Ich habe beim letzten Schnittgrößenbeispiel versprochen, dass wir uns als zweites Beispiel zu den Schnittgrößen einen Verlauf ansehen werden. Wir haben ja schon theoretisch diskutiert Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel haben wir dann Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers bestimmt. Jetzt wollen wir uns der eigentlich relevanten Herangehensweise, nämlich der Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs widmen, nämlich an folgendem Beispiel.
Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).
Geg.: q0, l, P=q0*l, M0=q0*l^2
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Schnittgrößenverlauf bedeutet, dass wir Normalkraft, Querkraft und Biegemoment jeweils als Funktion der Laufvariable x entlang des gesamten Trägers berechnen. Wir erhalten also als Ergebnisse Funktionen von x, N(x), Q(x) und M(x) mit deren Hilfe alle Schnittgrößen an jedem beliebigen Punkt entlang des Trägers berechnet werden können. Das ist natürlicher praktischer für die spätere Verwendung. Um das zu erreichen, müssen wir zuerst wieder die Auflagerreaktionen aus dem Gesamtgleichgewicht bestimmen. Anschließend können wir Teilgleichgewichte für die notwendigen Felder aufstellen und daraus die Schnittgrößen berechnen. In diesem konkreten Beispiel benötigen wir 2 Felder, nämlich 0<x<l und l<x<4l, d.h. ein Feld links der Streckenlast und eines im Bereich der Streckenlast. Dann lässt sich für jedes Teilgleichgewicht wieder ein Freikörperbild zeichnen und aus den bekannten Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- und Momentensumme) die Schnittgrößen als Funktion der Laufvariable bestimmen. Wie das detailliert funktioniert besprechen wir wie immer im verlinkten Video. Viel Spaß damit!
Auch hier gilt – wie schon beim Einstiegsbeispiel zu Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Fragen scheue also bitte nicht davor zurück, mich jederzeit zu kontaktieren.
Wir haben uns schon theoretisch angesehen was Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel für die Berechnung von Schnittgrößen wollen wir an speziellen Punkten eines Trägers die drei Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment bestimmen. In Zukunft wollen wir eher Verläufe dieser Schnittgrößen bestimmen, also durchgehende Funktionen der Laufvariable (=Trägerlänge). Um diese Herangehensweise allerdings vorzubereiten, sehen wir uns zuerst an wie wir überhaupt Schnittgrößen bestimmen können – eben an speziellen Punkten entlang des Trägers.
Normal- und Querkraft sowie das Biegemoment im Balken an den Stellen C und D sind zu bestimmen. Die Lagerung in B sei ein Rollenlager. Punkt C liege unmittelbar rechts der Last P. Geg.: P, M, l
Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.
Quelle: Aufgabe 7.6 (S. 407) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Um dieses Beispiel zu lösen müssen wir ebenfalls wieder ein Freikörperbild zeichnen und damit die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht bestimmen. Wir benötigen also alles bisher in der Statik besprochene auch zur Berechnung von Schnittgrößen. Anschließend können wir den Schnitt durchführen. Wir haben schon einige Male besprochen, dass jedes Teilsystem eines statischen Systems ebenfalls im statischen Gleichgewicht sein muss. Genau diese Tatsache können wir uns zu Nutze machen und für den jeweiligen Schnitt wieder die Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- & Momentengleichgewicht) ansetzen. Dazu zeichnen wir ebenfalls wieder ein Freikörperbild für das geschnittene Teilsystem. Die Schnittgrößen sorgen damit dafür, dass dieses Teilsystem im Gleichgewicht bleibt. Mit dieser Vorgehensweise können wir dann also beide Schnitte an C und D ausführen und deren Schnittgrößen berechnen. Die Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video.
Im nächsten Beispiel werden wir dann diskutieren wie wir die oben besprochene Vorgehensweise zur Berechnung eines analytischen Schnittgrößenverlaufs anwenden können. Bei Fragen und Unklarheiten meldet euch bitte jederzeit gerne. Gerade Schnittgrößen zu verstehen ist essentiell für die Technische Mechanik.
Im heutigen Beitrag wollen wir uns dem Thema Schnittgrößen annähern. Wir diskutieren, dass wir Schnittgrößen brauchen um die inneren Belastungen von Bauteilen zu bestimmen. Außerdem besprechen wir natürlich welche Schnittgrößen es gibt, nämlich Normalkraft, Querkraft und Schnittmoment. Ein zentraler Punkt ist ob es sich bei einem gewählten Schnitt um ein positives oder negatives Schnittufer handelt. Was ein Schnittufer ist und woran sich erkennen lässt ob ein positives oder negatives Schnittufer vorliegt besprechen wir sehr detailliert und wie ich glaube äußerst verständlich. Schließlich sehen wir uns noch an wie für beliebige Streckenlasten die Schnittgrößen durch einfache Integration berechnet werden können und welche Zusammenhänge hier gelten.
Es handelt sich bei den Schnittgrößen um ein äußerst wichtiges und sehr zentrales Thema der technischen Mechanik. Wenn du also das Gefühl hast, hier irgendetwas nicht so ganz verstanden zu haben, dann frag bitte jederzeit gerne nach. Die Basics hier zu verstehen bringt im Verlaufe der Mechanik einen unheimlichen Verständnisvorsprung.
Im letzten Beitrag ging es um ein einfaches Fachwerk und wie wir die besprochenen Nullstabregeln anwenden können. Diesmal wollen wir ein komplexeres Fachwerk besprechen und uns auch den sogenannten Ritterschnitt ansehen.
Für das gegebene Fachwerk sollen die Kräfte in den Stäben BC, HC, HG, DC, CF und CG bestimmt werden. Dazu wird das Fachwerk freigeschnitten und eine Gleichgewichtsbedingung zur Berechnung jeder Kraft verwendet. Zudem soll angegeben werden ob die Stäbe unter Zug oder Druck stehen
Quelle: Aufgabe 6.42/6.43 (S. 345) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München
Um die geforderten Stabkräfte in diesem komplexen Fachwerk bestimmen zu können müssen wir zu Beginn natürlich die Lagerreaktionen berechnen. Das funktioniert durch die statische Bestimmtheit des Systems mittels Gesamtgleichgewicht. Dann können wir uns einen klugen Schnitt durch das gesamte Fachwerk überlegen, einen sog. Ritterschnitt. In unserem Fall verläuft dieser durch die Stäbe BC, HC und HG. Schließlich überlegen wir uns noch, wie wir möglichst Gleichgewichtsbedingungen aufstellen können, die auch direkt Stabkräfte liefern. Das geht deshalb, weil in einem statischen System auch jedes Teilsystem im statischen Gleichgewicht sein muss. Dazu bietet sich ein Punkt in Verlängerung des Stabes HG an, sodass Momentengleichgewichte verwendet werden können. Dafür benötigen wir auch noch ein wenig Geometrie in Form von Dreiecken. Somit lassen sich die drei Stabkräfte im linken Teil berechnen. Für die Stabkräfte im rechten Teil funktioniert die Vorgehensweise vollkommen analog. Wie immer diskutieren wir die Details im verlinkten Video. Viel Spaß!
Sollte es Fragen geben schreib bitte jederzeit gerne einen Kommentar und melde dich auch bei Wünschen zu Beispielen oder mit Verbesserungsvorschlägen.
Wir schauen uns in diesem Beitrag an, wie wir an einem konkreten Beispiel im Fachwerk Nullstäbe bestimmen können. Die Regeln haben wir ja bereits in der Theorie zu Nullstäben diskutiert. Jetzt wollen wir diese Regeln auch in der Praxis anwenden.
Das dargestellte Fachwerk wird durch eine Kraft P belastet. Identifiziere die Nullstäbe. Wie groß sind die Lagerreaktionen und die Kraft im Stab 4?
Quelle: Aufgabe I.5.1 (S. 24.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg
Um die Nullstäbe zu bestimmen, sehen wir uns systematisch die Knoten an und fragen uns ob eine der drei Regeln für Nullstäbe gültig ist. In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich 1, 7 und 9 als Nullstäbe herausstellen. Dann können wir die Lagerreaktionen berechnen und mittels Rundschnitt (freischneiden eines einzelnen Knotens) des linken unteren Knotens die Kraft im Stab 4 bestimmen. Das alles gehen wir Schritt für Schritt im verlinkten Video durch.
Wenn es Fragen gibt schreibt bitte jederzeit gerne einen Kommentar und meldet euch auch bei Wünschen zu Beispielen oder mit Verbesserungsvorschlägen.
In dieser kurzen Theorieeinheit geht es um wichtige Details bei Fachwerken. Nämlich um die Fragen, was Nullstäbe sind, wie wir diese bestimmen und wozu das gut sein soll. Es gibt dazu drei einfache Regeln, die wir im Video besprechen werden. Außerdem ist wichtig zu wissen, dass uns Nullstäbe zwar die Berechnung des Fachwerks erleichtern, aber aus dem realen Fachwerk nicht einfach entfernt werden dürfen. Warum das so ist und wie das mit den Nullstabregeln funktioniert könnt ihr euch gerne selbst ansehen.
Wenn Fragen offen bleiben, melde dich bitte jederzeit gerne in den Kommentaren und lass mir dort auch Wünsche und Verbesserungsvorschläge da.
In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.
Einleitung Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.
Beispielerklärung Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.
Berechnung des Integrals Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.
Zusammenfassung Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.
Diesmal besprechen wir was es mit Vektorfeldern auf sich hat und wie wir diese ableiten können. Felder haben eine wichtige Bedeutung in der Technischen Mechanik beispielsweise in der Elastizitätstheorie. Daher ist es auch wichtig zu wissen was Felder sind und wie wir sie behandeln müssen.
Einleitung Wie wir Ableitungen von Vektoren bilden, haben wir uns im letzten Beitrag angesehen. Heute wollen wir einen Schritt weitergehen und uns ansehen, wie wir eine Ableitung von einem Vektorfeld durchführen können.
Beispielerklärung Konkret haben wir es hier mit einem Vektorfeld A zu tun und einem Skalarfeld Psi. Was Felder genau sind, werden wir dann bei den Materialgesetzen noch diskutieren. Nur kurz als Teaser: Ein Feld ist ein Vektor, der an jeder Stelle im Raum eine andere Orientierung haben kann. Also im Allgemeinen ein Vektor der hier von den Raumkoordinaten abhängt. Beim Skalarfeld ist es genau das gleiche, nur dass dieses eben kein Vektor ist, sondern nur ein Skalar, aber eine andere Größe hat, je nachdem wo im Raum wir uns befinden. Wir wollen also hier von diesen beiden Feldern die konkrete Ableitung hier bestimmen, nämlich die zweite gemischte Ableitung nach Ypsilon und z. Von dem Produkt Skalarfeld mal Vektorfeld. Und zwar wollen wir das Ganze dann auch in einem speziellen Punkt machen. Vorerst aber einmal einfach allgemein. Wie sieht das Ganze konkret aus?
Berechnung der Ableitung Das Ergebnis wird, wenn wir uns das genauer ansehen, ein Vektor werden und ich nenne diesen Vektor K. Wir bestimmen also den Vektor K als zweite gemischte Ableitung dy dz vom Produkt Psi Skalarfeld mit dem Vektorfeld A. Am Ende wollen wir das Ganze auch noch in einem bestimmten Punkt ausrechnen, nämlich im Punkt P eins, zwei und eins. Wie machen wir das? Wir schreiben einfach hin: K ist als Vektor dann nichts anderes als diese gemischte Ableitung, d zwei dy dz vom Produkt Psi mit A. Das Produkt Psi mit A ist einfach dieses Psi auf jede Komponente von A drauf multipliziert. So wie wir das in der Theorie diskutiert haben. Das heißt, wir bekommen hier 6 x^4, ein x kommt vom Psi. Ypsilon ebenfalls der vierten. Hier haben wir y quadrat im Psi, mal z auch aus dem Psi. Das ist die x Komponente und analog für y und z einfach die Komponenten von Psi dazu multipliziert. Also x, y^4, z^2 in y-Richtung und minus x^2 y^2, z^3 in z-Richtung. Das ist einmal unser Produkt. Und davon müssen wir jetzt die gemischte Ableitung bilden. Wir leiten dazu einmal zuerst nach dem z ab und machen dann die y-Ableitung nachfolgend. Das heißt, wir haben hier 6 x^4 y^4. z wird eins, weil wir nach z ableiten plus 2 x y^4 z vom z Quadrat in y Richtung und minus 3 x^2 y^2 z^2 in z-Richtung. Erste Ableitung. Zweite Ableitung: Nach dem y landen wir bei 24 x^4 y^3 in x-Richtung, plus 8 y^3 z in y Richtung und minus 6 x^2 y z^2 in z-Richtung. Das ist unser allgemeiner Vektor K. Die allgemeine Ableitung und wäre eine Antwort auf die obige Frage, nämlich genau diese Ableitung, wie sie oben steht.
Berechnung im konkreten Punkt P Wir können das Ganze jetzt auch eben in dem Punkt P anschreiben, indem wir einfach für x = 1, für y = -2 und für z wiederum 1 einsetzen und wir schreiben das auch dann so her: K Vektor von 1, -2, 1 und setzen entsprechend ein. Multiplizieren gleich alles aus. Das überlasse ich jedem für sich. Und landen bei: 192 Minus in x Richtung, minus 64 in y-Richtung und plus 12 in z-Richtung. Das wäre dann unser zweites Ergebnis im Punkt P. Und so lässt sich jeder beliebige Punkt, den wir gerne berechnen würden, für dieses K bestimmen. Und wie wir anhand des Ergebnisses von K sehen, ist auch K wiederum ein Feld.
Charakteristikum eines Feldes Das heißt, wenn wir einen anderen Punkt einsetzen, dann kommt auch tatsächlich ein anderes Ergebnis heraus und damit ein anderer Vektor an diesem Punkt im Raum. Und das ist das Charakteristikum von einem Feld, von einem Vektorfeld konkret. Und das brauchen wir dann später auch noch. Zum Beispiel bei den Verschiebungen, wenn es darum geht, wie sich ein Körper verformt. Das sehen wir uns aber etwas später dann bei den Materialgesetzen an. Ich hoffe die Vorgehensweise hier war klar. Das Video hat dich weitergebracht. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren stellen. Wenn du noch kein Abonnent, keine Abonnentin bist, bitte das nachholen, um mir zu helfen, die Reichweite des Kanals zu erhöhen. Und ich hoffe wir sehen uns beim nächsten Video wieder und wünsche dir bis dahin alles Gute.
Im heutigen Beitrag sehen wir uns an wie ein Vektor abgeleitet werden kann.
Einleitung Ab einem gewissen Punkt in der technischen Mechanik spielen auch Ableitung und Integration von Vektoren eine gewisse Rolle. Wir wollen uns also in den letzten Beispielen zur Vektorrechnung noch ansehen, wie wir einen Vektor ableiten, wie wir ein Vektorfeld ableiten und wie wir einen Vektor integrieren können. Heute geht es darum, Vektoren abzuleiten. Wie das konkret funktioniert, das sehen wir uns gleich an.
Beispielangabe Das Ableiten von Vektoren funktioniert im Grunde genau gleich wie das Ableiten von Funktionen, mit dem einzigen Unterschied, dass wir auch noch Komponenten des Vektors beibehalten. Wir wollen uns das an dem gegebenen Beispiel hier ansehen. Wir haben nämlich einen Vektor A, der von der Zeit abhängt, und wir haben einen Vektor B, der von der Zeit abhängt. Und wir möchten gerne die totalen Ableitungen der beiden Vektoren bestimmen und dann auch die Ableitung des Skalarprodukts dieser beiden Vektoren. Das funktioniert, wie wir sehen werden, sehr einfach. Wenn wir wissen, wie Polynome abzuleiten sind, und das sollte ja in der Regel kein großes Problem sein.
Ableitung von A Schauen wir uns also einmal den Vektor A an. Die Zeitableitung von A. dA als Funktion der Zeit nach der Zeit abgeleitet ist. Die Zeitableitung des Vektors abgeschrieben. 5 t in 1 Richtung + 8 t Quadrat in 2 Richtung minus 6 t in drei Richtungen bzw. analog einfach als Spaltenvektor angeschrieben, je nach Belieben. Und das heißt, wir machen einfach die Ableitung der einzelnen Richtungen 1, 2 und 3 und landen also wieder bei einem Vektor, sinnvollerweise. 5 t abgeleitet ergibt 5 e1. 8 t Quadrat abgeleitet wir wissen t Quadrat abgeleitet gibt zweimal t zweimal 8 ist 16, also 16 t in die 2 Richtung und minus sechs t abgeleitet ergibt entsprechend minus 6 in die 3 Richtung.
Ableitung von B Genau das gleiche für den Vektor B. dB von t nach dt ist demnach dt unseres Vektors B von oben abgeschrieben. Minus 3 t der dritten in 1 Richtung +2 t Quadrat in 2 Richtung minus 10 t in 3 Richtung. Auch hier wieder jede einzelne Komponente entsprechend abgeleitet minus 3 t der dritten t der dritten abgeleitet ist dreimal t Quadrat dreimal drei ist neun, also minus 9 t Quadrat in eins Richtung Plus hier kommt 2 herunter; 4 t in 2 Richtung und minus 10 in 3 Richtung. Das t abgeleitet wird zu eins. Auch hier wieder die beiden Vektoren.
Ableitung des Skalarprodukts Dann führen wir die Ableitung der Skalarprodukts aus. Dazu müssen wir natürlich zuerst das Skalarprodukt durchführen A in B skalar und davon dann die Ableitung. Wir machen uns zunutze, dass die beiden Vektoren bereits oben in der Klammer stehen, machen also das Skalarprodukt aus diesen jeweiligen Komponenten hier. Wir sehen also, wir haben fünf t mal minus drei t der dritten ist jeweils die 1-Einrichtung. Skalar fällt natürlich dann die 1-Einrichtung weg, also minus 15 und t mal t der dritten t der vierten plus 16 t der vierten aus acht t Quadrat, zwei t Quadrat und 60 t Quadrat aus minus sechs t Mal minus 10 t. Davon wieder die Ableitung gebildet ergibt dann minus 60 t der Dritten aus dem ersten Term plus 64 t der Dritten aus dem zweiten Term plus 120 t aus dem dritten Term. Und dann entsprechend die t der Dritten zusammengefasst ergibt 4 t der Dritten plus 120 t. Das sind unsere drei Ergebnisse. Die Ableitungen der Einzelvektoren und die Ableitung des Skalarprodukts.
Wenn es Fragen dazu gibt, biete gerne die Fragen jederzeit stellen und ich hoffe, das Video hat dir weitergeholfen und wir sehen uns beim nächsten Video wieder.
In diesem Beispiel wollen wir uns ansehen wie die Fläche eines Dreiecks aus zwei Vektoren berechnet werden kann. Dabei bestimmen wir ganz nebenbei auch die Ortsvektoren zwischen zwei Punkten.
Einleitung Wir haben uns jetzt schon einige Beispiele zur Vektorrechnung angesehen und wollen heute weitermachen mit einer Kombination aus zwei Ansätzen. Wir wollen nämlich die Fläche eines Dreiecks bestimmen, von dem wir nur die Eckpunkte kennen. Wie das genau funktioniert, das sehen wir uns an.
Angabe Wir schauen uns also heute ein Dreieck an, von dem wir nur die Eckpunkte kennen und wir möchten gerne die Fläche dieses Dreiecks bestimmen. Die konkrete Angabe lautet: Die Eckpunkte des Dreiecks sind A, B und C jeweils als Punkte mit dem Abstand Meter in einem Koordinatensystem angegeben.
Strategie Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist: Wie bestimmen wir überhaupt die Fläche eines Dreiecks, das wir aus Vektoren aufgebaut haben? Und die einfache Antwort ist, dass wir einfach das Rechteck berechnen, das aus diesen beiden Vektoren entsteht. Genauso wie bei dem letzten Beispiel die Grundfläche unseres Volumenkörpers. Und daraus dann die Hälfte nehmen und damit das Dreieck bestimmt haben. Wir zeichnen uns das Ganze am besten einmal auf, und zwar so, dass wir hier einen Vektor haben der zum Punkt A hin zeigt, den ich r_AC nenne. Das wäre unser Vektor aus diesen beiden Punkten oben hier C und einen mit dem Startpunkt – Schaft – B. und der heißt entsprechend r_AB. Und das Rechteck, das aus diesen beiden Vektoren entsteht, sieht dann in etwa so aus. Und um die Fläche des Dreiecks zu bestimmen, nehmen wir einfach die halbe Fläche des Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks, wissen wir, entsteht aus dem Kreuzprodukt. Damit ist die Fläche des Dreiecks nichts anderes als ein halb Betrag natürlich r_AB Vektor Kreuzprodukt mit r_AC Vektor. Erste wichtige Sache.
Ortsvektoren Die zweite wichtige Sache ist jetzt: Wie bestimmen wir eigentlich diese beiden Vektoren? Wir haben ja nur die Punkte A, B und C gegeben. Und hier kommen die Ortsvektoren ins Spiel, die wir auch in unserem Theorievideo zur Berechnung diskutiert haben. Wer sich daran nicht mehr erinnern kann, einfach noch einmal nachsehen. Die Ortsvektoren berechnen sich als Differenz Spitze minus Schaft. Das heißt, wir brauchen diese beiden Vektoren hier. r_AB Vektor ist einfach der Punkt A die Spitze unseres Vektors minus Punkt B. Die Koordinaten dieser beiden Punkte natürlich. Und die gleich als Zeilenvektor angeschrieben, von oben abgeschrieben, lauten drei, sechs und zehn Meter ist A. minus acht, vier und minus zwei Meter ist B. Einfach diese Subtraktion durchgeführt, ergibt sich dann ein Vektor minus 5, zwei und 12 Meter. Für unser r_AB. r_AC ist A minus C. Spitze ist nach wie vor A Schaft ist jetzt C. Also der gleiche Vektor für A 3, 6, 10 minus 1, 2, 3 für C. Wieder alles in Meter ist dann 2, vier und sieben. Meter. So, damit haben wir unsere beiden Vektoren für das Kreuzprodukt hier oben und können das Kreuzprodukt einfach ausführen wieder mit der Determinantenschreibweise r_AB kreuz r_AC. Es macht hier, wie wir sehen, auch keinen Unterschied, ob wir r_AB Kreuz r_AC oder umgekehrt berechnen, weil wir sowieso den Betrag davon verwenden. Und das Kreuzprodukt ist zwar nicht kommunikativ, aber es dreht sich in unserem einfachen Fall hier in dieser einfachen Geometrie ja nur das Vorzeichen um. Und damit ist der Betrag wieder genau das gleiche. Macht auch Sinn, wenn wir uns die Skizze anschauen. Wir haben also hier wieder Einheitsvektor eins, zwei, drei Koordinatensystem und die Einträge minus 5, 2, 12 von r_AB und 2, 4, 7 von r_AC. Das ganze Kreuzprodukt ausgeführt. Ich glaube, das ist mittlerweile klar. Zwei mal sieben minus zwölf mal vier in der 1 Komponente und 12 mal zwei minus minus 5 mal 4, also plus 5 mal 7 entschuldigung, ist die 2- Komponente. Und minus 5 mal 4 jetzt hier in der 3- komponente. Minus zwei mal zwei. Das Ganze noch ausgerechnet ergibt sich minus 34, 59, und Minus 24 Quadratmeter wohlgemerkt. Das ist jetzt offensichtlich noch ein Vektor, war ja auch zu erwarten aus einem Kreuzprodukt entsteht ein Vektor. Um den Betrag zu bestimmen, müssen wir jetzt noch den Pythagoras anwenden, nämlich Betrag r_AB kreuz r_AC. Ist die Wurzel aus den Komponenten zum Quadrat. 34 Quadrat minus 34 zum Quadrat ist plus 34 zum Quadrat, 59 zum Quadrat. Und auch hier das Minus bei 24 gleich weggelassen plus 24 Quadrat – Wurzel daraus. Und das ergibt 72,2. Nach wie vor Quadratmeter. Das ist jetzt die Fläche des Rechtecks aus den beiden Vektoren und die Fläche des Dreiecks aus den beiden Vektoren ist damit einfach die Hälfte davon. Noch einmal von oben die Flächenformel abgeschrieben und die Hälfte von 72,2 ist 36,1 Quadratmeter. Das ist die Fläche unseres gesuchten Dreiecks aus diesen beiden Eckpunkten A, B, C.
Zusammenfassung Also zur Wiederholung wenn die Punkte gegeben sind, muss natürlich zuerst der Ortsvektor bestimmt werden zwischen diesen Punkten, aus denen der Körper aufgebaut ist, und dann können wir vektoriell die Fläche dieses Dreiecks oder welcher Körper es auch immer ist bestimmen. Das würde genauso analog funktionieren für einen Volumenskörper, wenn wir die entsprechenden Punkte gegeben haben und uns die drei Vektoren, die wir für das Spaltprodukte dann benötigen, entsprechend ausrechnen können. Ich hoffe, das war wieder verständlich. Wenn es Fragen gibt, bitte in den Kommentaren fragen. Und ich hoffe, wir sehen uns dann beim nächsten Mal.
