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Heute sehen wir uns ein konkretes Beispiel an, wie wir einerseits mit Stäben und Stabkräften umgehen und andererseits eine dreiecksförmige Streckenlast in unsere Rechnung mit einbeziehen. Die Angabe für dieses Problem lautet kurz und knackig folgendermaßen:

Ein Balken unter Dreiecksbelastung wird von drei Stäben gestützt. Wie groß sind die Stabkräfte?

Quelle: Aufgabe I.4.1 (S. 20f.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg

Das Freikörperbild ist auch hier unser zentraler Zugang zur Lösung des Problems. Wir ersetzen dabei, wie in der Theorie besprochen, die dreiecksförmige Streckenlast gegen eine äquivalente Einzellast. Dann müssen wir uns noch Gedanken zu den Stabkräften machen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass idealisierte Stäbe nur Kräfte in Längsrichtung (Zug & Druck), aber keine Kräfte quer zum Stab aufnehmen können. Schließlich bestimmen wir noch über die Geometrie den Winkel der beiden Stäbe 1 und 3. Mit diesen Zutaten lassen sich die Gleichgewichtsbedingungen problemlos aufstellen und das System aus 3 Gleichungen anschließend lösen. Im Detail besprechen wir den Lösungsweg wieder im verlinkten Video.

Wenn Fragen oder Unklarheiten auftauchen, freue ich mich jederzeit auf eure Kommentare – entweder hier oder direkt auf YouTube.

Bis bald,
Markus

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Ein erstes kleines Auslegungsbeispiel nehmen wir uns diesmal vor. Es handelt sich um ein Tragwerk, welches im Lager A maximal mit einer vorgegebenen Kraft belastet werden darf. Die Frage dabei ist, welche Kraft P darf dann am freien Ende des Tragwerks maximal angreifen.

Bestimme die maximale Kraft P, die auf das Tragwerk aufgebracht werden darf, sodass die Resultierende in A maximal Fmax beträgt.

Geg.: Fmax=2kN, l=0.75m, h=0.5m, r=0.1m

Quelle: Aufgabe 6.74 (S. 351) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Wie immer beginnen wir mit einem Freikörperbild, wobei wir hier das Seil nur am horizontalen Stück (links der Rolle) schneiden dürfen. Das macht die Rechnung etwas einfacher. Danach stellen wir Kräfte- und Momentengleichgewicht auf und lösen das entstehende Gleichungssystem. Nachdem in A ein Betrag als Maximalwert vorgegeben ist, wir aber je eine Kraft vertikal und horizontal erhalten, müssen wir noch mittels Pythagoras einen Betrag ermitteln. Schließlich lässt sich eine Gleichung für den maximalen Wert von P finden. Die genaue Rechnung, wie immer gespickt mit einigen Hinweisen und zusätzlichen Erklärungen findet ihr im verlinkten Video. Viel Spaß!

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Markus

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Wir sehen uns heute an was eigentlich ein Gerberträger ist und wie wir dessen Lagerreaktionen bestimmen können.

Der zusammengesetzte Balken ist in C gelenkig gelagert und wird in A und B jeweils von einem Rollenlager gehalten. In D ist ein Scharniergelenk angebracht. Bestimme die Lagerkräfte unter Vernachlässigung der Dicke des Balkens.

Geg.: F1=4kN, F2=8kN, F3=12kN, M=15kNm, l=2m, α=30°, tanβ=4/3

Quelle: Aufgabe 6.73 (S. 351) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Beim Gerberträger kommt es darauf an, dass wir ein im Grunde statisch unbestimmtes System durch zerlegen im Gerbergelenk zu einem statisch bestimmten System machen können. Wir erhalten dadurch im vorliegenden Beispiel zwei Teilsysteme. Für beide Teilsysteme können wir unsere Gleichgewichtsbedingungen (Momenten-, und Kräftegleichgewicht) separat anschreiben und erhalten damit sechs Gleichungen für insgesamt sechs Unbekannte (vier Lagerreaktionen und zwei Gelenkskräfte). Damit lässt sich das System schlussendlich vollständig berechnen. Wichtig hierbei ist, dass die Gelenkskräfte innere Kräfte sind und sich beim Zusammensetzen des Trägers wieder aufheben müssen. Daher müssen Sie an den beiden Teilsystemen in jeweils entgegengesetzte Richtung zeigen. Alle Details zur Rechnung und viele weitere Anmerkungen erfahrt ihr wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

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Markus

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Hast du dich auch schon einmal gefragt wozu wir Vektoren in der Mechanik brauchen? Wieso schreiben wir Kräfte als Vektoren an, wenn wir doch auch Komponentenweise arbeiten können? Ist es dann überhaupt sinnvoll mit Vektoren zu arbeiten? Diese und weitere Fragen werde ich in diesem Beispiel versuchen zu beantworten.

Es geht um folgendes dreidimensionales Statikproblem:

Ein Mast wird von zwei Seilen BC und BD gehalten. Am Punkt B greifen die Kräfte F1 und F2 an. Bestimme unter der Voraussetzung, dass der Mast von einem Kugelgelenk am Fuß gehalten wird, die Komponenten der Lagerkraft in A. Die Kräfte F1 und F2 liegen in einer horizontalen Ebene.

Geg.: F1=140kN, F2=75kN, a=10m, b=5m, c=15m, α=30°

Quelle: Aufgabe 5.89 (S. 296) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Wie fast immer, beginnen wir auch hier mit einem Freikörperbild um einen Überblick über die am Mast angreifenden Kräfte zu bekommen. Dann schreiben wir die Koordinaten der Punkte B, C und D an und können damit sehr einfach die Ortsvektoren und mit deren Betrag auch die Einheitsvektoren entlang der Seile aufstellen. In einem abschließenden Schritt können dann alle Kraftvektoren angeschrieben werden.
Da wir uns in der Statik befinden, müssen natürlich die Kraft- und Momentensummen verschwinden. Das gilt selbstverständlich auch für die vektoriellen Summen. Hier muss sich der Nullvektor ergeben. Wir können also alle drei Kraftrichtungen in eine vektorielle Bilanz zusammenfassen. Analoges gilt für die Momentenbilanz. Die einzelnen Momente berechnen wir dann natürlich mit dem Kreuzprodukt zwischen Abstandsvektoren und Kraftvektoren. Damit bekommen wir am Ende ein System aus fünf unabhängigen Gleichungen, welches wir auflösen und die fünf Unbekannten bestimmen können. Wir finden außerdem heraus, dass es sich beim Mast um einen sogenannten Zweikraftstab handelt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß beim Nachvollziehen der einzelnen Schritte.

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Bis bald,
Markus