Herzlich Willkommen!

Ein sehr interessantes – und oft in der analytischen Mechanik anzutreffendes – Beispiel ist jenes, das wir uns in diesem Beitrag genauer ansehen wollen.

Ein Seil der Länge l wird senkrecht in die Luft geworfen. Es sei voll beweglich, sodass der Knick frei über das Seil laufen kann. Die Seilmasse pro Längeneinheit sei ρ. Die Krümmung der Knickstelle ist als vernachlässigbar anzusehen, d.h. die relevante Bewegung findet nur in x-Richtung statt.

Ges.:
*Finde geeignete generalisierte Koordinaten und stelle die Lagrangefunktion des Systems auf.
*Leite die Bewegungsgleichungen der generalisierten Koordinaten her.
*Wie verhält sich die Geschwindigkeit der Knickstelle, wenn diese das Seilende erreicht?

Die Angabe gibt es wie üblich als Download, damit du dir das Beispiel in Ruhe selbst ansehen kannst.

Auch hier braucht es zu Beginn einen Ansatz für die generalisierten Koordinaten bzw. die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilstücke des Seils. Dabei hilft uns wieder eine Zwangsbedingung, nämlich jene konstanter Seillänge. Dann erhalten wir aus den Koordinaten durch Zeitableitung wieder die Geschwindigkeiten der Seilschwerpunkte. Vorsicht ist hier beim Aufstellen der Energien geboten. Nachdem die Knickstelle des Seils ja wandern soll, muss auch die Masse der Teilstücke sich verändern. Wir haben es also erstmals mit einer zeitabhängigen Masse in der kinetischen Energie zu tun. Diese lässt sich allerdings mit der gegebenen Seilmasse pro Längeneinheit relativ einfach aufstellen. Ähnlich gehen wir bei der potentiellen Energie vor, sodass wir schließlich die Lagrangefunktion anschreiben können. Im nächsten Schritt bestimmen wir die Bewegungsgleichungen der Seilenden und können daraus schließlich eine geschlossene Differentialgleichung bauen. Dann wollen wir aber auch noch wissen, wie sich die Geschwindigkeit der Knickstelle verhält. Durch kluge Substitution finden wir eine sehr einfache Differentialgleichung die sich mit ein wenig Aufwand lösen lässt. Schließlich erhalten wir eine sehr einfach Gleichung für die Geschwindigkeit der Knickstelle. Daran ist abzulesen was passiert, wenn wir ein Seilende erreichen. Allerdings möchte ich das hier noch nicht verraten, sondern die Spannung ein wenig aufrecht erhalten. Um das Phänomen zu erfahren das wir hier mathematisch abgeleitet haben, musst du dir schon das Video ansehen. Viel Spaß damit!

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Viel Spaß mit diesem etwas aufwändigeren Beispiel und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

In diesem Lagrange-Beispiel geht es um ein mathematisches Pendel, das an einem horizontal frei beweglichen Aufhängepunkt befestigt ist. Außerdem kann sich die Fadenlänge des Pendels über eine Feder ändern.

Ein mathematisches Pendel mit einer eingearbeiteten Feder ist so befestigt, dass sich sein Aufhängepunkt frei in x-Richtung bewegen kann. Die Feder ist bei r = r0 vollkommen entspannt und ihre Federkonstante sei k.

Bestimme
*die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten.
*die Lagrange-Funktion des Systems.
*alle Bewegungsgleichungen des gegebenen Federpendels.

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.

Der erste Schritt in beinahe jedem Lagrange-Beispiel ist das Aufstellen der relevanten Koordinaten, hier für die Punktmasse. Wichtig ist zu beachten, dass nicht nur ξ und φ zeitabhängig sind, sondern auch die Pendellänge r aufgrund der Feder. Um das bei unseren Ableitungen nicht zu vergessen bietet es sich an explizit r(t) zu schreiben. Abgesehen davon gibt es eigentlich keine Stolpersteine und wir können durch zeitliches Ableiten wieder die Geschwindigkeiten für die Punktmasse bestimmen. Dann geht es auch schon an die Berechnung von kinetischer und potentieller Energie und schließlich der Lagrangefunktion. Da wir hier drei Freiheitsgrade in Form der generalisierten Koordinaten ξ, φ und r vorliegen haben, erhalten wir durch anwenden der Euler-Lagrange Gleichungen natürlich auch drei Bewegungsgleichungen, nämlich eine in jeder dieser generalisierten Koordinaten. Wichtig ist hier wieder, dass diese Bewegungsgleichungen gekoppelt sein müssen. Andernfalls haben wir bei der Berechnung einen Fehler gemacht und müssten noch einmal nachprüfen. Für eine detaillierte Schritt-für-Schritt Rechnung seht euch bitte wieder das verlinkte Video an und stellt gerne jederzeit Fragen dazu.

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Herzlich Willkommen!

Wir wollen uns in diesem Beitrag ein relativ komplexes Beispiel aus der Dynamik ansehen und dieses Mittels der Methode von Lagrange lösen.

Ein homogener Hohlzylinder (Masse M, Radius R) sei im Schwerefeld g=−g*ez um eine horizontale Achse durch den Mittelpunkt P drehbar gelagert. In diesem Hohlzylinder rollt ein homogener Vollzylinder (Masse m, Radius r) ohne zu gleiten. Die beiden Zylinderachsen seien parallel.

Zusätzliche Angaben:
O und P raumfeste Punkte, A,B,C und S körperfest auf den Zylindern, sodass im Gleichgewicht C auf O, B auf O und S auf PO liegen,
ψ: Auslenkung des Hohlzylinders aus der Gleichgewichtslage,
χ: Auslenkung des Vollzylinders aus der Gleichgewichtslage,
φ: Winkellage des Schwerpunktes des Vollzylinders

Formulieren Sie die Zwangsbedingungen und legen Sie die generalisierten Koordinaten fest. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion. Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Bestimmen Sie die Eigenfrequenz im Fall kleiner Auslenkungen.

Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin

Die Angabe kann wie gewohnt hier heruntergeladen werden.

Die Schwierigkeit in diesem Beispiel liegt vor allem im Aufstellen der Zwangsbedingung (Abrollbedingung), sowie in der Tatsache, dass eine Auslenkung des Vollzylinder-Schwerpunkts bereits auch ein Rollen des Vollzylinders bedingt. Andernfalls würde der Zylinder ja rutschen müssen. Diese Tatsache muss beim Aufstellen der kinetischen Energie besonders berücksichtigt werden. Wir nehmen uns daher im Video genug Zeit das zu tun. Wenn allerdings diese Hürde einmal genommen ist, handelt es sich um ein standardmäßiges Lagrange-Beispiel. Wir erhalten wie gewohnt die Bewegungsgleichungen aus der Lagrangefunktion durch Anwendung der Euler-Lagrange Gleichungen und können diese anschließend linearisieren. Aus der linearisierten Form erhalten wir schließlich auch die gesuchte Eigenkreisfrequenz. Für die Details schau dir bitte wieder das Video an und versuche die einzelnen Schritte möglichst gut nachzuvollziehen. Wenn Fragen auftauchen melde dich bitte sehr gerne in den Kommentaren bei mir. Dafür stelle ich dieses Angebot schließlich zur Verfügung.

Wenn dir das Beispiel und die Musterlösung gefallen haben, dann lass bitte unbedingt ein Like auf YouTube da und abonniere diesen Blog und den YouTube Kanal. Das ist meine größte Motivation auch weiterhin viel Arbeit in dieses Projekt zu stecken. Vielen Dank für deine Unterstützung!

Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus