in der Praxis anwenden.
Das dargestellte Fachwerk wird durch eine Kraft P belastet. Identifiziere die Nullstäbe. Wie groß sind die Lagerreaktionen und die Kraft im Stab 4?
Quelle: Aufgabe I.5.1 (S. 24.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Um die Nullstäbe zu bestimmen, sehen wir uns systematisch die Knoten an und fragen uns ob eine der drei Regeln für Nullstäbe gültig ist. In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich 1, 7 und 9 als Nullstäbe herausstellen. Dann können wir die Lagerreaktionen berechnen und mittels Rundschnitt (freischneiden eines einzelnen Knotens) des linken unteren Knotens die Kraft im Stab 4 bestimmen. Das alles gehen wir Schritt für Schritt im verlinkten Video durch.
Wenn es Fragen gibt schreibt bitte jederzeit gerne einen Kommentar und meldet euch auch bei Wünschen zu Beispielen oder mit Verbesserungsvorschlägen.
In dieser kurzen Theorieeinheit geht es um wichtige Details bei Fachwerken. Nämlich um die Fragen, was Nullstäbe sind, wie wir diese bestimmen und wozu das gut sein soll. Es gibt dazu drei einfache Regeln, die wir im Video besprechen werden. Außerdem ist wichtig zu wissen, dass uns Nullstäbe zwar die Berechnung des Fachwerks erleichtern, aber aus dem realen Fachwerk nicht einfach entfernt werden dürfen. Warum das so ist und wie das mit den Nullstabregeln funktioniert könnt ihr euch gerne selbst ansehen.
Wenn Fragen offen bleiben, melde dich bitte jederzeit gerne in den Kommentaren und lass mir dort auch Wünsche und Verbesserungsvorschläge da.
In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.
Einleitung Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.
Beispielerklärung Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.
Berechnung des Integrals Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.
Zusammenfassung Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.
Diesmal besprechen wir was es mit Vektorfeldern auf sich hat und wie wir diese ableiten können. Felder haben eine wichtige Bedeutung in der Technischen Mechanik beispielsweise in der Elastizitätstheorie. Daher ist es auch wichtig zu wissen was Felder sind und wie wir sie behandeln müssen.
Einleitung Wie wir Ableitungen von Vektoren bilden, haben wir uns im letzten Beitrag angesehen. Heute wollen wir einen Schritt weitergehen und uns ansehen, wie wir eine Ableitung von einem Vektorfeld durchführen können.
Beispielerklärung Konkret haben wir es hier mit einem Vektorfeld A zu tun und einem Skalarfeld Psi. Was Felder genau sind, werden wir dann bei den Materialgesetzen noch diskutieren. Nur kurz als Teaser: Ein Feld ist ein Vektor, der an jeder Stelle im Raum eine andere Orientierung haben kann. Also im Allgemeinen ein Vektor der hier von den Raumkoordinaten abhängt. Beim Skalarfeld ist es genau das gleiche, nur dass dieses eben kein Vektor ist, sondern nur ein Skalar, aber eine andere Größe hat, je nachdem wo im Raum wir uns befinden. Wir wollen also hier von diesen beiden Feldern die konkrete Ableitung hier bestimmen, nämlich die zweite gemischte Ableitung nach Ypsilon und z. Von dem Produkt Skalarfeld mal Vektorfeld. Und zwar wollen wir das Ganze dann auch in einem speziellen Punkt machen. Vorerst aber einmal einfach allgemein. Wie sieht das Ganze konkret aus?
Berechnung der Ableitung Das Ergebnis wird, wenn wir uns das genauer ansehen, ein Vektor werden und ich nenne diesen Vektor K. Wir bestimmen also den Vektor K als zweite gemischte Ableitung dy dz vom Produkt Psi Skalarfeld mit dem Vektorfeld A. Am Ende wollen wir das Ganze auch noch in einem bestimmten Punkt ausrechnen, nämlich im Punkt P eins, zwei und eins. Wie machen wir das? Wir schreiben einfach hin: K ist als Vektor dann nichts anderes als diese gemischte Ableitung, d zwei dy dz vom Produkt Psi mit A. Das Produkt Psi mit A ist einfach dieses Psi auf jede Komponente von A drauf multipliziert. So wie wir das in der Theorie diskutiert haben. Das heißt, wir bekommen hier 6 x^4, ein x kommt vom Psi. Ypsilon ebenfalls der vierten. Hier haben wir y quadrat im Psi, mal z auch aus dem Psi. Das ist die x Komponente und analog für y und z einfach die Komponenten von Psi dazu multipliziert. Also x, y^4, z^2 in y-Richtung und minus x^2 y^2, z^3 in z-Richtung. Das ist einmal unser Produkt. Und davon müssen wir jetzt die gemischte Ableitung bilden. Wir leiten dazu einmal zuerst nach dem z ab und machen dann die y-Ableitung nachfolgend. Das heißt, wir haben hier 6 x^4 y^4. z wird eins, weil wir nach z ableiten plus 2 x y^4 z vom z Quadrat in y Richtung und minus 3 x^2 y^2 z^2 in z-Richtung. Erste Ableitung. Zweite Ableitung: Nach dem y landen wir bei 24 x^4 y^3 in x-Richtung, plus 8 y^3 z in y Richtung und minus 6 x^2 y z^2 in z-Richtung. Das ist unser allgemeiner Vektor K. Die allgemeine Ableitung und wäre eine Antwort auf die obige Frage, nämlich genau diese Ableitung, wie sie oben steht.
Berechnung im konkreten Punkt P Wir können das Ganze jetzt auch eben in dem Punkt P anschreiben, indem wir einfach für x = 1, für y = -2 und für z wiederum 1 einsetzen und wir schreiben das auch dann so her: K Vektor von 1, -2, 1 und setzen entsprechend ein. Multiplizieren gleich alles aus. Das überlasse ich jedem für sich. Und landen bei: 192 Minus in x Richtung, minus 64 in y-Richtung und plus 12 in z-Richtung. Das wäre dann unser zweites Ergebnis im Punkt P. Und so lässt sich jeder beliebige Punkt, den wir gerne berechnen würden, für dieses K bestimmen. Und wie wir anhand des Ergebnisses von K sehen, ist auch K wiederum ein Feld.
Charakteristikum eines Feldes Das heißt, wenn wir einen anderen Punkt einsetzen, dann kommt auch tatsächlich ein anderes Ergebnis heraus und damit ein anderer Vektor an diesem Punkt im Raum. Und das ist das Charakteristikum von einem Feld, von einem Vektorfeld konkret. Und das brauchen wir dann später auch noch. Zum Beispiel bei den Verschiebungen, wenn es darum geht, wie sich ein Körper verformt. Das sehen wir uns aber etwas später dann bei den Materialgesetzen an. Ich hoffe die Vorgehensweise hier war klar. Das Video hat dich weitergebracht. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren stellen. Wenn du noch kein Abonnent, keine Abonnentin bist, bitte das nachholen, um mir zu helfen, die Reichweite des Kanals zu erhöhen. Und ich hoffe wir sehen uns beim nächsten Video wieder und wünsche dir bis dahin alles Gute.
