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Lagrange: Massen an beweglichem Faden

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Herzlich Willkommen!

Diesmal gibt es ein etwas komplexeres Beispiel aus der Dynamik mit drei Freiheitsgraden. Es handelt sich um folgendes System:

Ein masseloser, undehnbarer Faden der Länge L ist an jedem Ende mit einem Massenpunkt der Masse m verbunden. Der Faden wird reibungsfrei durch zwei Ringe A und B im Abstand b geführt.

Bestimme
*die Zwangsbedingung, sowie die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten. *die Lagrange-Funktion des Systems.
*die Bewegungsgleichungen des Systems.

Quelle: Lagrangesche Bewegungsgleichungen Aufgabe 1 (S. 236) aus S. Kessel, Technische Mechanik Aufgabensammlung mit Musterlösungen, 2000, Dortmund

Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen.

lagrange-l13Herunterladen

Wie immer in der Lagrange-Mechanik müssen wir uns zuallererst Gedanken über die relevanten Koordinaten machen. Dies sind die Koordinaten der Massenschwerpunkte. Hier stellt sich dann heraus, dass sich vier beschreibende Größen ergeben, nämlich die beiden Seilwinkel, sowie die Längen der Seilstücke vom Aufhängepunkt zur jeweiligen Masse. Nachdem das Seil aber als ideal angenommen wird und damit eine konstante Länge besitzt, kann eine der Länge mittels Zwangsbedingung ersetzt werden. Damit landen wir bei drei Freiheitsgraden. Sobald das geklärt ist, können die Geschwindigkeiten abgeleitet und die Energien für das System aufgestellt werden. Danach erhalten wir aus den Euler-Lagrange-Gleichungen drei gekoppelte Bewegungsgleichungen und besprechen wie diese gelöst werden könnten. All das zeige ich wie üblich im unten verlinkten YouTube Video vor. Viel Spaß mit dem Beispiel!

Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald,
Markus

Prinzip von d’Alembert: Brett auf Walzen

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Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns wieder einmal ein Beispiel zum Prinzip von d’Alembert an.

Eine Platte der Masse M ruht auf zwei Walzen, die jeweils die Masse m und den Radius r besitzen. Die linke Walze ist als Vollzylinder, die rechte als dünnwandiger Hohlzylinder ausgeführt.

Ges.:
*Bestimme die Beschleunigung der Platte unter der Annahme, dass kein Gleiten auftritt, mit Hilfe des Prinzips von d’Alembert.

Die Angabe gibt es natürlich wieder als Download inkl. Endergebnissen, damit ihr das Beispiel vorab selbst rechnen könnt.

dalembert-da01Herunterladen

Diese rechnerisch eher kurze Aufgabe eignet sich sehr gut dazu das Prinzip von d’Alembert genauer zu erklären. Wir diskutieren also welche Beiträge es gibt und woher diese kommen. Außerdem klären wir was es mit den d’Alembert’schen Trägheitstermen und Trägheitskräften auf sich hat. Im Zuge dessen rechnen wir selbstverständlich auch die gefragte Beschleunigung des Brettes aus. Das und noch einiges mehr gibt es wieder im verlinkten YouTube Video zu sehen. Viel Spaß damit!

Wenn ihr Fragen habt schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen schnellstmöglich beantworten.

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Alles Gute und bis bald,
Markus

Kreiseldynamik einer Mischmaschine – Lagerbelastung berechnen

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Herzlich Willkommen!

Wir widmen uns wieder einem Kreiselbeispiel. Darin wollen wir heute die Lager einer idealisierten Mischmaschine dynamisch auslegen. Folgendes ist gegeben:

Ein Rotor sei in einem rotierenden Rahmen gelagert. Die Masse des Rotors ist m, seine Massenträgheitsmomente Ix sowie Iy = Iz und seine Winkelgeschwindigkeit relativ zum Rahmen ωR. Für den Rahmen sind die Abmessungen l, der Winkel α sowie seine Winkelgeschwindigkeit Ω und Winkelbeschleunigung Ω˙ gegeben. Alle Lager sind als reibungsfrei anzunehmen.

Ges.:
*Die Bestimmungsgleichungen für die Kräfte auf den Rotor in A und B dargestellt im rahmenfesten x-y-z-System.
*Die relative Winkelbeschleunigung ω˙R des Rotors.

Quelle: Aufgabe 4.4.2 (S. 41) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download findet ihr wie immer hier:

kreisel-k03Herunterladen

Wie meistens, starten wir mit einem Freikörperbild. Nachdem wir uns darüber im Klaren sind wie die Winkelgeschwindigkeiten im gegeben Koordinatensystem wirken, können wir den Drehimpulsvektor anschreiben. Für den Drehimpulssatz benötigen wir die Zeitableitung dieses Drehimpulsvektors. Diesmal haben wir auch eine nicht verschwindende partielle Zeitableitung. Der zweite Term des Drehimpulssatzes ist der Vektor der äußeren Momente. Die Momente entstehen aus den Lagerkräften und ermöglichen uns damit die Bestimmung eben dieser Lagerkräfte. Am Ende bestimmen wir noch ω_R und stellen fest, dass dessen x-Komponente konstant sein muss. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir ausführlich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Bis bald,
Markus

Lagrange: Doppelschaukel

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Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beispiel sehen wir uns die Dynamik einer Doppelschaukel an. Dabei vergleichen wir diese auch mit dem klassischsten aller Lagrange-Beispiele, dem mathematischen Doppelpendel.

Gegeben ist eine Doppelschaukel laut Skizze.

Ges.:
*Die Lagrange-Funktion des Systems.
*Die Bewegungsgleichungen der Doppelschaukel.

Die Angabe zum vorab selbst rechnen gibt es wieder als Download inkl. Endergebnissen.

lagrange-l04Herunterladen

Bei genauerer Betrachtung der Angabe lässt sich feststellen, dass die skizzierte Doppelschaukel analog zum mathematischen Doppelpendel gerechnet werden kann. Wir stellen also zuerst die Koordinaten der Schaukelschwerpunkte als Funktion der generalisierten Koordinaten, d.h. der beiden Schaukelwinkel, auf. Durch Zeitableitung dieser Koordinaten erhalten wir die Geschwindigkeiten der Schaukelschwerpunkte. Danach können wir sowohl kinetische als auch potentielle Energie berechnen um damit die Lagrangefunktion anzuschreiben. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir schließlich zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen für das System, jeweils eine für beide Schaukelwinkel. Die detaillierte Rechnung und viele weitere Bemerkungen, u. A. zur Eindeutigkeit der Lagrangefunktion findet ihr im verlinkten YouTube Video.

Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald,
Markus

Kreisel als Drehzahlmesser verwenden

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Herzlich Willkommen!

Das vorletzte der Beispiele die ich hier nachholen möchte ist ein Kreisel. Konkret wollen wir den Kreisel als Drehzahlmesser verwenden und sehen uns an wie wir das zu Stande bringen können. Die Angabe lautet:

Ein Kreisel kann auch als Drehzahlmesser benutzt werden, nämlich folgendermaßen: In einem Rahmen 1 ist ein Gehäuse 2 reibungsfrei drehbar gelagert und mit einer Drehfeder mit diesem verbunden. Ein im Gehäuse 2 gelagerter Kreisel 3 rotiert mit der relativen Winkelgeschwindigkeit ω_R gegen dieses Gehäuse. Wird nun der Rahmen 1 mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω gedreht, so stellt sich nach einem Einschwingvorgang ein konstant bleibender Winkel ϕ ein und Ω kann bestimmt werden.

Geg.:
Schwerpunkte liegen im Schnittpunkt der Drehachsen
Gehäuse 2: ϕ, Hauptträgheitsmomente I_Gx, I_Gy, I_Gz,
lineare Drehfeder mit Konstante c_T, vollkommen entspannt für ϕ = 0
Kreisel 3: ω_R = const., Trägheitsmomente: I_x, I_y = I_z

Ges.:
Berechne die konstante Winkelgeschwindigkeit Ω des Rahmens 1 nach dem Einschwingvorgang unter der Annahme, dass ω_R viel größer als Ω ist.

Quelle: Aufgabe 4.4.3 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download findet ihr hier:

kreisel-k02Herunterladen

Auch hier starten wir wieder mit dem Freikörperbild, von dem ihr ja jetzt schon wisst, dass es ein essentieller Bestandteil der technischen Mechanik ist. Nachdem wir uns darüber im Klaren sind wie die Winkelgeschwindigkeiten im gegeben Koordinatensystem wirken, können wir den Drehimpulsvektor anschreiben. Für den Drehimpulssatz benötigen wir die Zeitableitung dieses Drehimpulsvektors, welche hier auf den Kreuzproduktterm (Rotation des Koordinatensystems) beschränkt bleibt, weil wir es mit konstanten Winkelgeschwindigkeiten zu tun haben. Der zweite Term des Drehimpulssatzes ist der Vektor der äußeren Momente. Dabei spielt die gegebene Drehfeder eine Rolle. Nachdem dieser aufgestellt ist, kann der volle Drehimpulssatz angeschrieben und die Vereinfachung für ω_R sehr viel größer als Ω gemacht werden. Zum Abschluss diskutieren wir noch, welche „Drehzahl“ mit einem solchen Gerät typischerweise gemessen wird. Die Rechenschritte im Detail besprechen wir ausführlich im verlinkten YouTube Video. Viel Spaß damit!

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Bis bald,
Markus

Lagrange: Massen auf Doppelkeil

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Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beispiel geht es um die Bewegung zweier Massen auf einem Doppelkeil, die mit einem Seil verbunden sind. Hier berechnen wir auch ausnahmsweise eine Kraft im Rahmen der Lagrange-Mechanik.

Zwei Massen m1 und m2 bewegen sich unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei auf einem Keil. Sie seien durch einen masselosen Faden der Länge l = r1 + r2 miteinander verbunden.

Ges.:
*Formulieren Sie die Zwangsbedingungen. Von welchem Typ sind diese? Wie viele Freiheitsgrade s besitzt das System?
*Wählen Sie passende generalisierte Koordinaten. Geben Sie die Transformationsformeln an.
*Formulieren Sie die Lagrange-Funktion.
*Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese unter Berücksichtigung der Randbedingungen r1 (t=0) = r0 und v1(t=0) = 0. Stellen Sie außerdem die Gleichgewichtsbedingung für das System auf.
*Benutzen Sie die Zwangsbedingung der konstanten Fadenlänge nicht als holonome Zwangsbedingung zur Eliminierung von Variablen. Benutzen Sie stattdessen einen Lagrange’schen Multiplikator λ zur Festlegung der Fadenkraft. Wie groß ist diese im Gleichgewicht?

Aufgabe 1.2.11 (S. 51) aus W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Bd.2, Analytische Mechanik, 4. verb. Auflage, 1999, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Die Angabe gibt es auch hier wieder als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt also auch dieses Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

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In diesem Beispiel zur Lagrange-Mechanik sehen wir uns im Detail an, was Zwangsbedingungen eigentlich sind und wie diese aufgestellt werden. Dann wählen wir anhand dieser Diskussion geeignete generalisierte Koordinaten und stellen wie üblich kinetische und potentielle Energie sowie die Lagrange-Funktion auf. Die Bewegungsgleichung (in diesem Fall ist es nur eine) bestimmen wir aus der Euler-Lagrange-Gleichung und lösen diese dann auch um das Bewegungs-Zeit-Gesetz zu bestimmen. Dann überlegen wir uns wie das allgemeine Gleichgewicht im System aussehen wird. Am Ende bestimmen wir auch noch die Fadenkraft mithilfe eines sogenannten Lagrange-Multiplikators, also unter zu Hilfenahme einer Zwangskraft. Wie diese Rechnung Schritt-für-Schritt funktioniert erkläre ich euch wieder im angehängten YouTube Video.

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Viel Spaß mit diesem Beispiel und bis bald,
Markus

Ebener Stoß zwischen Kugel und Stab

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Herzlich Willkommen!

Wie gestern bereits gesagt, werden wir in den nächsten Tagen einige schon auf YouTube gepostete Beispiele nachholen. Das zweite dieser Beispiele ist ein ebener Stoßvorgang zwischen einer Kugel und einem Stab mit folgender Angabe:

Eine als Punktmasse zu betrachtende Kugel mit Masse m1 trifft mit der Geschwindigkeit v1 auf eine im Punkt A frei drehbar gelagerte zylindrische Stange mit der Masse m2 und der Länge L. Vor dem Stoß ist die Stange in Ruhe. Der Stoßpunkt befindet sich im Abstand h vom Lager und die Stoßziffer ist ε.

Geg.:
m_1 = 5 kg, m_2 = 7 kg, L = 0.4 m, ε = 0.7, h = 0.3 m, v_1 = 3 e_x m/s

Ges.:
*die Geschwindigkeit v_1′ der Kugel unmittelbar nach dem Stoß.
*die Winkelgeschwindigkeit ω‘ des Stabes unmittelbar nach dem Stoß.
*der Stoßantrieb S_A auf das Lager in A.

Die Angabe gibt es wie üblich als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.

stoss-s11Herunterladen

Fast immer in der Technischen Mechanik beginnen wir mit einem Freikörperbild. So auch hier. Zusätzlich erkläre ich euch ein wenig theoretischen Hintergrund zum Stoßantrieb. Nachdem das geklärt ist, geht es daran den Drehimpuls vor und nach dem Stoß aufzustellen und den Drehimpulssatz für das Gesamtsystem anzuschreiben. Als zweite Bestimmungsgleichung für das System verwenden wir den Impulssatz, welchen wir ebenfalls für das Gesamtsystem anschreiben. Die dritte und letzte Gleichung ist dann die Newton’sche Stoßhypothese, wofür wir ebenfalls ein wenig Theorie diskutieren. Danach sind wir bereit das Gleichungssystem aufzulösen und die gesuchten Größen zu berechnen. Wie das alles im Detail funktioniert erkläre ich euch wieder im verlinkten YouTube Video.

Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.

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Bis morgen mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Lagrange: Schwingung eines physikalischen Doppelpendels

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Herzlich Willkommen!

Ich möchte die Gelegenheit nutzen und in den nächsten Tagen Beiträge zu bereits vor dem Neustart des Blogs veröffentlichten Videos nachholen. Wir beginnen mit einem Beispiel zur Lagrange-Mechanik, nämlich dem physikalischen Doppelpendel.

Ein ebenes physikalisches Doppelpendel aus schlanken Stäben mit den Angaben laut Skizze (Stablängen a, Massen m1, m2, Schwerpunktsabstände s1, s2 und Pendelwinkel φ1, φ2) soll betrachtet werden.

Ges.:
*Lagrange-Funktion des Systems.
*Bewegungsgleichungen in den generalisierten Koordinaten φ1 und φ2.
*Wie kann der Spezialfall erreicht werden, dass das unter Pendel keine Relativbewegung zum oberen Pendel vollführt, das System also als einfaches Pendel schwingt?

Die Angabe gibt es auch hier wieder als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt also das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.

lagrange-l11Herunterladen

Wie in der Lagrange-Mechanik üblich stellen wir zuerst die relevanten Koordinaten als Funktion der generalisierten Koordinaten auf. Anschließend können diese Koordinaten nach der Zeit abgeleitet werden um die Geschwindigkeiten zu bestimmen. Die Berechnung der kinetischen und potentiellen Energie des Systems führt schließlich zur Lagrange-Funktion. Über die Euler-Lagrange-Gleichung lassen sich dann die Bewegungsgleichungen berechnen. Am Ende des Beispiels überlegen wir uns wie der Spezialfall einer einfachen Pendelschwingung erreicht werden kann. An dieser Stelle gibt es auch eine spannende historische Anmerkung. Wie die Rechnung detailliert abläuft erkläre ich euch im verlinkten YouTube Video.

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Viel Spaß mit diesem Lagrange Beispiel und bis demnächst,
Markus

Prinzip von d’Alembert: Rollensystem mit Federn

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Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns ein Beispiel zum Prinzip von d’Alembert an.

Gegeben ist das nachfolgend dargestellte schwingungsfähige mechanische System, bestehend aus Rollen, Massen und Federn. Die Masse m wird gehalten und zum Zeitpunkt t=0 losgelassen. Zu Beginn sind alle Federn entspannt.

Geg.:
m, I, c, k, R, r

Ges.:
*Die Winkelkoordinaten φ1, φ2, φ3 als Funktion von x(t)
*Sämtliche Beiträge zum Prinzip von d’Alembert
*Die Bewegungsgleichung des Systems sowie dessen Eigenkreisfrequenz
*Das Bewegungs-Zeit-Gesetz x(t)

Die Angabe gibt es natürlich wieder als Download inkl. Endergebnissen, damit ihr das Beispiel vorab selbst rechnen könnt.

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Für die Lösung dieser Aufgabe überlegen wir uns zuerst die Kinematik an den einzelnen Rollen. Dazu nutzen wir zur besseren Veranschaulichung ein Freikörperbilder. Dann sind alle kinematischen Beziehungen aufzustellen. Wir werden feststellen, dass es nur einen Freiheitsgrad im System gibt. Damit können alle kinematischen Größen als Funktion der Variable x(t) ausgedrückt werden und es gibt am Ende auch nur eine Bewegungsgleichung. Um die Bewegungsgleichung zu berechnen nutzen wir das Prinzip von d’Alembert. Dafür ist es wiederum nötig die virtuelle Arbeit von äußeren und inneren Kräften, sowie die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte aufzustellen. Am Ende können wir dann die Bewegungsgleichung lösen und das Bewegungs-Zeit-Gesetz anschreiben. Wie das im Detail funktioniert erkläre ich im untenstehenden YouTube Video.

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Viel Spaß beim Rechnen und bis spätestens Donnerstag zum nächsten Beispiel,
Markus

Kreiseldynamik: Mühlstein

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Herzlich Willkommen!

Heute wollen wir uns ein Beispiel aus dem Bereich Kreiseldynamik ansehen, und zwar folgende Mühle:

Die dargestellte Mühle wird mit der Winkelgeschwindigkeit Ω=const. angetrieben. Der Mühlstein habe seinen Schwerpunkt in S, seine Masse sei m und seine Massenträgheitsmomente I1 sowie I2=I3.

Ges.:
*die erforderliche Winkelgeschwindigkeit ω=const., sodass der Mühlstein im Punkt P mit der Geschwindigkeit -vp e2 gleitet.
*die Beschleunigung des Punktes P.
*die Winkelgeschwindigkeit des Mühlsteins im e_1-e_2-e_3 Koordinatensystem.
*die resultierende Einzelkraft und das resultierende Moment bei Reduktion in den Koordinatenursprung.

Die Angabe gibt es als Download inkl. Lösungen um das Beispiel vorab rechnen zu können.

Kreisel-K05Herunterladen

Um diese Aufgabe zu lösen, bedienen wir uns einer Mischung aus Kinematik, Relativkinematik und natürlich Schwerpunkt- und Drehimpulssatz. Zuerst muss bestimmt werden wie groß für gegebenes vp die Winkelgeschwindigkeit ω wird. Dann können wir uns überlegen welche absolute Beschleunigung der Schwerpunkt des Mühlsteins S aufweist. Aus dieser absoluten Beschleunigung lässt sich dann der Schwerpunktsatz anschreiben und die Kräfte berechnen. Zum Schluss bestimmen wir noch den Drehimpuls für den Mühlstein und berechnen aus diesem die Momente. Wie das im Detail funktioniert erkläre ich im angehängten YouTube Video.

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Bis nächste Woche mit einem weiteren Beispiel,
Markus