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Diesmal geht es um ein System aus einem Block und einem mathematischen Pendel. Das Pendel schwingt um den Schwerpunkt des Blocks, während der Block eine schiefe Ebene entlang gleitet.
Ein Block der Masse M gleite reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α gegen die Horizontale. An seinem Schwerpunkt sei die Masse m über einen masselosen Faden der Länge l befestigt.
Ges.:
*Wie lautet die Lagrange-Funktion des Systems sowie dessen Bewegungsgleichungen bzgl. s und φ?
*Errechnen Sie eine geschlossene Differentialgleichung für φ(t).
*Geben Sie die Eigenfrequenz ω der Schwingung für M sehr viel größer als m und kleine Winkelausschläge (φ ~ α) an und zeigen Sie, dass φ(t)=α+φsin(ωt+δ) eine gültige Lösung darstellt.Hinweis: Zur Vereinfachung der Ergebnisse benötigen Sie die Additionstheoreme cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen.
Wir stellen zuallererst wieder die relevanten Koordinaten von Block und Pendelmasse auf und drücken sie als Funktion der generalisierten Koordinate (s und Pendelwinkel) aus. Daraus lassen sich die Geschwindigkeiten bestimmen und anschließend beide Anteile zur Energie, kinetische und potentielle Energie, ermitteln. Dann lassen sich aus der Lagrangefunktion die Bewegungsgleichungen ableiten und eine geschlossene Differentialgleichung für den Pendelwinkel anschreiben. Schließlich können wir die geforderte Linearisierung durchführen. Wie immer gibt es die ausführliche Erklärung im verlinkten Video.
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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald,
Markus
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