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Das vorletzte der Beispiele die ich hier nachholen möchte ist ein Kreisel. Konkret wollen wir den Kreisel als Drehzahlmesser verwenden und sehen uns an wie wir das zu Stande bringen können. Die Angabe lautet:
Ein Kreisel kann auch als Drehzahlmesser benutzt werden, nämlich folgendermaßen: In einem Rahmen 1 ist ein Gehäuse 2 reibungsfrei drehbar gelagert und mit einer Drehfeder mit diesem verbunden. Ein im Gehäuse 2 gelagerter Kreisel 3 rotiert mit der relativen Winkelgeschwindigkeit ω_R gegen dieses Gehäuse. Wird nun der Rahmen 1 mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω gedreht, so stellt sich nach einem Einschwingvorgang ein konstant bleibender Winkel ϕ ein und Ω kann bestimmt werden.
Geg.:
Quelle: Aufgabe 4.4.3 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien
Schwerpunkte liegen im Schnittpunkt der Drehachsen
Gehäuse 2: ϕ, Hauptträgheitsmomente I_Gx, I_Gy, I_Gz,
lineare Drehfeder mit Konstante c_T, vollkommen entspannt für ϕ = 0
Kreisel 3: ω_R = const., Trägheitsmomente: I_x, I_y = I_z
Ges.:
Berechne die konstante Winkelgeschwindigkeit Ω des Rahmens 1 nach dem Einschwingvorgang unter der Annahme, dass ω_R viel größer als Ω ist.
Die Angabe zum Download findet ihr hier:
Auch hier starten wir wieder mit dem Freikörperbild, von dem ihr ja jetzt schon wisst, dass es ein essentieller Bestandteil der technischen Mechanik ist. Nachdem wir uns darüber im Klaren sind wie die Winkelgeschwindigkeiten im gegeben Koordinatensystem wirken, können wir den Drehimpulsvektor anschreiben. Für den Drehimpulssatz benötigen wir die Zeitableitung dieses Drehimpulsvektors, welche hier auf den Kreuzproduktterm (Rotation des Koordinatensystems) beschränkt bleibt, weil wir es mit konstanten Winkelgeschwindigkeiten zu tun haben. Der zweite Term des Drehimpulssatzes ist der Vektor der äußeren Momente. Dabei spielt die gegebene Drehfeder eine Rolle. Nachdem dieser aufgestellt ist, kann der volle Drehimpulssatz angeschrieben und die Vereinfachung für ω_R sehr viel größer als Ω gemacht werden. Zum Abschluss diskutieren wir noch, welche „Drehzahl“ mit einem solchen Gerät typischerweise gemessen wird. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir ausführlich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!
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Markus
