In diesem Lagrange-Beispiel geht es um ein mathematisches Pendel, das an einem horizontal frei beweglichen Aufhängepunkt befestigt ist. Außerdem kann sich die Fadenlänge des Pendels über eine Feder ändern.
Ein mathematisches Pendel mit einer eingearbeiteten Feder ist so befestigt, dass sich sein Aufhängepunkt frei in x-Richtung bewegen kann. Die Feder ist bei r = r0 vollkommen entspannt und ihre Federkonstante sei k.
Bestimme *die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. *die Lagrange-Funktion des Systems. *alle Bewegungsgleichungen des gegebenen Federpendels.
Der erste Schritt in beinahe jedem Lagrange-Beispiel ist das Aufstellen der relevanten Koordinaten, hier für die Punktmasse. Wichtig ist zu beachten, dass nicht nur ξ und φ zeitabhängig sind, sondern auch die Pendellänge r aufgrund der Feder. Um das bei unseren Ableitungen nicht zu vergessen bietet es sich an explizit r(t) zu schreiben. Abgesehen davon gibt es eigentlich keine Stolpersteine und wir können durch zeitliches Ableiten wieder die Geschwindigkeiten für die Punktmasse bestimmen. Dann geht es auch schon an die Berechnung von kinetischer und potentieller Energie und schließlich der Lagrangefunktion. Da wir hier drei Freiheitsgrade in Form der generalisierten Koordinaten ξ, φ und r vorliegen haben, erhalten wir durch anwenden der Euler-Lagrange Gleichungen natürlich auch drei Bewegungsgleichungen, nämlich eine in jeder dieser generalisierten Koordinaten. Wichtig ist hier wieder, dass diese Bewegungsgleichungen gekoppelt sein müssen. Andernfalls haben wir bei der Berechnung einen Fehler gemacht und müssten noch einmal nachprüfen. Für eine detaillierte Schritt-für-Schritt Rechnung seht euch bitte wieder das verlinkte Video an und stellt gerne jederzeit Fragen dazu.
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Wir wollen uns in diesem Beitrag ein relativ komplexes Beispiel aus der Dynamik ansehen und dieses Mittels der Methode von Lagrange lösen.
Ein homogener Hohlzylinder (Masse M, Radius R) sei im Schwerefeld g=−g*ez um eine horizontale Achse durch den Mittelpunkt P drehbar gelagert. In diesem Hohlzylinder rollt ein homogener Vollzylinder (Masse m, Radius r) ohne zu gleiten. Die beiden Zylinderachsen seien parallel.
Zusätzliche Angaben: O und P raumfeste Punkte, A,B,C und S körperfest auf den Zylindern, sodass im Gleichgewicht C auf O, B auf O und S auf PO liegen, ψ: Auslenkung des Hohlzylinders aus der Gleichgewichtslage, χ: Auslenkung des Vollzylinders aus der Gleichgewichtslage, φ: Winkellage des Schwerpunktes des Vollzylinders
Formulieren Sie die Zwangsbedingungen und legen Sie die generalisierten Koordinaten fest. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion. Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Bestimmen Sie die Eigenfrequenz im Fall kleiner Auslenkungen.
Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin
Die Angabe kann wie gewohnt hier heruntergeladen werden.
Die Schwierigkeit in diesem Beispiel liegt vor allem im Aufstellen der Zwangsbedingung (Abrollbedingung), sowie in der Tatsache, dass eine Auslenkung des Vollzylinder-Schwerpunkts bereits auch ein Rollen des Vollzylinders bedingt. Andernfalls würde der Zylinder ja rutschen müssen. Diese Tatsache muss beim Aufstellen der kinetischen Energie besonders berücksichtigt werden. Wir nehmen uns daher im Video genug Zeit das zu tun. Wenn allerdings diese Hürde einmal genommen ist, handelt es sich um ein standardmäßiges Lagrange-Beispiel. Wir erhalten wie gewohnt die Bewegungsgleichungen aus der Lagrangefunktion durch Anwendung der Euler-Lagrange Gleichungen und können diese anschließend linearisieren. Aus der linearisierten Form erhalten wir schließlich auch die gesuchte Eigenkreisfrequenz. Für die Details schau dir bitte wieder das Video an und versuche die einzelnen Schritte möglichst gut nachzuvollziehen. Wenn Fragen auftauchen melde dich bitte sehr gerne in den Kommentaren bei mir. Dafür stelle ich dieses Angebot schließlich zur Verfügung.
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Hier ist das erste Beispiel zum Arbeits- bzw. Energiesatz. Es lautet folgendermaßen:
Gegeben ist ein schwingungsfähiges System, bestehend aus zwei gleichen Scheiben (Masse m, Massenträgheitsmoment IS um die Drehachse durch den Schwerpunkt, Radius r). Es tritt kein Gleiten zwischen den Scheiben und dem idealen, undehnbaren Seil auf, Lagerungen reibungsfrei. Eine lineare Feder mit Federkonstante k, eine Drehfeder mit Federkonstante cT.
Ges.: *die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe des Energiesatzes. *die Schwingungsdauer des Systems.
In diesem Beispiel sollten wir uns zuerst Gedanken über die Kinematik machen. Dadurch verknüpfen wir die Bewegungskoordinate x mit den Rotationen der Rollen und damit auch dem Weg der Drehfeder oben. Außerdem hilft uns eine Betrachtung des Momentanpols der unteren Rolle. Danach lassen sich die kinetische und potentielle Energie sehr einfach hinschreiben. Die Idee des Energiesatzes ist es dann, dass die Energie erhalten bleibt und damit deren zeitliche Ableitung verschwinden muss. Aus diesem Zusammenhang lässt sich die Bewegungsgleichung des Systems bestimmen. Diese ist schon in der Normalform, weshalb wir dann auch die Periodendauer einfach ablesen können. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!
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Wir sehen uns diesmal ein System aus Klotz, Kreisscheibe und Pendel an. Das Pendel ist zudem an seinem Aufhängepunkt mit einer Drehfeder beaufschlagt.
Auf eine in O drehbar gelagerte Kreisscheibe (Radius L, Masse m) ist ein Faden gewickelt, der im Punkt B mit einer Masse m verbunden ist. In A ist eine Stange (Länge 2L, Masse m) über eine Drehfeder (Federkonstante k, in der Lage φ=0, ψ=0 entspannt) mit der Kreisscheibe gelenkig verbunden.
Ges.: *Lagrange-Funktion des Systems. *Bewegungsgleichungen in den Koordinaten φ und ψ.
Quelle: Aufgabe 4 (S. 242) aus S. Kessel, Technische Mechanik – Aufgabensammlung mit Musterlösungen, 2000, Dortmund
Wie üblich stellen wir zuerst die relevanten Schwerpunktskoordinaten als Funktion unserer generalisierten Koordinaten auf. Daraus lassen sich dann die Geschwindigkeiten durch einfache Zeitableitung bestimmen. Über kinetische und potentielle Energie wird im Anschluss die Lagrangefunktion des Systems ermittelt. Schließlich nutzen wir zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen die Euler-Lagrange Gleichung und erhalten zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen in den generalisierten Koordinaten. Als wichtigen Punkt diskutieren wir am Ende des Beispiels noch die Bedeutung der Kopplung für die Dynamik des Systems. Ausführlich und mit beliebigen Zwischenstopps lässt sich das alles wieder im verlinkten Video nachvollziehen.
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Das letzte Beispiel zur Kreiseldynamik ist schon eine ganze Weile her, deshalb wollen wir uns heute wieder einmal ein solches ansehen.
Ein zylindrischer, homogener Stab (kein dünner Stab) ist in einer rotierenden Gabel reibungsfrei drehbar gelagert und über eine Drehfeder mit dieser verbunden.
Geg.: homogener Stab: Länge l, Durchmesser 2r, Masse m lineare Drehfeder: Drehfederkonstante cT, vollkommen entspannt bei ϕ=0 Gabel: Winkelgeschwindigkeit Ω, die durch ein entsprechendes Antriebsmoment MA konstant gehalten wird.
Ges.: *Wie groß darf Ω höchstens sein, damit der Stab für kleine Winkel ϕ eine Schwingung ausführt? *Welchen Wert muss das Antriebsmoment MA(ϕ) bei reibungsfreier Lagerung der Gabel annehmen. Anfangsbedingung: ϕ=0, ϕ˙=ν
Hinweis: Verwenden Sie die Euler’schen Kreiselgleichungen.
Quelle: Aufgabe 4.4.4 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien
Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt ihr hier:
Wie immer ist es wichtig sich anhand einer Skizze, d.h. eines Freikörperbilds bewusst zu machen, welche Kräfte und Momente sowie Geschwindigkeiten und Beschleunigungen im System wirken. Dann können wir hier auch schon die Euler’schen Kreiselgleichungen anschreiben, deren einzelne Terme bestimmen und in die allgemeine Form der Gleichungen einsetzen. Dadurch gelangen wir zu einem Gleichungssystem aus dem wir eine Bewegungsgleichung erhalten. Am Ende müssen wir uns noch darüber Gedanken machen, wann es sich bei dieser Bewegungsgleichung um eine Schwingungsgleichung handelt. All das besprechen wir wieder in voller Schönheit im verlinkten Video.
Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.
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Heute geht es in der Lagrange-Mechanik einmal nicht um eine Pendelschwingung, sondern um das Schwingen eines Halbzylinders auf einer festen Unterlage.
Ein Halbzylinder (Masse m, Radius r) wird aus seiner Ruhelage ausgelenkt. Der Schwerpunkt S liegt in einem Abstand von 4r/3π vom Mittelpunkt des Halbkreises entfernt.
Ges.: *die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe der Lagrange Gleichungen. *die linearisierten Bewegungsgleichung und die Schwingungsdauer des Systems.
Die Angabe könnt ihr wie immer hier herunterladen.
In diesem Beispiel sollten wir uns beim Aufstellen der generalisierten Koordinaten ein wenig mehr Zeit nehmen als üblich. Es gibt nämlich eine Kleinigkeit die schnell zu übersehen ist, aber eine fatale Auswirkung auf das Ergebnis hätte. Sind die generalisierten Koordinaten einmal korrekt aufgestellt, kann nicht mehr viel passieren. Wir leiten dann daraus die generalisierten Geschwindigkeiten ab, berechnen kinetische und potentielle Energie und erhalten die Lagrangefunktion. Damit wiederum können wir unsere Bewegungsgleichung berechnen. Am Ende linearisieren wir die Bewegungsgleichung und ermitteln Eigenkreisfrequenz und Periodendauer. Die Details dazu könnt ihr euch im verlinkten Video ansehen.
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald, Markus
Diesmal geht es um ein System aus einem Block und einem mathematischen Pendel. Das Pendel schwingt um den Schwerpunkt des Blocks, während der Block eine schiefe Ebene entlang gleitet.
Ein Block der Masse M gleite reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α gegen die Horizontale. An seinem Schwerpunkt sei die Masse m über einen masselosen Faden der Länge l befestigt.
Ges.: *Wie lautet die Lagrange-Funktion des Systems sowie dessen Bewegungsgleichungen bzgl. s und φ? *Errechnen Sie eine geschlossene Differentialgleichung für φ(t). *Geben Sie die Eigenfrequenz ω der Schwingung für M sehr viel größer als m und kleine Winkelausschläge (φ ~ α) an und zeigen Sie, dass φ(t)=α+φsin(ωt+δ) eine gültige Lösung darstellt.
Hinweis: Zur Vereinfachung der Ergebnisse benötigen Sie die Additionstheoreme cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin
Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen.
Wir stellen zuallererst wieder die relevanten Koordinaten von Block und Pendelmasse auf und drücken sie als Funktion der generalisierten Koordinate (s und Pendelwinkel) aus. Daraus lassen sich die Geschwindigkeiten bestimmen und anschließend beide Anteile zur Energie, kinetische und potentielle Energie, ermitteln. Dann lassen sich aus der Lagrangefunktion die Bewegungsgleichungen ableiten und eine geschlossene Differentialgleichung für den Pendelwinkel anschreiben. Schließlich können wir die geforderte Linearisierung durchführen. Wie immer gibt es die ausführliche Erklärung im verlinkten Video.
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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald, Markus
Wir sehen uns heute ein Beispiel aus der Dynamik an, welches mit der Methode von Lagrange berechnet werden soll. Dabei besprechen wir auch, wie Federn in diesem Zusammenhang zu behandeln sind.
Zwei drehbar gelagerte Stangen (Länge l=0.8 m, Masse m2=5 kg) sind an einem Block (Masse m1=12 kg) gelenkig angeschlossen. Am Ende jeder Stange ist eine Torsionsfeder (Federsteifigkeit K=500 Nm) befestigt. Das System ist in der gezeichneten Lage im Gleichgewicht.
Ges.: *die Lagrange Funktion, *die Bewegungsgleichung mittels der Methode von Lagrange, *die Eigenfrequenz f und die Periodendauer T für kleine Auslenkungen um die Gleichgewichtslage.
Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen.
Wir stellen zuallererst die relevanten Koordinaten auf und drücken sie als Funktion der generalisierten Koordinate (Stangenwinkel) aus. Daraus lassen sich die Geschwindigkeiten bestimmen und anschließend beide Anteile zur Energie, kinetische und potentielle Energie, ermitteln. Die Energien der Federn müssen als Anteil der potentiellen Energie mit berücksichtigt werden. Dann lässt sich aus der Lagrangefunktion die Bewegungsgleichung ableiten und Eigenfrequenz und Periodendauer für den linearisierten Fall bestimmen. Wie immer gibt es die ausführliche Erklärung im verlinkten Video.
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald, Markus
Diesmal gibt es ein etwas komplexeres Beispiel aus der Dynamik mit drei Freiheitsgraden. Es handelt sich um folgendes System:
Ein masseloser, undehnbarer Faden der Länge L ist an jedem Ende mit einem Massenpunkt der Masse m verbunden. Der Faden wird reibungsfrei durch zwei Ringe A und B im Abstand b geführt.
Bestimme *die Zwangsbedingung, sowie die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. *die Lagrange-Funktion des Systems. *die Bewegungsgleichungen des Systems.
Quelle: Lagrangesche Bewegungsgleichungen Aufgabe 1 (S. 236) aus S. Kessel, Technische Mechanik Aufgabensammlung mit Musterlösungen, 2000, Dortmund
Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen.
Wie immer in der Lagrange-Mechanik müssen wir uns zuallererst Gedanken über die relevanten Koordinaten machen. Dies sind die Koordinaten der Massenschwerpunkte. Hier stellt sich dann heraus, dass sich vier beschreibende Größen ergeben, nämlich die beiden Seilwinkel, sowie die Längen der Seilstücke vom Aufhängepunkt zur jeweiligen Masse. Nachdem das Seil aber als ideal angenommen wird und damit eine konstante Länge besitzt, kann eine der Länge mittels Zwangsbedingung ersetzt werden. Damit landen wir bei drei Freiheitsgraden. Sobald das geklärt ist, können die Geschwindigkeiten abgeleitet und die Energien für das System aufgestellt werden. Danach erhalten wir aus den Euler-Lagrange-Gleichungen drei gekoppelte Bewegungsgleichungen und besprechen wie diese gelöst werden könnten. All das zeige ich wie üblich im unten verlinkten YouTube Video vor. Viel Spaß mit dem Beispiel!
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald, Markus
In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.
Einleitung Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.
Beispielerklärung Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.
Berechnung des Integrals Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.
Zusammenfassung Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.
