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Energiesatz: Rollendes Rad an Feder (Schwingung)

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Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon beim letzten Beispiel zu diesem Thema eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die folgende Angabe zeigt.

Ein Rad mit der Masse m und dem Trägheitsradius is rollt ohne zu gleiten. Im entspannten Zustand hat die Feder die Länge l0 und die Federkonstante c. In der skizzierten Position wird das Rad aus der Ruhe freigegeben.
Geg.: m = 60 kg, is = 0.6 m, r = 1 m, l = 3 m, l0 = 0.5 m, c = 10 N/m, β = 60°

Ges.:
*der allgemeine Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ω des Rades, nachdem es sich um den Winkel β im Uhrzeigersinn verdreht hat.
*der Zahlenwert für diese Winkelgeschwindigkeit ω.

Die Angabe gibt es natürlich wie gewohnt hier als Download.

Die Lösung dieses Beispiels ist an sich recht kurz, erfordert aber einige Überlegungen zur Geometrie. So müssen wir uns insbesondere Gedanken darüber machen wie sich die Federlänge in Abhängigkeit von der Rollbewegung des Rades ändert. Wenn das erledigt ist und wir uns für eine Betrachtung am Momentanpol des Rades entscheiden, ist alles weitere schnell aufgeschrieben. Es gibt in diesem Fall nur eine kinetische Energie der Rotation und die potentiellen Energien der Feder zu Beginn und am Ende. Damit lässt sich leicht die Winkelgeschwindigkeit des Rades als Funktion des Drehwinkels bestimmen. Die Details dazu findest du wie gehabt im verlinkten Video.


Ich beginne ab diesem Beispiel auch damit pdf-Dateien des Lösungsweges bereitzustellen. Falls das für dich interessant ist, hinterlasse mir gerne einen Kommentar, dann kann ich gerne auch bei schon besprochenen Beispielen solche pdfs nachreichen.

AE04Herunterladen

Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Relativkinetik: Person auf Platte & Rollen

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Herzlich Willkommen!

Wir sehen uns in diesem Beitrag ein Beispiel zur Relativkinetik an, welches ein wenig unüblich ist. Warum, das werden wir im Verlauf des Beispiels klären.

Ein Mann der Masse m1 bewegt sich lt. Skizze mit konstanter Relativbeschleunigung arel auf einem Brett der Masse m2. Das Brett liegt auf zwei Rollen mit jeweils Radius r, Masse m3 und Massenträgheitsmoment J. Die Walzen stützen sich am Boden ab und rollen bei der Bewegung ohne zu rutschen.

Geg.: arel, m1, m2, m3, J, r

Bestimme:
*die Absolutgeschwindigkeit v2(t) des Brettes. Dabei gilt v2(t=0)=0.
*die Absolutgeschwindigkeit v1(t) des Mannes.

Quelle: Aufgabe D33 (S. 353f) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2008, Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Und wie immer die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R11Herunterladen

Die Andersartigkeit dieses Beispiels liegt daran, dass es sinnvoll ist Schwerpunkt- und Momentensätze als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, ähnlich wie im Beispiel Block rutscht auf Keil. Sonst gehen wir ja in der Relativkinetik oft von den Geschwindigkeits- und Beschleunigungszusammenhängen aus und nutzen erst zum Schluss Schwerpunkt- und Momentenssätze. Wir machen uns zwar auch hier zu Beginn Gedanken über die Kinematik, aber diese fallen sehr einfach aus. Ausgangspunkt ist daher ein sauberes Freikörperbild in dem wir sämtliche Kräfte und dynamischen Größen notieren. Darauf aufbauend lassen sich dann alle Schwerpunkt- und Momentensätze für die Teile des Systems aufstellen. Damit können wir anschließend bereits die Beschleunigung für das Brett berechnen. Diese führt uns auf direktem Wege, durch Zeitintegration, zur Geschwindigkeit des Bretts und schließlich über die Kinematik zur Geschwindigkeit der Person am Brett. Alle Details gibt es natürlich wieder im verlinkten Video. Viel Spaß damit!

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Arbeitssatz: Massen mit Rolle und Seil

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Herzlich Willkommen!

In diesem Beispiel zum Arbeitssatz sehen wir uns ein Beispiel an, das normalerweise oft mit Schwerpunkt- und Drehimpulssatz gerechnet wird. Hier haben wir es aber zusätzlich auch noch mit Reibung zu tun.

Ein über eine Rolle geführtes Seil verbindet zwei Körper mit den Massen m1 und m2 miteinander. Die Masse m1 ist dabei größer als die Masse m2. Es tritt kein Schlupf auf.

Geg.: Θ0, m1, m2, μ

Bestimme die Geschwindigkeit beider Körper in Abhängigkeit vom Ort, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird.

Die Angabe gibt es wie üblich hier zum Download.

ArbeitEnergie-AE03Herunterladen

Wir beginnen auch hier wieder mit einem Freikörperbild. Darin vermerken wir nicht nur die Kräfte, sondern auch alle dynamische Größen, d.h. Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten im System. Danach können wir direkt den Arbeitssatz aufstellen. Die Kinematik im System, also die Abrollbedingung, hilft uns, auch die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der translatorischen Geschwindigkeit der Massen auszudrücken. Natürlich müssen wir in diesem Beispiel auch den Reibungseinfluss im Arbeitssatz berücksichtigen, also die Reibkraft zwischen schiefer Ebene und Klotz bestimmen. Die Geschwindigkeit der Massen als Funktion des Ortes lässt sich nach sinnvollem Umformen des Arbeitssatzes dann direkt aus diesem bestimmen. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg im verlinkten Video. Viel Spaß bei der Bearbeitung!

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Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Relativkinetik: Masse in rotierendem Rohr an Feder

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Herzlich Willkommen!

Diesmal geht es um eine Variation eines Klassikers der Relativkinetik, nämlich eine Masse in einem rotierenden Rahmen, welche zusätzlich an einem Ende mit einer Feder verbunden ist.

In einem Rahmen, der sich nach dem vorgegebenen Winkel-Zeit-Gesetz φ(t) in der xy-Ebene um den raumfesten Punkt 0 dreht, kann reibungsfrei eine Masse m gleiten, die mit einer Feder (Federkonstante c) verbunden ist. In der Lage q=L sei die Feder entspannt.

Berechne bezogen auf die Masse m folgende Größen:
*Ortsvektor des Schwerpunktes
*Relativgeschwindigkeit, Führungsgeschwindigkeit und Absolutgeschwindigkeit
*Relativbeschleunigung, Führungsbeschleunigung, Coriolisbeschleunigung, Absolutbeschleunigung
*Bewegungsgleichung der Relativbewegung der Masse im rotierenden Bezugssystem.
*Normalkraft als Funktion der kinematischen Größen und der Masse m

Und wie immer die Angabe zum Download:

Relativkinetik_R06Herunterladen

Wir stellen zuallererst, wie in der Angabe gefordert, den Ortsvektor für die Masse auf. Dann können wir aus Relativ- und Führungsgeschwindigkeit den Vektor der Absolut-geschwindigkeit, sowie aus den Beschleunigungskomponenten eben den Absolut-beschleunigungsvektor berechnen. Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes erhalten wir schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse und können auch die Normalkraft auf die Masse bestimmen. Eine genaue Anleitung dazu mit den üblichen weiterführenden Erklärungen findest du im angehängten Video.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen und beantworte gerne alle Fragen.

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Bis bald,
Markus

Arbeitssatz: Schwingungsfähiges System aus Scheiben und Federn

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Herzlich Willkommen!

Hier ist das erste Beispiel zum Arbeits- bzw. Energiesatz. Es lautet folgendermaßen:

Gegeben ist ein schwingungsfähiges System, bestehend aus zwei gleichen Scheiben (Masse m, Massenträgheitsmoment IS um die Drehachse durch den Schwerpunkt, Radius r). Es tritt kein Gleiten zwischen den Scheiben und dem idealen, undehnbaren Seil auf, Lagerungen reibungsfrei. Eine lineare Feder mit Federkonstante k, eine Drehfeder mit Federkonstante cT.

Ges.:
*die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe des Energiesatzes.
*die Schwingungsdauer des Systems.

Die Angabe gibt es wie üblich hier zum Download.

arbeitenergie-ae01Herunterladen

In diesem Beispiel sollten wir uns zuerst Gedanken über die Kinematik machen. Dadurch verknüpfen wir die Bewegungskoordinate x mit den Rotationen der Rollen und damit auch dem Weg der Drehfeder oben. Außerdem hilft uns eine Betrachtung des Momentanpols der unteren Rolle. Danach lassen sich die kinetische und potentielle Energie sehr einfach hinschreiben. Die Idee des Energiesatzes ist es dann, dass die Energie erhalten bleibt und damit deren zeitliche Ableitung verschwinden muss. Aus diesem Zusammenhang lässt sich die Bewegungsgleichung des Systems bestimmen. Diese ist schon in der Normalform, weshalb wir dann auch die Periodendauer einfach ablesen können. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

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Markus

Relativkinetik: Masse in rotierendem Rohr

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Herzlich Willkommen!

Ein absoluter Klassiker der Relativkinetik ist eine Masse die sich reibungsfrei in einem rotierenden Rohr bewegen kann. Genau das wollen wir uns hier ansehen.

Ein Teilchen P mit der Masse m kann sich reibungsfrei in einem um die z-Achse drehbaren Rohr der Länge l bewegen. Das Rohr rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Ω, die Winkelbeschleunigung beträgt Ω˙. Für die Anfangsbedingungen r(0)=r0 größer 0 und r˙(0)=0 sind die untenstehende Größen zu berechnen.

*Ortsvektor r_P(t)
*Relativgeschwindigkeit v_R, Führungsgeschwindigkeit v_F und Absolutgeschwindigkeit v_P
*Relativbeschleunigung a_R, Führungsbeschleunigung a_F, Coriolisbeschleunigung a_C und Absolutbeschleunigung a_P.
*Kräfte auf die Masse *Abstand r(t) von der Drehachse für den Spezialfall Ω=const.

Hinweis: Alle Vektoren sind im mitrotierenden ξ,η,ζ System darzustellen.

Und wie immer die Angabe zum Download:

relativkinetik_r03Herunterladen

Zum Ablaufplan der Rechnung ist hier eigentlich nicht viel zu sagen. Die Punkte (a) – (e) in der Angabe stellen nämlich bereits einen guten Ablaufplan zur Verfügung. Wir halten uns einfach daran und können auf direktem Wege alles berechnen. Natürlich könnt ihr den Rechenweg wieder Schritt für Schritt im verlinkten Video nachverfolgen. Viel Spaß damit!

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Bis demnächst,
Markus

Kreisel: Rotierender Stab mit Drehfeder

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Das letzte Beispiel zur Kreiseldynamik ist schon eine ganze Weile her, deshalb wollen wir uns heute wieder einmal ein solches ansehen.

Ein zylindrischer, homogener Stab (kein dünner Stab) ist in einer rotierenden Gabel reibungsfrei drehbar gelagert und über eine Drehfeder mit dieser verbunden.

Geg.:
homogener Stab: Länge l, Durchmesser 2r, Masse m
lineare Drehfeder: Drehfederkonstante cT, vollkommen entspannt bei ϕ=0
Gabel: Winkelgeschwindigkeit Ω, die durch ein entsprechendes Antriebsmoment MA konstant gehalten wird.

Ges.:
*Wie groß darf Ω höchstens sein, damit der Stab für kleine Winkel ϕ eine Schwingung ausführt?
*Welchen Wert muss das Antriebsmoment MA(ϕ) bei reibungsfreier Lagerung der Gabel annehmen. Anfangsbedingung: ϕ=0, ϕ˙=ν

Hinweis: Verwenden Sie die Euler’schen Kreiselgleichungen.

Quelle: Aufgabe 4.4.4 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien

Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt ihr hier:

kreisel-k06Herunterladen

Wie immer ist es wichtig sich anhand einer Skizze, d.h. eines Freikörperbilds bewusst zu machen, welche Kräfte und Momente sowie Geschwindigkeiten und Beschleunigungen im System wirken. Dann können wir hier auch schon die Euler’schen Kreiselgleichungen anschreiben, deren einzelne Terme bestimmen und in die allgemeine Form der Gleichungen einsetzen. Dadurch gelangen wir zu einem Gleichungssystem aus dem wir eine Bewegungsgleichung erhalten. Am Ende müssen wir uns noch darüber Gedanken machen, wann es sich bei dieser Bewegungsgleichung um eine Schwingungsgleichung handelt. All das besprechen wir wieder in voller Schönheit im verlinkten Video.

Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.

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Bis bald,
Markus

Relativkinetik: Masse an Federn in rotierender Scheibe

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Herzlich Willkommen!

Heute sehen wir uns eine Masse an, die an beiden Enden mit Federn in der Nut einer rotierenden Scheibe befestigt ist und durch die Drehbewegung der Scheibe schwingt.

In der glatten Nut einer Scheibe, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω=const. dreht, ist eine Masse m an Federn (Federkonstante c ) befestigt.

Ges.:
*Bewegungsgleichung im bewegten ξ – η System.
*Kraft von der Nut auf die Masse
*Welche Eigenfrequenz stellt sich für die Bewegung der Masse ein?
*Winkelgeschwindigkeit ωcrit, bei der die Masse m mit der Scheibe rotiert, ohne in der Nut hin- und her zu schwingen.

Und wie immer die Angabe zum Download:

relativkinetik_r02Herunterladen

Den Anfang macht auch hier ein Freikörperbild um die Geometrie und damit die Beschleunigung sowie die Kräfte auf die Masse definieren zu können. All diese Größen können wir dann mittels relativkinetischen Gleichungen und Schwerpunktsatz berechnen. Die Schritte im Detail, besprechen wir natürlich wieder ausführlich im verlinkten Video.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen.

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Bis demnächst,
Markus

Relativkinetik: Kugel zwischen Platten

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In diesem Beispiel zur Relativkinetik geht es um eine Kugel die zwischen zwei parallelen Platten gleiten kann, während die Platten selbst um die vertikale Achse rotieren.

Zwei parallele, starre Platten rotieren mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω um die raumfeste vertikale z-Achse. Zwischen den Platten kann reibungsfrei eine kleine Kugel (Masse m) gleiten.

Bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen des Kugelschwerpunktes in den Koordinaten q1 und q2, sowie die auf Kugel wirkenden Kräfte.

Quelle: Aufgabe D34 (S. 356) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden

Und wie immer die Angabe zum Download:

relativkinetik_r07Herunterladen

Wir beginnen hier mit der Berechnung des Ortsvektors der Kugel. Anschließend lassen sich die benötigten Geschwindigkeits- und Beschleunigungsterme bestimmen, nämlich Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung sowie Führungs- und Coriolisbeschleunigung. Mittels Schwerpunktsatz können wir schließlich die Bewegungsgleichungen des Systems und die auf die Kugel wirkende Normalkraft bestimmen. Die Rechenschritte im Detail, besprechen wir ausführlich im YouTube Video.

Bei Fragen oder Anmerkungen zu Beispiel oder Rechenweg bitte einfach hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich freue mich auf eure Rückmeldungen.

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Bis demnächst,
Markus

Integration von Vektoren

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Herzlich Willkommen!

In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.


Einleitung
Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.

Beispielerklärung
Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.

Berechnung des Integrals
Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.

Zusammenfassung
Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.

Bis dahin alles Gute und bis bald,
Markus