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Relativkinetik: Person auf Platte & Rollen

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinetik an, welches ein wenig unüblich ist. Warum, das werden wir im Verlauf des Beispiels klären.

Ein Mann der Masse m1 bewegt sich lt. Skizze mit konstanter Relativbeschleunigung arel auf einem Brett der Masse m2. Das Brett liegt auf zwei Rollen mit jeweils Radius r, Masse m3 und Massenträgheitsmoment J. Die Walzen stützen sich am Boden ab und rollen bei der Bewegung ohne zu rutschen.

Geg.: arel, m1, m2, m3, J, r

Bestimme:
*die Absolutgeschwindigkeit v2(t) des Brettes. Dabei gilt v2(t=0)=0.
*die Absolutgeschwindigkeit v1(t) des Mannes.

Quelle: Aufgabe D33 (S. 353f) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2008, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Und wie immer die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R11Herunterladen

Die Andersartigkeit dieses Beispiels liegt daran, dass es sinnvoll ist Schwerpunkt- und Momentensätze als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, ähnlich wie im Beispiel Block rutscht auf Keil. Sonst gehen wir ja in der Relativkinetik oft von den Geschwindigkeits- und Beschleunigungszusammenhängen aus und nutzen erst zum Schluss Schwerpunkt- und Momentenssätze. Wir machen uns zwar auch hier zu Beginn Gedanken über die Kinematik, aber diese fallen sehr einfach aus. Ausgangspunkt ist daher ein sauberes Freikörperbild in dem wir sämtliche Kräfte und dynamischen Größen notieren. Darauf aufbauend lassen sich dann alle Schwerpunkt- und Momentensätze für die Teile des Systems aufstellen. Damit können wir anschließend bereits die Beschleunigung für das Brett berechnen. Diese führt uns auf direktem Wege, durch Zeitintegration, zur Geschwindigkeit des Bretts und schließlich über die Kinematik zur Geschwindigkeit der Person am Brett. Alle Details gibt es natürlich wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Lagrange: Physikalisches Pendel an vertikaler Feder

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Herzlich Willkommen!

Diesmal habe ich eine Variation eines schon gerechneten Lagrange-Beispiels für euch, nämlich ein physikalisches Einfachpendel an einer vertikalen Feder.

Ein homogenes Stabpendel der Masse M und der Länge 2L ist an seinem Drehpunkt vertikal federnd aufgehängt. Die Federkonstante beträgt c. Die Erdbeschleunigung wirkt vertikal nach unten und das System bewegt sich nur in der Blattebene.

Bestimme für dieses System:
*die kinetische Energie T und die potentielle Energie V sowie die Lagrange Funktion,
*die Bewegungsgleichungen,
*die linearisierte Form der Bewegungsgleichungen,
*die Bedingung für die Übereinstimmung der Eigenfrequenzen von Translations- und Rotationsschwingung.

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.

Lagrange-L19Herunterladen

Wir benötigen zu Beginn wieder die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System um die Energien aufstellen zu können. Die Koordinaten des Aufhängepunktes sind, wie auch im Beispiel zum federnd aufgehängten Doppelpendel, nicht notwendig, obwohl sich dieser natürlich bewegt. Allerdings hat auch hier die Feder in dieser Idealisierung keine Masse und damit auch keine Energie und trägt damit auch nichts zur Lagrangefunktion bei. Damit können wir bereits kinetische und potentielle Energie des Systems, sowie die Lagrangefunktion hinschreiben. Über die wohlbekannten Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen. Eine für den Pendelwinkel und eine für die Federauslenkung. Am Ende sehen wir uns noch die linearisierte Form der Bewegungsgleichungen an und stellen fest, dass es auch dort Kopplungen gibt. Alle Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Lagrange: Doppelpendel an Federaufhängung

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns hier einen Klassiker der Lagrange-Mechanik, nämlich das mathematische Doppelpendel, mit einer vertikal federnden Aufhängung an. Das ist auch insofern ein gutes Beispiel für Lagrange-Mechanik, als es sich um insgesamt drei Freiheitsgrade handelt.

Ein mathematisches Doppelpendel ist mittels einer Feder am Koordinatenursprung aufgehängt. Die Pendelmassen seien jeweils m und die Pendellängen l. Die Federkonstante betrage c und die Feder sei in der Position r = r0 vollkommen entspannt.

Ermittle für dieses System:
(a) die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten.
(b) die Lagrange Funktion L.
(c) die Bewegungsgleichungen in allen generalisierten Koordinaten.
(d) die Periodendauer T des Systems, wenn die Pendelwinkel durch ein technisches Gebrechen plötzlich fixiert werden, d.h. φ = φ0 = const. und ψ = ψ0 = const.

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.

Lagrange-L14Herunterladen

Wir benötigen zu Beginn wieder die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System um die Energien aufstellen zu können. Die Koordinaten des Aufhängepunktes sind nicht notwendig, obwohl sich dieser natürlich bewegt. Allerdings hat er in dieser Idealisierung keine Masse und damit auch keine Energie und trägt damit auch nichts zur Lagrangefunktion bei. Anschließend können wir kinetische und potentielle Energie des Systems, sowie die Lagrangefunktion berechnen. Damit lassen sich über die Euler-Lagrange-Gleichungen drei gekoppelte Bewegungsgleichungen für die beiden Pendelwinkel und die Federauslenkung ableiten. Als Spezialfall betrachten wir dann noch die Bewegung für die Federauslenkung r wenn die beiden Pendelwinkel fixiert werden. Dabei handelt es sich dann direkt um eine Linearisierung und wir können Eigenkreisfrequenz und Periodendauer bestimmt werden. Alle Details inkl. weiterer Diskussionen gibt es wie gewohnt im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Stoß: Physikalisches Pendel trifft auf Wand

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Herzlich Willkommen!

Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.

Das abgebildete Pendel besteht aus einer Vollkugel mit Radius r und Masse mK und einem schlanken Stab mit Länge l und Masse mS. Ein Ende des Stabes ist in A mit Abstand r zur Wand frei drehbar gelagert. Das Pendel wird in der Winkellage θ=θ1 aus der Ruhe freigegeben. Die Stoßziffer ist ε.

Geg.: mK=50kg,mS=20kg,l=2m,r=0.3m,ε=0.6,θ1=0∘

Bestimme den Winkel θ=θ2, bis zu dem das Pendel zurückschwingt nachdem es an der Wand angestoßen ist.

Quelle: Aufgabe 8.52 (S. 582) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 2012 Pearson Deutschland GmbH

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

Stoss-S21Herunterladen

Wir können in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar vor dem Stoß mittels Energieerhaltung sehr einfach berechnen. Für den Stoßvorgang selbst ist dann nur noch die Newton’sche Stoßhypothese – also das Verhältnis aus relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwindigkeit – relevant, sowie eine kinematische Überlegung aus der wir die Geschwindigkeiten am Stoßpunkt selbst erhalten. Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Zum Schluss können wir dann wieder Energieerhaltung anwenden und damit bestimmen wie weit das Pendel zurückschwingt. Schritt für Schritt und anschaulich erklärt gibt es das ganze wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Arbeitssatz: Massen mit Rolle und Seil

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In diesem Beispiel zum Arbeitssatz sehen wir uns ein Beispiel an, das normalerweise oft mit Schwerpunkt- und Drehimpulssatz gerechnet wird. Hier haben wir es aber zusätzlich auch noch mit Reibung zu tun.

Ein über eine Rolle geführtes Seil verbindet zwei Körper mit den Massen m1 und m2 miteinander. Die Masse m1 ist dabei größer als die Masse m2. Es tritt kein Schlupf auf.

Geg.: Θ0, m1, m2, μ

Bestimme die Geschwindigkeit beider Körper in Abhängigkeit vom Ort, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird.

Die Angabe gibt es wie üblich hier zum Download.

ArbeitEnergie-AE03Herunterladen

Wir beginnen auch hier wieder mit einem Freikörperbild. Darin vermerken wir nicht nur die Kräfte, sondern auch alle dynamische Größen, d.h. Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten im System. Danach können wir direkt den Arbeitssatz aufstellen. Die Kinematik im System, also die Abrollbedingung, hilft uns, auch die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der translatorischen Geschwindigkeit der Massen auszudrücken. Natürlich müssen wir in diesem Beispiel auch den Reibungseinfluss im Arbeitssatz berücksichtigen, also die Reibkraft zwischen schiefer Ebene und Klotz bestimmen. Die Geschwindigkeit der Massen als Funktion des Ortes lässt sich nach sinnvollem Umformen des Arbeitssatzes dann direkt aus diesem bestimmen. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg im verlinkten Video. Viel Spaß bei der Bearbeitung!

Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Relativkinetik: Masse in rotierendem Rohr an Feder

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Diesmal geht es um eine Variation eines Klassikers der Relativkinetik, nämlich eine Masse in einem rotierenden Rahmen, welche zusätzlich an einem Ende mit einer Feder verbunden ist.

In einem Rahmen, der sich nach dem vorgegebenen Winkel-Zeit-Gesetz φ(t) in der xy-Ebene um den raumfesten Punkt 0 dreht, kann reibungsfrei eine Masse m gleiten, die mit einer Feder (Federkonstante c) verbunden ist. In der Lage q=L sei die Feder entspannt.

Berechne bezogen auf die Masse m folgende Größen:
*Ortsvektor des Schwerpunktes
*Relativgeschwindigkeit, Führungsgeschwindigkeit und Absolutgeschwindigkeit
*Relativbeschleunigung, Führungsbeschleunigung, Coriolisbeschleunigung, Absolutbeschleunigung
*Bewegungsgleichung der Relativbewegung der Masse im rotierenden Bezugssystem.
*Normalkraft als Funktion der kinematischen Größen und der Masse m

Und wie immer die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R06Herunterladen

Wir stellen zuallererst, wie in der Angabe gefordert, den Ortsvektor für die Masse auf. Dann können wir aus Relativ- und Führungsgeschwindigkeit den Vektor der Absolut-geschwindigkeit, sowie aus den Beschleunigungskomponenten eben den Absolut-beschleunigungsvektor berechnen. Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes erhalten wir schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse und können auch die Normalkraft auf die Masse bestimmen. Eine genaue Anleitung dazu mit den üblichen weiterführenden Erklärungen findest du im angehängten Video.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Markus

Lagrange: Pendel mit Feder an beweglicher Aufhängung

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In diesem Lagrange-Beispiel geht es um ein mathematisches Pendel, das an einem horizontal frei beweglichen Aufhängepunkt befestigt ist. Außerdem kann sich die Fadenlänge des Pendels über eine Feder ändern.

Ein mathematisches Pendel mit einer eingearbeiteten Feder ist so befestigt, dass sich sein Aufhängepunkt frei in x-Richtung bewegen kann. Die Feder ist bei r = r0 vollkommen entspannt und ihre Federkonstante sei k.

Bestimme
*die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten.
*die Lagrange-Funktion des Systems.
*alle Bewegungsgleichungen des gegebenen Federpendels.

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download.

lagrange-l12-1Herunterladen

Der erste Schritt in beinahe jedem Lagrange-Beispiel ist das Aufstellen der relevanten Koordinaten, hier für die Punktmasse. Wichtig ist zu beachten, dass nicht nur ξ und φ zeitabhängig sind, sondern auch die Pendellänge r aufgrund der Feder. Um das bei unseren Ableitungen nicht zu vergessen bietet es sich an explizit r(t) zu schreiben. Abgesehen davon gibt es eigentlich keine Stolpersteine und wir können durch zeitliches Ableiten wieder die Geschwindigkeiten für die Punktmasse bestimmen. Dann geht es auch schon an die Berechnung von kinetischer und potentieller Energie und schließlich der Lagrangefunktion. Da wir hier drei Freiheitsgrade in Form der generalisierten Koordinaten ξ, φ und r vorliegen haben, erhalten wir durch anwenden der Euler-Lagrange Gleichungen natürlich auch drei Bewegungsgleichungen, nämlich eine in jeder dieser generalisierten Koordinaten. Wichtig ist hier wieder, dass diese Bewegungsgleichungen gekoppelt sein müssen. Andernfalls haben wir bei der Berechnung einen Fehler gemacht und müssten noch einmal nachprüfen. Für eine detaillierte Schritt-für-Schritt Rechnung seht euch bitte wieder das verlinkte Video an und stellt gerne jederzeit Fragen dazu.

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Lagrange: Vollzylinder rollt in Hohlzylinder

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Herzlich Willkommen!

Wir wollen uns in diesem Beitrag ein relativ komplexes Beispiel aus der Dynamik ansehen und dieses Mittels der Methode von Lagrange lösen.

Ein homogener Hohlzylinder (Masse M, Radius R) sei im Schwerefeld g=−g*ez um eine horizontale Achse durch den Mittelpunkt P drehbar gelagert. In diesem Hohlzylinder rollt ein homogener Vollzylinder (Masse m, Radius r) ohne zu gleiten. Die beiden Zylinderachsen seien parallel.

Zusätzliche Angaben:
O und P raumfeste Punkte, A,B,C und S körperfest auf den Zylindern, sodass im Gleichgewicht C auf O, B auf O und S auf PO liegen,
ψ: Auslenkung des Hohlzylinders aus der Gleichgewichtslage,
χ: Auslenkung des Vollzylinders aus der Gleichgewichtslage,
φ: Winkellage des Schwerpunktes des Vollzylinders

Formulieren Sie die Zwangsbedingungen und legen Sie die generalisierten Koordinaten fest. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion. Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Bestimmen Sie die Eigenfrequenz im Fall kleiner Auslenkungen.

Quelle: Aufgabe 1.2.12 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 2, Analytische Mechanik, 2011, Springer, Berlin

Die Angabe kann wie gewohnt hier heruntergeladen werden.

lagrange-l06Herunterladen

Die Schwierigkeit in diesem Beispiel liegt vor allem im Aufstellen der Zwangsbedingung (Abrollbedingung), sowie in der Tatsache, dass eine Auslenkung des Vollzylinder-Schwerpunkts bereits auch ein Rollen des Vollzylinders bedingt. Andernfalls würde der Zylinder ja rutschen müssen. Diese Tatsache muss beim Aufstellen der kinetischen Energie besonders berücksichtigt werden. Wir nehmen uns daher im Video genug Zeit das zu tun. Wenn allerdings diese Hürde einmal genommen ist, handelt es sich um ein standardmäßiges Lagrange-Beispiel. Wir erhalten wie gewohnt die Bewegungsgleichungen aus der Lagrangefunktion durch Anwendung der Euler-Lagrange Gleichungen und können diese anschließend linearisieren. Aus der linearisierten Form erhalten wir schließlich auch die gesuchte Eigenkreisfrequenz. Für die Details schau dir bitte wieder das Video an und versuche die einzelnen Schritte möglichst gut nachzuvollziehen. Wenn Fragen auftauchen melde dich bitte sehr gerne in den Kommentaren bei mir. Dafür stelle ich dieses Angebot schließlich zur Verfügung.

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Exzentrischer Stoß zweier quadratischer Scheiben

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Herzlich Willkommen!

Diesmal sehen wir uns einen exzentrischen aber ebenen Stoß zweier quadratischer Scheiben an und überlegen uns, wie ein effizienter Rechenweg für ein solches Problem aussehen kann.

Zwei quadratische Scheiben bewegen sich nicht rotierend und reibungsfrei in der xy-Ebene so aufeinander zu, dass sie genau in den Eckpunkten B1 und B2 zusammenstoßen, wobei die Stoßnormale n=ex sein soll. Die Stoßziffer sei ε. Zusätzlich gegeben sind die eingezeichneten Geschwindigkeiten v1,v2,φ˙1,φ˙2 unmittelbar vor dem Stoß, sowie die Massen der Scheiben m1 und m2.

Ges.:
*Die translatorischen Geschwindigkeiten der Scheibenschwerpunkte v′S1, v′S2, sowie die Winkelgeschwindigkeiten φ˙′1, φ˙′2 der Scheiben unmittelbar nach dem Stoß.

Quelle: Aufgabe 2 (S. 320f.) aus S. Kessel, Technische Mechanik Aufgabensammlung mit Musterlösungen, 2000 Universität Dortmund

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

stoss-s09Herunterladen

In diesem Problem bewegen sich beide Scheiben vor dem Stoß rein translatorisch aufeinander zu. Nachdem sie aber im Punkt B – also exzentrisch – Stoßen, werde nach dem Stoßvorgang beide Scheiben eine Winkelgeschwindigkeit aufweisen. Außerdem ist zu berücksichtigen, dass wir die Vorzeichen der Geschwindigkeiten und Stoßantriebe korrekt übernehmen. Ich rate in diesem Fall immer dazu zuerst die Geschwindigkeiten positiv anzusetzen und erst nachträglich das tatsächliche Vorzeichen in die Gleichungen einzusetzen. Dadurch passieren meiner Erfahrung nach wesentlich weniger Vorzeichenfehler. Als grundlegende Gleichungen verwenden wir in diesem Problem die Impuls- und Drehimpulssätze der beiden Scheiben, sowie die Stoßhypothese in Kombination mit ebener Kinematik. Die Kinematik ist notwendig, da wir die Stoßhypothese bekanntlich im Stoßpunkt – also hier in B – ansetzen müssen. Die Geschwindigkeit im Punkt B nach dem Stoß ist allerdings durch die Drehbewegung eine andere als im Schwerpunkt. Hier also bitte um besondere Vorsicht. Ich schlage vor ihr seht euch wie gewohnt das verlinkte Video an. Viel Spaß damit!

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Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Arbeitssatz: Schwingungsfähiges System aus Scheiben und Federn

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Herzlich Willkommen!

Hier ist das erste Beispiel zum Arbeits- bzw. Energiesatz. Es lautet folgendermaßen:

Gegeben ist ein schwingungsfähiges System, bestehend aus zwei gleichen Scheiben (Masse m, Massenträgheitsmoment IS um die Drehachse durch den Schwerpunkt, Radius r). Es tritt kein Gleiten zwischen den Scheiben und dem idealen, undehnbaren Seil auf, Lagerungen reibungsfrei. Eine lineare Feder mit Federkonstante k, eine Drehfeder mit Federkonstante cT.

Ges.:
*die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe des Energiesatzes.
*die Schwingungsdauer des Systems.

Die Angabe gibt es wie üblich hier zum Download.

arbeitenergie-ae01Herunterladen

In diesem Beispiel sollten wir uns zuerst Gedanken über die Kinematik machen. Dadurch verknüpfen wir die Bewegungskoordinate x mit den Rotationen der Rollen und damit auch dem Weg der Drehfeder oben. Außerdem hilft uns eine Betrachtung des Momentanpols der unteren Rolle. Danach lassen sich die kinetische und potentielle Energie sehr einfach hinschreiben. Die Idee des Energiesatzes ist es dann, dass die Energie erhalten bleibt und damit deren zeitliche Ableitung verschwinden muss. Aus diesem Zusammenhang lässt sich die Bewegungsgleichung des Systems bestimmen. Diese ist schon in der Normalform, weshalb wir dann auch die Periodendauer einfach ablesen können. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

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