Herzlich Willkommen!

In unserem dritten Beispiel zur Vektorrechnung geht es darum den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, wenn die beiden Vektoren bekannt sind. Wir nutzen dazu die Definition des Skalarprodukts. Sehen wir uns also genauer an wie das funktioniert.

Theorie
Wir haben in der Theorie zu den Vektoren auch diskutiert, dass wir aus dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können. Genau das wollen wir uns heute anschauen. Wir wollen uns also ansehen, wie wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können. Das ist insbesondere interessant, wenn wir den Winkel wissen wollen, den eine Kraft- resultierende beispielsweise mit einer Koordinatenachse einschließt. Auch das werden wir uns dann in konkreten technischen Mechanik Beispielen noch genauer ansehen. Hier aber wollen wir es erst einmal allgemein diskutieren.

Rechenweg über das Skalarprodukt
Wir haben also zwei Vektoren A und B gegeben, mit Zahlenwerten, also ganz konkrete Vektoren, und möchten den Winkel zwischen diesen beiden bestimmen. Wie machen wir das? Wer sich nicht erinnert, noch einmal zurück geschaut auf das Vektorrechnung Theorievideo, nämlich aus dem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt war ja in seiner Definition: A skalar in B ist gleich Betrag von A mal Betrag von B mal Cosinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren. Ich nenne ihn hier einfach Gamma.

Skalarprodukt berechnen
Was müssen wir also bestimmen? Wir müssen zuerst einmal bestimmen, das Skalarprodukt A skalar in B, also die linke Seite unserer Gleichung. Das lautet, gleich als Zeilenvektor angeschrieben, 3, 6, 9 skalar in minus 2, 3 und 1. Wir wissen, beim Skalarprodukt müssen wir einfach nur die erste Komponente mit der ersten Komponente multiplizieren. Zweite mit der Zweiten usw. Wir können das ganze natürlich auch anschreiben als Spaltenvektor 3 6 9. skalar minus 2, 3, 1. Je nachdem, wie es angenehmer und praktischer ist. Und landen hier dann insgesamt bei einem 3 Mal minus 2, also minus 6, 6 mal 3, also 18. Und 9 mal 1, also 9. Addiert ergibt sich ein Skalarprodukt von 21. Wir haben hier keine Einheiten. Wir werden dann später auch noch über Einheiten diskutieren und wie wichtig die für die technische Mechanik sind. Hier aber im Allgemeinen haben wir jetzt keine Einheiten gegeben. Sind also einfach nur Zahlen. Die Zahl 21 ist das Ergebnis des Skalarprodukts A mit B.

Beträge der Vektoren berechnen
Und dann brauchen wir natürlich noch die rechte Seite, nämlich den Betrag von A und den Betrag von B. Der Betrag von A, auch hier zurückerinnert an das Theorie Video, errechnet sich aus dem dreidimensionalen Satz von Pythagoras, den wir diskutiert haben, also einfach die Wurzel aller Komponenten quadriert und die Summe aus diesen Komponenten. 3 Quadrat plus 6 Quadrat plus 9 Quadrat. Und die Wurzel daraus ist also der Betrag von A. Hier ergibt sich Wurzel 126. Ich lasse es jetzt als Wurzel stehen. Wir werden gleich sehen, warum. Das gleiche für den Vektor B. Auch hier Wurzel aller Komponenten quadriert: minus 2 Quadrat plus 3 Quadrat plus 1 Quadrat Wurzel daraus. Hier als Nebenbemerkung: minus 2 Quadrat könnten wir auch gleich als 2 Quadrat schreiben, weil ja das negative Vorzeichen durch das Quadrieren wegfällt. Hier aber der Vollständigkeit halber noch hinzugefügt. Werde ich nicht immer machen. Hier ist es einfach noch dabei. Und das ergibt dann die Wurzel 14. Wir brauchen jetzt insgesamt das Produkt aus diesen beiden Beträgen, nämlich Produkt A Betrag mit B Betrag. Und hier ergibt sich eine Wurzel 126 mal Wurzel 14. Natürlich lassen sich die beiden Wurzel zusammenführen und hier eine Wurzel 126 mal 14 schreiben. Und wenn wir das ausmultiplizieren und die Wurzel ziehen, landen wir bei einem schönen Ergebnis, aus dem man auch die Wurzel ziehen kann, nämlich 42.

Einsetzen
Und damit können wir jetzt in unsere Formel hier oben für das Skalarprodukt hineingehen, umformen auf Cosinus Gamma und können damit den Winkel Gamma bestimmen. Ich habe sie Gleichung (1) genannt, also aus der Gleichung (1) umgeformt auf Cosinus Gamma haben wir dann skalar A in B dividiert durch die Beträge der beiden Vektoren A und B Produkt daraus. Die haben wir berechnet. Wir haben hier noch einmal markiert, einmal 21 und einmal 42 als Skalarprodukt und als Produkt der Beträge. Wir haben also 21 dividiert durch 42, das ist ein Halb und der Cosinus von ein halb ist, wie vielleicht bekannt ist. Und wenn der Cosinus eines Winkels ein Halb ist, wie vielleicht bekannt ist, dann ist der Winkel Gamma 60 Grad. Wir haben also über das Skalarprodukt sehr einfach den Winkel Gamma bestimmt. Natürlich sind das hier sehr schöne Zahlenwerte, das wird nicht immer so schön aussehen, aber es funktioniert immer genau analog zu dem, wie es hier gezeigt wurde.

Ich hoffe das war verständlich erklärt. Wenn es Fragen gibt wie immer, bitte gerne in den Kommentaren die Fragen stellen und ich beantworte sie natürlich. Ich freue mich, dass du wieder dabei warst und ich freue mich auch, dich beim nächsten Beitrafg wieder zu sehen.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Diesmal behandeln wir das Kreuzprodukt zweier Vektoren und sehen uns an was es bedeutet, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wir berechnen das Kreuzprodukt einerseits mittels der Determinante und andererseits als Alternative auch mit den Einheitsvektoren.

In unserem letzten konkreten Video zur Vektorrechnung haben wir uns mit dem Skalarprodukt beschäftigt. Heute möchten wir uns daher mit dem Kreuzprodukt beschäftigen und wie wir dieses konkret ausrechnen können und was es bedeutet, dass ein Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Wenn dich die Inhalte auf dem Kanal weiterbringen, dann lass mir doch bitte ein Abo da und gib auch diesem Video einen Daumen hoch. Vielen Dank!

Herzlich willkommen zurück auf dem Kanal. Heute wollen wir uns also das Kreuzprodukt ansehen. Und dazu habe ich folgendes Beispiel vorbereitet: Wir haben hier zwei Vektoren, einen Vektor x, y und z. Ganz allgemein und einen Vektor p 1, 0 und 2 mit Zahlenwerten. Wir sollen davon die beiden möglichen Kreuzprodukte berechnen. Damit ist gemeint einmal r kreuz p und einmal p kreuz r,und uns dann überlegen, wie sich diese beiden Kreuzprodukte voneinander unterscheiden. Schauen wir uns das ganze also an. Wir berechnen das Kreuzprodukt in diesem Fall als Determinante. Wir haben also r kreuz p. Mittels der Determinantenregel, müssen wir eine Zeile Einheitsvektoren e1, e2, e3 einführen. Ich nenne das Koordinatensystem hier jetzt eins, zwei, drei. Natürlich lässt es sich analog auch als x, y, z bezeichnen. Und wir haben den Vektor r: x, y, z. Und unseren Vektor P: 1, 0, 2. Davon die Determinante berechnet. Hier ergibt sich. Als 1-Komponente einmal 2y. Und in die andere Richtung Null mal z mal 1, also 0. 2. Richtung e2 z mal 1 also +z. Und in die andere Richtung hier zwei mal x e2, also minus 2 x. Und die dritte Komponente entsprechend e mal x mal 0, also Null. Und der Minus Beitrag 1mal y e3, also minus y. Das ist unser Produkt r kreuz p. Wie sieht das Produkt p kreuz r aus? Ganz einfach wir müssen dazu nur entsprechend die beiden Zeilen der Determinante umdrehen. Also e1, e2, e3,die Zeile der Einheitsvektoren bleibt genau gleich und wir haben hier aber dann p zuerst, nämlich eins null zwei und dann erst r nämlich x, y und z. Und damit ergibt sich hier genau das Negative. Wer nämlich sich ein bisschen mit den Determinantenregeln auskennt, wird wissen, dass wenn wir zwei Zeilen miteinander vertauschen, in einer Determinante, sich genau das Vorzeichen umdreht. Schauen wir uns das konkret hier an und prüfen es nach. Wir haben nämlich e1 mal 0 mal z. Also der positive Eintrag 0. Negativer Eintrag y mal 2, also minus 2y. Genau das gleiche für die anderen Beiträge, e2: 2 mal x positiv und in die negative Richtung z mal eins e2, also minus z. Und für die 3 Komponente e3 mal 1 y, also plus y. Und x mal 0 e3 in die negative Richtung. Das ist also unser Kreuzprodukt p kreuz r. Wenn wir es vergleichen mit oben, sehen wir, wir haben genau das negative: r kreuz p ist gleich minus p kreuz r. Das bedeutet es, dass das Kreuzprodukt nicht kommunikativ ist. In unserem einfachen Fall hier haben wir es also einfach mit einem verdrehen des Vorzeichens zu tun. Wenn wir die Kreuzprodukt Beiträge entsprechend umdrehen. Als alternative Berechnungsmöglichkeit möchte ich gerne noch die Berechnungsmöglichkeit mit dem Zeilenvektor herzeigen. Exemplarisch für unser erstes Kreuzprodukt r kreuz p. Mit den Einheitsvektoren. Wenn wir das nämlich so anschreiben, dann haben wir für r kreuz p nichts anderes als den Vektor r als Zeilenvektor angeschrieben mit e1,e2, e3 und p genau das gleiche. Wir haben hier also x e1 plus y e2 plus z e3 Kreuzprodukt 1 e1 aus dem p Vektor, die 1 Komponente. Es gibt keine 2 Komponente im p-Vektor. Die ersparen wir uns in dieser Schreibweise also. Und 2 e3. Davon das Kreuzprodukt ausgeführt. Jetzt entweder mit dem Epsilon Tensor, wie ich das öfter in Beispielen vorführe, oder mit unserer grafischen Darstellung e1, e2, e3. Wir wissen hier in die Richtung des Uhrzeigersinn haben wir positive Kreuzprodukte und entgegen dem Uhrzeigersinn entsprechend negative Kreuzprodukte. Noch einmal zur Erinnerung: Es entsteht immer der Vektor, zu dem der Pfeil hin zeigt. Also e1 kreuz e2 wird plus e3. Wer das nochmal genauer erklärt haben möchte, bitte einfach das Video zur Vektortheorie ansehen. Wenn wir das Ganze also durchführen, dann sehen wir uns an e1 kreuz e1 wird natürlich 0 – verschwindet. e1 kreuz e3 hier 1 – 3 wird minus 2. Minus e2. Und e2 kreuz e1 auch hier noch einmal geschaut. e2 kreuz e1 ist minus e3. e2 kreuz e3, 2 – 3 wird jetzt + e1. Und so geht das Ganze weiter. Einfach durchführen. Auch noch für das e3: e3 kreuz e1 muss dann +e2 sein und e3 kreuz e3 verschwindet natürlich. Das heißt, wir haben im Endeffekt einen Vektor minus 2 xe2 aus dem Kreuz e1 mit e3. Die Faktoren 2 und x einfach vorne rausgezogen und für die Einheitsvektoren das Kreuzprodukt ausgeführt. Und den Einheitsvektor hingeschrieben mit dem richtigen Vorzeichen der aus diesem Kreuzprodukt entsteht. Und genau das gleiche für die anderen Kreuzprodukte, nämlich der Reihenfolge nach dann minus y e3 +2y e1plus z e2. Und dann können wir das ganze noch entsprechend richtig anordnen nach Einheitsvektoren eins zwei drei und landen bei 2y e1 plus die beiden e2 Einträge zusammengefasst z minus 2 x e2 und minus y e3. Und verglichen mit oben, gerne auch als Spaltenvektor noch einmal hingeschrieben, haben wir genau das Ergebnis von hier oben produziert. Somit lässt sich natürlich das Kreuzprodukt, wie wir schon besprochen haben, auf viele verschiedene Wege berechnen. Am besten ist es, man sucht sich einfach den Weg aus, der einem selbst am besten liegt und der für die eigene Rechenweise am besten geeignet ist. Wenn es dazu Fragen gibt, bitte wie immer gerne in den Kommentaren die Fragen stellen. Ich beantworte alle Fragen wie gehabt gerne und erkläre auch Dinge gerne mehrfach. Wenn ihr zu dieser Thematik noch andere Videos haben möchtet oder Ideen habt für Beispiele, die ich hier behandeln soll, dann schickt mir die Beispiele bitte gerne zu. Die E-Mail-Adresse findet ihr in den Kanalinfos bzw. auf meiner Webseite technischemechanik.com und wir behandeln dann diese Beispiele in einem weiteren Video. Wie gesagt, wenn euch die Inhalte gefallen, dann freue ich mich sehr über ein Abo des Kanals. Das hilft mir enorm weiter die Inhalte auch einem breiteren Publikum zur Verfügung zu stellen. Und bitte gebt auch gerne die Infos weiter, dass es diesen Kanal gibt, damit auch andere davon profitieren können. Vielen Dank! Wir sehen uns dann also beim nächsten Beitrag.

Bis dahin alles Gute,
Markus

Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns das erste konkrete Beispiel zur Vektorrechnung an. Wir besprechen hier wie wir ein Dreieck mittels Vektoren beschreiben und die Hypotenuse aus den beiden Katheten berechnen können. Damit wenden wir erstmals die zuletzt besprochenen Regeln der Vektorrechnung auf ein konkretes Beispiel an. Zum Schluss begegnet uns sogar eine altbekannte Regel für spezielle Dreiecke – nämlich der Satz von Pythagoras.

Wir haben in den letzten Wochen darüber gesprochen, dass wir in der technischen Mechanik die Vektorrechnung sehr dringend benötigen. Heute wollen wir uns das erste konkrete Beispiel zur Vektorrechnung ansehen.

Als erstes Beispiel zur Vektorrechnung, wollen wir uns ein allgemeines Dreieck ansehen, so wie es hier aufgezeichnet ist. Das Dreieck ist gegeben durch die Vektoren A, B und C. Zwischen A und B haben wir einen Winkel Alpha.
Die erste Frage ist nun, wie berechnet sich die Seite C als Funktion der anderen beiden Seiten A und B?
Zweite Frage: Wie sieht der allgemeine Zusammenhang aus zwischen den Betragsquadraten all dieser Vektoren?
Und die dritte Frage: der spezielle Zusammenhang zwischen den Betragsquadraten, für den Fall, dass dieser Winkel Alpha hier Pi halbe ist.

Erste Frage
Schauen wir uns das Ganze also konkret an. Wir wissen, wir können einen Vektor C, der hier an der Basis von B beginnt und bis an die Spitze von A reicht, einfach als Vektoraddition dieser beiden Vektoren B und A aufschreiben.
Das ist auch schon die Antwort auf die Frage A, nämlich die Seite C Vektor als Funktion von A und B ist nichts anderes als die Summe der beiden Vektoren A und B.
Erste Frage beantwortet.

Zweite Frage
Wie sieht der Zusammenhang für die Betragsquadrate aus? Hier können wir uns zunutze machen, dass wir ja bereits den Zusammenhang kennen und hier einfach auf beiden Seiten das gleiche durchführen dürfen. Es handelt sich ja auch um eine Gleichung. Nämlich Betrag von C Quadrat auf der linken Seite das Betragsquadrat einführen.
Und genau das gleiche auf der rechten Seite.

Hier allerdings bitte aufpassen. Wir müssen natürlich das Ganze wie eine Klammer behandeln und Betrag von A plus B und davon das Quadrat ausführen.
Das heißt, wir wissen aus unserer theoretischen Behandlung der Vektoren, dass das Quadrat eines Vektors gleichbedeutend ist mit dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.
Nachdem wir jetzt hier eine Summe von Vektoren haben, können wir also das Skalarprodukt A plus B skalar mit noch einmal A plus B anschreiben.
Genau analog zum Quadrieren einer Klammer aus zwei Zahlen, wo wir auch Klammer mal Klammer rechnen dürfen. Jetzt müssen wir diese Skalarprodukt ausmultiplizieren.
Und das funktioniert auch hier mit der Klammerregel: erster Term mal erster Term, erster Termin mal zweiter, zweiter mal erster zweiter mal zweiter.
All diese Produkte müssen wir einfach anschreiben.
Das heißt, wir landen bei einem A skalar in A. Erster mit dem ersten Term. Plus A skalar in B. Erster mit dem zweiten Term. Plus B skalar in A, zweiter mit dem ersten und B skalar in B, zweiter mit dem zweiten Term.
Dann können wir das Ganze wieder entsprechend zusammenfassen. Wir haben ja hier A skalar in A und wissen, das ist A Betragsquadrat.
Wir haben hinten B skalar in B ist B Betragsquadrat. Und wir haben so etwas wie einen Mischterm, wo wir aber wissen beim Skalarprodukt gilt Kommutativität. Das heißt, wir können A mal B gleichsetzen mit B mal A bzw. hier B mal A umdrehen auf A mal B und haben dann diesen Mischterm einfach zwei Mal.
Das heißt, wir erhalten A Betragsquadrat plus B Vektor Betragsquadrat, plus zweimal Skalarprodukt A in B.

Und das ist genau das, was auch aus der Quadrierung einer Klammer aus zwei Termen bekannt sein sollte. Klammer klein a plus klein b als einfache Variablen keine Vektoren, sondern Skalare quadriert gibt ja genau das gleiche: a Quadrat plus b Quadrat plus zwei a mal b, und auch das erhalten wir hier für Vektoren.
Zweite Frage beantwortet. Das ist der allgemeine Zusammenhang zwischen den Betragsquadraten der Vektoren.

Dritte Frage
Führt auf einen auch sehr bekannten Spezialfall hinaus. Nämlich was passiert, wenn dieser Winkel Alpha hier zwischen den beiden Vektoren A und B Pi halbe ist. Ist gleich Alpha 90 Grad übersetzt in die Grad-Schreibweise.
Hier ist es ja so, dass der Vektor A dann normal auf B steht.
Wenn das hier ein rechter Winkel ist, und damit gilt, wenn wir uns zurückerinnern an das Skalarprodukt aus zwei Vektoren, die normal aufeinander stehen, dass dieses Skalarprodukt verschwinden muss, dass A skalar in B für diesen Fall also den Nullvektor ergibt.
Und damit können wir aus dem allgemeinen Zusammenhang b) oben feststellen, dass A plus B Vektor Quadrat, gleich erster Term A Quadrat plus B Quadrat plus zweimal Nullvektor – also dieser Mischterm hier verschwindet.
Und damit haben wir A Vektor Quadrat plus B Vektor Quadrat.
Und das ist vielleicht bekannt. Das ist nämlich der berühmte Satz von Pythagoras. Auch diesen können wir natürlich vektoriell hinschreiben.

Und damit haben wir uns hier ein erstes Mal überlegt, wie wir die Rechenregeln, die wir in der Theorie schon besprochen haben, auf konkrete Beispiele anwenden können.

Wenn es dazu Fragen gibt, dann stell die Frage bitte gerne in den Kommentaren. Ich schau mir wie immer alles durch und beantworte alles.
Und ich freue mich, wenn du beim nächsten Mal wieder dabei bist.

Bis dann,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wie letzte Woche angekündigt, besprechen wir diesmal wichtige Rechenregeln für Vektoren. Insbesondere geht es um das Strecken und Stauchen sowie Addieren und Subtrahieren von Vektoren. Welche Möglichkeiten es bei der Multiplikation von Vektoren gibt, nämlich Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt und was eigentlich ein Ortsvektor ist sehen wir uns auch an.

Das Transkript für diesen Beitrag werde ich schnellstmöglich nachreichen – aufgrund der Weihnachtszeit bin ich hier ein wenig in Verzug. Bitte um Nachsicht dafür. In der Zwischenzeit kannst du ja das Video anschauen. Darin ist wie immer alles enthalten.

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Ich hoffe, wir sehen uns beim nächsten Beitrag und wünsche auf diesem Wege schon einmal einen guten Start in das Jahr 2022.

Bis bald,
Markus