Herzlich Willkommen!

Diesmal habe ich eine Variation eines schon gerechneten Lagrange-Beispiels für euch, nämlich ein physikalisches Einfachpendel an einer vertikalen Feder.

Ein homogenes Stabpendel der Masse M und der Länge 2L ist an seinem Drehpunkt vertikal federnd aufgehängt. Die Federkonstante beträgt c. Die Erdbeschleunigung wirkt vertikal nach unten und das System bewegt sich nur in der Blattebene.

Bestimme für dieses System:
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V sowie die Lagrange Funktion,
*die Bewegungsgleichungen,
*die linearisierte Form der Bewegungsgleichungen,
*die Bedingung für die Übereinstimmung der Eigenfrequenzen von Translations- und Rotationsschwingung.

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.

Lagrange-L19Herunterladen

Wir benötigen zu Beginn wieder die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System um die Energien aufstellen zu können. Die Koordinaten des Aufhängepunktes sind, wie auch im Beispiel zum federnd aufgehängten Doppelpendel, nicht notwendig, obwohl sich dieser natürlich bewegt. Allerdings hat auch hier die Feder in dieser Idealisierung keine Masse und damit auch keine Energie und trägt damit auch nichts zur Lagrangefunktion bei. Damit können wir bereits kinetische und potentielle Energie des Systems, sowie die Lagrangefunktion hinschreiben. Über die wohlbekannten Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen. Eine für den Pendelwinkel und eine für die Federauslenkung. Am Ende sehen wir uns noch die linearisierte Form der Bewegungsgleichungen an und stellen fest, dass es auch dort Kopplungen gibt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

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