Schlagwort-Archive: studieren

Stoß: Projektil trifft auf Scheibe

Veröffentlicht am von
Antworten

Herzlich Willkommen!

Wir widmen uns wieder einem Stoßbeispiel. Dieses Mal geht es um ein Projektil das auf eine aufgehängte Scheibe auftrifft und in diese eindringt.

Ein Projektil der Masse mP dringt mit der Geschwindigkeit vP in die Mantelfläche einer Scheibe der Masse mS unter dem Winkel α zur Horizontalen ein. Unmittelbar vor dem Stoß befindet sich die Scheibe in Ruhe.

Geg.: mP = 7g, mS = 5kg, vP = 800m/s, r = 0.2m, α = 30°

Ges.:
*die Winkelgeschwindigkeit ω′S der Scheibe unmittelbar nach dem Eindringen des Projektils.
*der Winkel θ um den die Scheibe schwingt bis sie ihren Umkehrpunkt erreicht hat.

Quelle: Aufgabe x.x (S. xxx) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Die Angabe gibt es wie gewohnt auch zum Download.

Stoss-S22Herunterladen

In diesem Fall bevorzuge ich die Zerlegung des Systems in Projektil und Scheibe und die Einführung eines inneren Stoßantriebs. So können wir einen Impulssatz für das Projektil anschreiben, das wir als Punktmasse betrachten dürfen. Andererseits lässt sich für die Scheibe ein Drehimpulssatz um das Lager aufstellen. Zusätzlich benötigen wir natürlich noch eine kinematische Bedingungen. Diese ist hier jene des rauen Stoßes, also gleiche Geschwindigkeitsvektoren von Projektil und Eindringpunkt unmittelbar nach dem Stoßvorgang. Damit lässt sich dann die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe bestimmen. Schließlich können wir über eine einfach Energiebetrachtung noch den Umkehrpunkt der Schwingung bestimmen. Wie das geht besprechen wir im verlinkten Video im Detail. Viel Spaß damit!

Wie auch schon die letzten Male stelle ich zusätzlich wieder ein pdf mit dem vollständigen Lösungsweg zur Verfügung.

S22Herunterladen

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Energiesatz: Rollendes Rad an Feder (Schwingung)

Veröffentlicht am von
Antworten

Herzlich Willkommen!

Es geht wieder einmal um den Arbeits- und Energiesatz. Wie schon beim letzten Beispiel zu diesem Thema eigentlich nur um den Energiesatz, denn das System ist konservativ, wie die folgende Angabe zeigt.

Ein Rad mit der Masse m und dem Trägheitsradius is rollt ohne zu gleiten. Im entspannten Zustand hat die Feder die Länge l0 und die Federkonstante c. In der skizzierten Position wird das Rad aus der Ruhe freigegeben.
Geg.: m = 60 kg, is = 0.6 m, r = 1 m, l = 3 m, l0 = 0.5 m, c = 10 N/m, β = 60°

Ges.:
*der allgemeine Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ω des Rades, nachdem es sich um den Winkel β im Uhrzeigersinn verdreht hat.
*der Zahlenwert für diese Winkelgeschwindigkeit ω.

Die Angabe gibt es natürlich wie gewohnt hier als Download.

Die Lösung dieses Beispiels ist an sich recht kurz, erfordert aber einige Überlegungen zur Geometrie. So müssen wir uns insbesondere Gedanken darüber machen wie sich die Federlänge in Abhängigkeit von der Rollbewegung des Rades ändert. Wenn das erledigt ist und wir uns für eine Betrachtung am Momentanpol des Rades entscheiden, ist alles weitere schnell aufgeschrieben. Es gibt in diesem Fall nur eine kinetische Energie der Rotation und die potentiellen Energien der Feder zu Beginn und am Ende. Damit lässt sich leicht die Winkelgeschwindigkeit des Rades als Funktion des Drehwinkels bestimmen. Die Details dazu findest du wie gehabt im verlinkten Video.


Ich beginne ab diesem Beispiel auch damit pdf-Dateien des Lösungsweges bereitzustellen. Falls das für dich interessant ist, hinterlasse mir gerne einen Kommentar, dann kann ich gerne auch bei schon besprochenen Beispielen solche pdfs nachreichen.

AE04Herunterladen

Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.

Hat euch das Beispiel und die Musterlösung gefallen? Dann lasst bitte unbedingt auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Außerdem freue ich mich über ein Abo meines YouTube Kanals! Ihr helft mir damit enorm. Vielen Dank!

Viel Spaß mit dem Beispiel und bis bald,
Markus

Schnittgrößenverlauf berechnen

Veröffentlicht am von
2

Herzlich Willkommen!

Ich habe beim letzten Schnittgrößenbeispiel versprochen, dass wir uns als zweites Beispiel zu den Schnittgrößen einen Verlauf ansehen werden. Wir haben ja schon theoretisch diskutiert Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel haben wir dann Schnittgrößen an speziellen Punkten eines Trägers bestimmt. Jetzt wollen wir uns der eigentlich relevanten Herangehensweise, nämlich der Berechnung eines Schnittgrößenverlaufs widmen, nämlich an folgendem Beispiel.

Berechne für den skizzierten Biegeträger die Auflagerreaktionen sowie die Schnittgrößen Q(x) und M(x).

Geg.: q0, l, P=q0*l, M0=q0*l^2

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Schnittgrößenverlauf bedeutet, dass wir Normalkraft, Querkraft und Biegemoment jeweils als Funktion der Laufvariable x entlang des gesamten Trägers berechnen. Wir erhalten also als Ergebnisse Funktionen von x, N(x), Q(x) und M(x) mit deren Hilfe alle Schnittgrößen an jedem beliebigen Punkt entlang des Trägers berechnet werden können. Das ist natürlicher praktischer für die spätere Verwendung. Um das zu erreichen, müssen wir zuerst wieder die Auflagerreaktionen aus dem Gesamtgleichgewicht bestimmen. Anschließend können wir Teilgleichgewichte für die notwendigen Felder aufstellen und daraus die Schnittgrößen berechnen. In diesem konkreten Beispiel benötigen wir 2 Felder, nämlich 0<x<l und l<x<4l, d.h. ein Feld links der Streckenlast und eines im Bereich der Streckenlast. Dann lässt sich für jedes Teilgleichgewicht wieder ein Freikörperbild zeichnen und aus den bekannten Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- und Momentensumme) die Schnittgrößen als Funktion der Laufvariable bestimmen. Wie das detailliert funktioniert besprechen wir wie immer im verlinkten Video. Viel Spaß damit!


Auch hier gilt – wie schon beim Einstiegsbeispiel zu Schnittgrößen – dass es sich um ein überaus essentielles Kapitel der Technischen Mechanik handelt. Bei Fragen scheue also bitte nicht davor zurück, mich jederzeit zu kontaktieren.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Unelastischer Stoß: Punktmasse bleibt in Quader stecken

Veröffentlicht am von
Antworten

Herzlich Willkommen!

Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.

Eine Masse m2 stößt vollkommen unelastisch mit der Geschwindigkeit v2 gegen eine ruhende Masse m1, die an zwei gleichlangen, masselosen Pendelstützen aufgehängt ist und verbleibt in ihr. Aus dem Maximalausschlag φ=α soll auf die Geschwindigkeit v2 geschlossen werden, wobei die Wirkungslinie von v2 durch den Schwerpunkt von m1 geht.

Ges.:
*Geschwindigkeit der Massen nach dem Stoß.
*Zusammenhang zwischen dem Winkel α der Umkehrlage und v2
*Energieverlust während dem Stoß

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

Stoss-S16Herunterladen

Zur Lösung dieses Beispiels verwenden wir für den Stoßvorgang selbst eine reine Impulsbilanz, die wir für das Gesamtsystem aufstellen. Nachdem es sich um einen zentrischen Stoß handelt, reicht uns diese Impulsbilanz aus um einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß mit jener unmittelbar vor dem Stoß herzustellen. Zur Ermittlung des gesuchten Zusammenhangs zwischen der Geschwindigkeit v2 der Punktmasse vor dem Stoß und dem Maximalausschlag der Gesamtmasse danach setzen wir anschließend eine Energieerhaltung an, weil der Schwingvorgang nach dem Stoß ohne Energieverlust passiert. Schließlich können wir den Energieverlust der während des Stoßvorgangs selbst auftritt mittels einer Energiebilanz zwischen den Zeitpunkten unmittelbar vor und unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Die Details und weitere Anmerkungen zum Beispiel findet ihr wie immer im verlinkten Video. Viel Freude dabei!

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus

Schnittgrößen an spezieller Stelle

Veröffentlicht am von
2

Herzlich Willkommen!

Wir haben uns schon theoretisch angesehen was Schnittgrößen sind und wie wir Schnittufer definieren. Als Brückenbeispiel für die Berechnung von Schnittgrößen wollen wir an speziellen Punkten eines Trägers die drei Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment bestimmen. In Zukunft wollen wir eher Verläufe dieser Schnittgrößen bestimmen, also durchgehende Funktionen der Laufvariable (=Trägerlänge). Um diese Herangehensweise allerdings vorzubereiten, sehen wir uns zuerst an wie wir überhaupt Schnittgrößen bestimmen können – eben an speziellen Punkten entlang des Trägers.

Normal- und Querkraft sowie das Biegemoment im Balken an den Stellen C und D sind zu bestimmen. Die Lagerung in B sei ein Rollenlager. Punkt C liege unmittelbar rechts der Last P.
Geg.: P, M, l

Hinweis: Das Koordinatensystem ist so zu wählen, dass die x-Achse nach rechts, die y-Achse aus der Blattebene heraus und die z-Achse nach unten positiv festgelegt sind.

Quelle: Aufgabe 7.6 (S. 407) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Um dieses Beispiel zu lösen müssen wir ebenfalls wieder ein Freikörperbild zeichnen und damit die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht bestimmen. Wir benötigen also alles bisher in der Statik besprochene auch zur Berechnung von Schnittgrößen. Anschließend können wir den Schnitt durchführen. Wir haben schon einige Male besprochen, dass jedes Teilsystem eines statischen Systems ebenfalls im statischen Gleichgewicht sein muss. Genau diese Tatsache können wir uns zu Nutze machen und für den jeweiligen Schnitt wieder die Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte- & Momentengleichgewicht) ansetzen. Dazu zeichnen wir ebenfalls wieder ein Freikörperbild für das geschnittene Teilsystem. Die Schnittgrößen sorgen damit dafür, dass dieses Teilsystem im Gleichgewicht bleibt. Mit dieser Vorgehensweise können wir dann also beide Schnitte an C und D ausführen und deren Schnittgrößen berechnen. Die Details gibt es wie gewohnt im verlinkten Video.


Im nächsten Beispiel werden wir dann diskutieren wie wir die oben besprochene Vorgehensweise zur Berechnung eines analytischen Schnittgrößenverlaufs anwenden können. Bei Fragen und Unklarheiten meldet euch bitte jederzeit gerne. Gerade Schnittgrößen zu verstehen ist essentiell für die Technische Mechanik.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Theorie: Schnittgrößen & Schnittufer

Veröffentlicht am von
4

Herzlich Willkommen!

Im heutigen Beitrag wollen wir uns dem Thema Schnittgrößen annähern. Wir diskutieren, dass wir Schnittgrößen brauchen um die inneren Belastungen von Bauteilen zu bestimmen. Außerdem besprechen wir natürlich welche Schnittgrößen es gibt, nämlich Normalkraft, Querkraft und Schnittmoment. Ein zentraler Punkt ist ob es sich bei einem gewählten Schnitt um ein positives oder negatives Schnittufer handelt. Was ein Schnittufer ist und woran sich erkennen lässt ob ein positives oder negatives Schnittufer vorliegt besprechen wir sehr detailliert und wie ich glaube äußerst verständlich. Schließlich sehen wir uns noch an wie für beliebige Streckenlasten die Schnittgrößen durch einfache Integration berechnet werden können und welche Zusammenhänge hier gelten.


Es handelt sich bei den Schnittgrößen um ein äußerst wichtiges und sehr zentrales Thema der technischen Mechanik. Wenn du also das Gefühl hast, hier irgendetwas nicht so ganz verstanden zu haben, dann frag bitte jederzeit gerne nach. Die Basics hier zu verstehen bringt im Verlaufe der Mechanik einen unheimlichen Verständnisvorsprung.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Komplexes Fachwerk: Ritterschnitt, Stabkräfte

Veröffentlicht am von
2

Herzlich Willkommen!

Im letzten Beitrag ging es um ein einfaches Fachwerk und wie wir die besprochenen Nullstabregeln anwenden können. Diesmal wollen wir ein komplexeres Fachwerk besprechen und uns auch den sogenannten Ritterschnitt ansehen.

Für das gegebene Fachwerk sollen die Kräfte in den Stäben BC, HC, HG, DC, CF und CG bestimmt werden. Dazu wird das Fachwerk freigeschnitten und eine Gleichgewichtsbedingung zur Berechnung jeder Kraft verwendet. Zudem soll angegeben werden ob die Stäbe unter Zug oder Druck stehen

Quelle: Aufgabe 6.42/6.43 (S. 345) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 1 Statik, 12. Auflage, 2012 Pearson GmbH, München

Um die geforderten Stabkräfte in diesem komplexen Fachwerk bestimmen zu können müssen wir zu Beginn natürlich die Lagerreaktionen berechnen. Das funktioniert durch die statische Bestimmtheit des Systems mittels Gesamtgleichgewicht. Dann können wir uns einen klugen Schnitt durch das gesamte Fachwerk überlegen, einen sog. Ritterschnitt. In unserem Fall verläuft dieser durch die Stäbe BC, HC und HG. Schließlich überlegen wir uns noch, wie wir möglichst Gleichgewichtsbedingungen aufstellen können, die auch direkt Stabkräfte liefern. Das geht deshalb, weil in einem statischen System auch jedes Teilsystem im statischen Gleichgewicht sein muss. Dazu bietet sich ein Punkt in Verlängerung des Stabes HG an, sodass Momentengleichgewichte verwendet werden können. Dafür benötigen wir auch noch ein wenig Geometrie in Form von Dreiecken. Somit lassen sich die drei Stabkräfte im linken Teil berechnen. Für die Stabkräfte im rechten Teil funktioniert die Vorgehensweise vollkommen analog. Wie immer diskutieren wir die Details im verlinkten Video. Viel Spaß!


Sollte es Fragen geben schreib bitte jederzeit gerne einen Kommentar und melde dich auch bei Wünschen zu Beispielen oder mit Verbesserungsvorschlägen.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Einfaches Fachwerk: Nullstäbe & Rundschnitt

Veröffentlicht am von
1

Herzlich Willkommen!

Wir schauen uns in diesem Beitrag an, wie wir an einem konkreten Beispiel im Fachwerk Nullstäbe bestimmen können. Die Regeln haben wir ja bereits in der Theorie zu Nullstäben diskutiert. Jetzt wollen wir diese Regeln auch in der Praxis anwenden.

Das dargestellte Fachwerk wird durch eine Kraft P belastet. Identifiziere die Nullstäbe. Wie groß sind die Lagerreaktionen und die Kraft im Stab 4?

Quelle: Aufgabe I.5.1 (S. 24.) aus W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3, 7. Auflage, 2012 Springer, Heidelberg

Um die Nullstäbe zu bestimmen, sehen wir uns systematisch die Knoten an und fragen uns ob eine der drei Regeln für Nullstäbe gültig ist. In diesem Beispiel stellen wir fest, dass sich 1, 7 und 9 als Nullstäbe herausstellen. Dann können wir die Lagerreaktionen berechnen und mittels Rundschnitt (freischneiden eines einzelnen Knotens) des linken unteren Knotens die Kraft im Stab 4 bestimmen. Das alles gehen wir Schritt für Schritt im verlinkten Video durch.


Wenn es Fragen gibt schreibt bitte jederzeit gerne einen Kommentar und meldet euch auch bei Wünschen zu Beispielen oder mit Verbesserungsvorschlägen.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Theorie: Nullstäbe im Fachwerk bestimmen

Veröffentlicht am von
2

Herzlich Willkommen!

In dieser kurzen Theorieeinheit geht es um wichtige Details bei Fachwerken. Nämlich um die Fragen, was Nullstäbe sind, wie wir diese bestimmen und wozu das gut sein soll. Es gibt dazu drei einfache Regeln, die wir im Video besprechen werden. Außerdem ist wichtig zu wissen, dass uns Nullstäbe zwar die Berechnung des Fachwerks erleichtern, aber aus dem realen Fachwerk nicht einfach entfernt werden dürfen. Warum das so ist und wie das mit den Nullstabregeln funktioniert könnt ihr euch gerne selbst ansehen.


Wenn Fragen offen bleiben, melde dich bitte jederzeit gerne in den Kommentaren und lass mir dort auch Wünsche und Verbesserungsvorschläge da.

Vielen Dank und bis bald,
Markus

Stoß: Physikalisches Pendel trifft auf Wand

Veröffentlicht am von
Antworten

Herzlich Willkommen!

Im Stoßbeispiel, dass wir uns für heute vornehmen möchten, geht es um ein physikalisches Pendel mit einer Pendelkugel. Diese Pendelkugel wird aus der Ruhe losgelassen und trifft am tiefsten Punkt an eine Wand. Der Stoßvorgang selbst hat dabei eine definierte Stoßziffer ε, ist also weder vollkommen elastisch noch vollkommen plastisch.

Das abgebildete Pendel besteht aus einer Vollkugel mit Radius r und Masse mK und einem schlanken Stab mit Länge l und Masse mS. Ein Ende des Stabes ist in A mit Abstand r zur Wand frei drehbar gelagert. Das Pendel wird in der Winkellage θ=θ1 aus der Ruhe freigegeben. Die Stoßziffer ist ε.

Geg.: mK=50kg,mS=20kg,l=2m,r=0.3m,ε=0.6,θ1=0∘

Bestimme den Winkel θ=θ2, bis zu dem das Pendel zurückschwingt nachdem es an der Wand angestoßen ist.

Quelle: Aufgabe 8.52 (S. 582) aus Russell C. Hibbeler, Technische Mechanik 3 Dynamik, 2012 Pearson Deutschland GmbH

Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.

Stoss-S21Herunterladen

Wir können in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar vor dem Stoß mittels Energieerhaltung sehr einfach berechnen. Für den Stoßvorgang selbst ist dann nur noch die Newton’sche Stoßhypothese – also das Verhältnis aus relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwindigkeit – relevant, sowie eine kinematische Überlegung aus der wir die Geschwindigkeiten am Stoßpunkt selbst erhalten. Damit lässt sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels unmittelbar nach dem Stoß berechnen. Zum Schluss können wir dann wieder Energieerhaltung anwenden und damit bestimmen wie weit das Pendel zurückschwingt. Schritt für Schritt und anschaulich erklärt gibt es das ganze wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!

Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.

Hat euch das Beispiel und die Erklärung dazu gefallen? Dann lasst bitte auch ein Like auf YouTube da und abonniert diesen Blog. Abonniert auch unbedingt den YouTube Kanal um kein Video mehr zu verpassen und empfehlt mich gerne weiter. Vielen herzlichen Dank!

Bis bald mit dem nächsten Beispiel,
Markus