In diesem Beispiel zum Arbeitssatz sehen wir uns ein Beispiel an, das normalerweise oft mit Schwerpunkt- und Drehimpulssatz gerechnet wird. Hier haben wir es aber zusätzlich auch noch mit Reibung zu tun.
Ein über eine Rolle geführtes Seil verbindet zwei Körper mit den Massen m1 und m2 miteinander. Die Masse m1 ist dabei größer als die Masse m2. Es tritt kein Schlupf auf.
Geg.: Θ0, m1, m2, μ
Bestimme die Geschwindigkeit beider Körper in Abhängigkeit vom Ort, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird.
Wir beginnen auch hier wieder mit einem Freikörperbild. Darin vermerken wir nicht nur die Kräfte, sondern auch alle dynamische Größen, d.h. Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten im System. Danach können wir direkt den Arbeitssatz aufstellen. Die Kinematik im System, also die Abrollbedingung, hilft uns, auch die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der translatorischen Geschwindigkeit der Massen auszudrücken. Natürlich müssen wir in diesem Beispiel auch den Reibungseinfluss im Arbeitssatz berücksichtigen, also die Reibkraft zwischen schiefer Ebene und Klotz bestimmen. Die Geschwindigkeit der Massen als Funktion des Ortes lässt sich nach sinnvollem Umformen des Arbeitssatzes dann direkt aus diesem bestimmen. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg im verlinkten Video. Viel Spaß bei der Bearbeitung!
Sollten Fragen auftauchen oder ihr Anmerkungen haben, dann zögert bitte nicht mir hier oder auf YouTube einen Kommentar zu hinterlassen. Ich freue mich immer auf eure Rückmeldungen und beantworte sämtlichen Fragen schnell und gerne.
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Diesmal sehen wir uns einen exzentrischen aber ebenen Stoß zweier quadratischer Scheiben an und überlegen uns, wie ein effizienter Rechenweg für ein solches Problem aussehen kann.
Zwei quadratische Scheiben bewegen sich nicht rotierend und reibungsfrei in der xy-Ebene so aufeinander zu, dass sie genau in den Eckpunkten B1 und B2 zusammenstoßen, wobei die Stoßnormale n=ex sein soll. Die Stoßziffer sei ε. Zusätzlich gegeben sind die eingezeichneten Geschwindigkeiten v1,v2,φ˙1,φ˙2 unmittelbar vor dem Stoß, sowie die Massen der Scheiben m1 und m2.
Ges.: *Die translatorischen Geschwindigkeiten der Scheibenschwerpunkte v′S1, v′S2, sowie die Winkelgeschwindigkeiten φ˙′1, φ˙′2 der Scheiben unmittelbar nach dem Stoß.
Quelle: Aufgabe 2 (S. 320f.) aus S. Kessel, Technische Mechanik Aufgabensammlung mit Musterlösungen, 2000 Universität Dortmund
Die Angabe gibt es wie gewohnt zum Download. Somit könnt ihr das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit der Musterlösung vergleichen.
In diesem Problem bewegen sich beide Scheiben vor dem Stoß rein translatorisch aufeinander zu. Nachdem sie aber im Punkt B – also exzentrisch – Stoßen, werde nach dem Stoßvorgang beide Scheiben eine Winkelgeschwindigkeit aufweisen. Außerdem ist zu berücksichtigen, dass wir die Vorzeichen der Geschwindigkeiten und Stoßantriebe korrekt übernehmen. Ich rate in diesem Fall immer dazu zuerst die Geschwindigkeiten positiv anzusetzen und erst nachträglich das tatsächliche Vorzeichen in die Gleichungen einzusetzen. Dadurch passieren meiner Erfahrung nach wesentlich weniger Vorzeichenfehler. Als grundlegende Gleichungen verwenden wir in diesem Problem die Impuls- und Drehimpulssätze der beiden Scheiben, sowie die Stoßhypothese in Kombination mit ebener Kinematik. Die Kinematik ist notwendig, da wir die Stoßhypothese bekanntlich im Stoßpunkt – also hier in B – ansetzen müssen. Die Geschwindigkeit im Punkt B nach dem Stoß ist allerdings durch die Drehbewegung eine andere als im Schwerpunkt. Hier also bitte um besondere Vorsicht. Ich schlage vor ihr seht euch wie gewohnt das verlinkte Video an. Viel Spaß damit!
Bei Fragen könnt ihr jederzeit gerne entweder hier oder auf YouTube einen Kommentar hinterlassen. Ich werde alle Kommentare wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Hier ist das erste Beispiel zum Arbeits- bzw. Energiesatz. Es lautet folgendermaßen:
Gegeben ist ein schwingungsfähiges System, bestehend aus zwei gleichen Scheiben (Masse m, Massenträgheitsmoment IS um die Drehachse durch den Schwerpunkt, Radius r). Es tritt kein Gleiten zwischen den Scheiben und dem idealen, undehnbaren Seil auf, Lagerungen reibungsfrei. Eine lineare Feder mit Federkonstante k, eine Drehfeder mit Federkonstante cT.
Ges.: *die Bewegungsgleichung des Systems mit Hilfe des Energiesatzes. *die Schwingungsdauer des Systems.
In diesem Beispiel sollten wir uns zuerst Gedanken über die Kinematik machen. Dadurch verknüpfen wir die Bewegungskoordinate x mit den Rotationen der Rollen und damit auch dem Weg der Drehfeder oben. Außerdem hilft uns eine Betrachtung des Momentanpols der unteren Rolle. Danach lassen sich die kinetische und potentielle Energie sehr einfach hinschreiben. Die Idee des Energiesatzes ist es dann, dass die Energie erhalten bleibt und damit deren zeitliche Ableitung verschwinden muss. Aus diesem Zusammenhang lässt sich die Bewegungsgleichung des Systems bestimmen. Diese ist schon in der Normalform, weshalb wir dann auch die Periodendauer einfach ablesen können. Schritt für Schritt erkläre ich den gesamten Rechenweg wieder im verlinkten Video. Viel Spaß dabei!
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Im aktuellen Stoßproblem geht es um eine Stabkette aus zwei Stäben, deren oberer Stab beim Stoßvorgang von einem Anschlag gefangen wird. Dadurch wird seine gesamte Energie vom Anschlag aufgenommen, d.h. dissipiert.
Eine aus zwei gleichen, homogenen Stäben bestehende Stabkette trifft in gestreckter Lage mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einen Anschlag B. Nach dem vollkommen plastischen Stoß bleibt der Stab 1 in Ruhe, was für den Stab 2 eine plötzliche Fixierung der Achse 0 bedeutet.
Geg.: *Abmessungen l, λl *Masse m der homogenen, dünnen Stäbe *Winkelgeschwindigkeit ω unmittelbar vor dem Stoß.
Ges.: *Winkelgeschwindigkeit ω′ des Stabes 2 unmittelbar nach dem Stoß. *Stoßantrieb SA im Lager A *Welchen Wert muss λ haben, damit das Lager A stoßfrei bleibt (SA=0)? *Energieverlust beim Stoß
Quelle: Aufgabe 4.6.5 (S. 49) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien
Die Angabe gibt es wie gewohnt als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.
Wir können dieses Problem auf zwei Arten berechnen. Einerseits können wir die Stabkette als ganzes betrachten und andererseits können wir die beiden Stäbe im Gelenk trennen und als getrennte Systeme ansehen. Ich habe mich hier für die zweitere Variante entschieden, weil ich denke, dass diese einfacher nachvollziehbar ist. Probiert aber natürlich gerne auch die erste Variante aus und überprüft ob die Ergebnisse übereinstimmen. Wichtig ist, dass der obere Stab dann als masselos angenommen werden muss, da ja seine gesamte Rotationsenergie dissipiert wird. In der getrennten Variante stellen wir einfach Impuls- und Drehimpulssätze für die beiden Stäbe auf. Dabei ist zu beachten, dass sich der Drehpunkt während des Stoßvorgangs ändert. Vor dem Stoß liegt der Drehpunkt im Lager A, nach dem Stoß im Punkt 0. Das ist natürlich relevant für die Kinematik im System. Am besten ihr seht euch wie gewohnt das verlinkte Video an um die ausführliche Erklärung zu erhalten. Viel Spaß damit!
Bei Fragen schreibt bitte hier oder auf YouTube einen Kommentar. Ich werde eure Fragen wie immer schnellstmöglich beantworten.
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Wir wollen uns diesmal einen Stoß zweier Quader ansehen. Bevor jedoch der Stoß passiert wird einer der beiden Quader von einer Feder angestoßen und rutscht reibungsbehaftet eine schiefe Ebene hinab. Nach dem Stoßvorgang rutschen beide Quader reibungsbehaftet weiter bis sie zum Stillstand kommen.
Der Quader A mit der Masse mA wird von einer um den Federweg x vorgespannten Feder mit Federkonstante c abgestoßen und rutscht über eine raue schiefe Ebene mit Steigungswinkel α auf eine raue horizontale Bahn mit Reibungskoeffizient μ für beide Flächen. Dort stößt der Quader A auf einen ruhenden Quader B mit der Masse mB, wobei die Stoßzahl ε beträgt.
Ges.: *Geschwindigkeit beider Quader unmittelbar nach dem Stoß. *Entfernung von der Stoßstelle in der die beiden Quader zur Ruhe kommen.
Quelle: Aufgabe D27 (S. 339f.) aus J. Berger, Klausurentrainer Technische Mechanik, 2. Auflage, 2008 Vieweg+Teubner, Wiesbaden
Die Angabe gibt es natürlich auch als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.
Bevor der Stoßvorgang selbst berechnet werden kann, müssen wir uns einerseits der Energieerhaltung (Federvorspannung) und andererseits dem Arbeitssatz (rutschen auf der reibungsbehafteten Fläche) bedienen. Der Stoßvorgang selbst kann entweder mittels innerem Stoßantrieb (Zerlegung des Vorgangs in zwei einzelne Quader) oder für das Gesamtsystem berechnet werden. Wir sehen uns hier beide Möglichkeiten an und vergleichen diese. Nach dem Stoßvorgang nutzen wir abermals den Arbeitssatz um die Strecken zu berechnen, welche die beiden Quader bis zum Stillstand weiterrutschen. Die Details gibt es wie immer im Video.
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Das letzte Beispiel zur Kreiseldynamik ist schon eine ganze Weile her, deshalb wollen wir uns heute wieder einmal ein solches ansehen.
Ein zylindrischer, homogener Stab (kein dünner Stab) ist in einer rotierenden Gabel reibungsfrei drehbar gelagert und über eine Drehfeder mit dieser verbunden.
Geg.: homogener Stab: Länge l, Durchmesser 2r, Masse m lineare Drehfeder: Drehfederkonstante cT, vollkommen entspannt bei ϕ=0 Gabel: Winkelgeschwindigkeit Ω, die durch ein entsprechendes Antriebsmoment MA konstant gehalten wird.
Ges.: *Wie groß darf Ω höchstens sein, damit der Stab für kleine Winkel ϕ eine Schwingung ausführt? *Welchen Wert muss das Antriebsmoment MA(ϕ) bei reibungsfreier Lagerung der Gabel annehmen. Anfangsbedingung: ϕ=0, ϕ˙=ν
Hinweis: Verwenden Sie die Euler’schen Kreiselgleichungen.
Quelle: Aufgabe 4.4.4 (S. 42) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer-Verlag, Wien
Die Angabe zum Download gibt es wie gewohnt ihr hier:
Wie immer ist es wichtig sich anhand einer Skizze, d.h. eines Freikörperbilds bewusst zu machen, welche Kräfte und Momente sowie Geschwindigkeiten und Beschleunigungen im System wirken. Dann können wir hier auch schon die Euler’schen Kreiselgleichungen anschreiben, deren einzelne Terme bestimmen und in die allgemeine Form der Gleichungen einsetzen. Dadurch gelangen wir zu einem Gleichungssystem aus dem wir eine Bewegungsgleichung erhalten. Am Ende müssen wir uns noch darüber Gedanken machen, wann es sich bei dieser Bewegungsgleichung um eine Schwingungsgleichung handelt. All das besprechen wir wieder in voller Schönheit im verlinkten Video.
Sämtliche Fragen beantworte ich wie immer sehr gerne – schreibt sie mir bitte einfach hier oder auf YouTube als Kommentar.
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Unser nächstes Stoßbeispiel behandelt einen inelastischen Stoß zwischen einer Kugel und einem Stab bzw. Balken.
Eine Punktmasse m1 trifft mit der Geschwindigkeit v auf einen in A reibungsfrei drehbar gelagerten Balken auf. Der Stoß sei vollkommen unelastisch.
Geg.: Masse 1: m1, v Stab: s, l, Masse m2, Trägheitsmoment IA bezüglich A.
Ges.: *Winkelgeschwindigkeit ω′ des Stabes unmittelbar nach dem Stoß. *Stoßantrieb im Lager A. *Endausschlagwinkel ϕE, wenn sich die Punktmasse und der Balken nach dem Stoß nicht trennen. *Energieverlust beim Stoß.
Quelle: Aufgabe 4.6.2 (S. 48) aus P. Lugner et al., Technische Mechanik, 1992 Springer, Wien
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Ausnahmsweise beinhaltet hier die Angabeskizze bereits alle relevanten Größen, mit Ausnahme des Stoßantriebs im Lager. Wir können also direkt darauf zurückgreifen und mittels Impuls- und Drehimpulssatz sowie weniger Überlegungen zur Kinematik, sowohl die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß als auch den Stoßantrieb im Lager berechnen. Anschließend lassen sich der Endausschlagswinkel und der Energieverlust beim Stoß durch einfache Energiebilanzen ermitteln. Alle Details besprechen und berechnen wir wie gewohnt im verlinkten YouTube Video.
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Unser nächstes Stoßbeispiel behandelt einen exzentrischen Stoß zwischen einer Platte und einer fest gelagerten Rolle in der Ebene. Wir sollen uns dabei auch Gedanken darüber machen, welche spezielle Exzentrizität notwendig wäre um nach dem Stoßvorgang eine rein translatorische Bewegung für die Platte zu erreichen.
Betrachtet wird ein exzentrischer Stoß zwischen einer Platte und einer fest gelagerten Rolle.
Geg.: Platte: m,Is,b. Sie bewegt sich unmittelbar vor dem Stoß translatorisch mit v unter dem Winkel α gegen die Horizontale.
Rolle: in 0 reibungsfrei gelagert, I0,r. Vor dem Stoß in Ruhe.
Es handelt sich um einen vollkommen unelastischen, rauen Stoß, d.h. unmittelbar nach dem Stoß haben die Kontaktpunkte den gleichen Geschwindigkeitsvektor.
Ges.: *Gleichungen zur Bestimmung des Stoßantriebs in 0. *Wie groß muss e sein, damit sich die Platte unmittelbar nach dem Stoß translatorisch bewegt.
Die Angabe gibt es natürlich auch als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.
Wir starten wie so oft mit einem Freikörperbild in welches wir alle Geschwindigkeiten und Stoßantriebe einzeichnen. Dabei bietet es sich hier an, die beiden Stoßpartner getrennt frei zu machen. Mittels der Freikörperbilder lassen sich Impuls- und Drehimpulsbilanzen anschreiben. Zusätzlich ist es nötig auch die Kinematik sowie die Bedingung des rauen Stoßvorgangs zu berücksichtigen, um genügend Gleichungen zur Verfügung zu haben. Den Spezialfall reiner Translation für die Platte leiten wir dann mit Hilfe der Kenntnis der Winkelgeschwindigkeit für die Platte ab. Alle Details besprechen und berechnen wir im verlinkten YouTube Video.
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Diesmal sehen wir uns ein etwas sportlicheres Beispiel an, nämlich den Stangenschuss beim Fußball. Wir möchten uns überlegen welcher Effet dem Ball mitgegeben werden muss um ihn von der Stange ins Tor zu bekommen.
Ein Fußball mit Masse m und Trägheitsmoment θs trifft mit der Geschwindigkeit v0 horizontal gegen den rauen Pfosten des Tores. Der Aufprall erfolgt dabei zentrisch unter dem Winkel α zur Torlinie. Die Stoßziffer beträgt ε.
Wie groß muss der Effet, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ω0 des Balls sein, damit er nach dem Aufprall über die Torlinie geht, wenn während des Stoßes Haftung eintritt?
Quelle: Aufgabe 6.10 (S. 143) aus D. Gross, W. Ehlers, P. Wriggers, Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3, 8. Auflage, 2007 Springer, Berlin
Die Angabe gibt es wie üblich als Download inkl. Endergebnissen. Ihr könnt damit das Beispiel zuerst selbst rechnen und dann mit meiner Musterlösung vergleichen.
Wir starten dieses Beispiel auch diesmal mit einem Freikörperbild in welches wir alle Geschwindigkeiten und Stoßantriebe einzeichnen. Daraus lassen sich Impuls- und Drehimpulssatz für den Ball ableiten. Zusätzlich benötigen wir die Stoßhypothese und einige Überlegungen zur Kinematik während des Stoßvorganges. Aus dem damit erstellten Gleichungssystem lässt sich dann mit wenigen Zusatzüberlegungen zur Geometrie, der benötigte Effet beim Schuss berechnen. Alle Schritte im Detail besprechen und berechnen wir wieder im verlinkten YouTube Video.
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In diesem vorerst letzten Beispiel zur Vektorrechnung sehen wir uns noch an wie Vektoren integriert werden können.
Einleitung Wir sehen uns zum Abschluss unserer kurzen Einführung in die Vektorrechnung noch an, wie wir einen Vektor integrieren können. Auch das werden wir in Zukunft brauchen.
Beispielerklärung Wir haben hier eine Aufgabe, einen Vektor zu integrieren, und zwar ein konkretes Integral K zu bilden. Aus dem Vektor A als Funktion einer Variable s eines Pfades, beispielsweise entlang dieses Pfades s. In diesem Fall haben wir sogar ein bestimmtes Integral. Bestimmtes Integral, als Erinnerung, heißt: Wir haben Grenzen gegeben, also einen Punkt, von dem wir starten, und einen Punkt, zu dem wir hinwollen.
Berechnung des Integrals Wie berechnen wir nun dieses Integral? Ja, genau wie bei einer anderen Funktion, die kein Vektor ist. Indem wir einfach das Polynom integrieren. Das wollen wir also konkret durchführen. Das Integral ist dann K und soll von s ist 2 bis 4 laufen. Und wir brauchen einfach nur alle Komponenten unseres Vektors A hier oben in das Integral reinschreiben und dann entsprechend die x y z Komponente getrennt integrieren. Die Einheitsvektoren bleiben dabei. Und damit haben wir es nach wie vor natürlich mit einem Vektor zu tun. Wir haben also oben abgeschrieben. 9 s Quadrat minus eins in x Richtung plus 4 s minus 6 in y Richtung und 10 s der Dritten minus 4 s in z Richtung. Das Ganze integriert über s, also ds. Schauen wir uns an, wie wir über s integrieren. Ich mache wieder eine große eckige Klammer und wir haben hier neun s Quadrat 9 s Quadrat wird 9 ist da drin ein Drittel. Eins wird s also minus s. x Richtung bleibt die x Richtung. Plus auch hier 4 s Quadrat halbe minus 6 s in y Richtung. Standardmäßige Polynomintegration. Und die z Richtung: 10 s der Vierten Viertel minus 4 s Quadrat halbe in z Richtung. Und das Ganze zwischen den Grenzen 2 und 4. Dann lässt sich entsprechend natürlich kürzen. Ich kürze hier gleich direkt in der Rechnung. Wir haben hier drei gekürzt und hier zwei gekürzt. Und hier 4 gekürzt mit 2 und 5 und hier noch einmal die 2 gekürzt mit 2. Also alles entsprechend durchkürzen. Und dann können wir unsere Grenzen einsetzen. Wir wissen obere Grenze minus untere Grenze, also 4 eingesetzt, entsprechend hier in den ganzen Termen. Abgezogen, davon die 2 für jeden Term separat und ich führe das einfach durch und stecke das Ganze in eine runde Klammer, sodass wir die Richtungen beibehalten. Wir haben hier also 3 mal die obere Grenze 4 zur Dritten, minus s minus obere Grenze. Und dann das ganze Minus, nämlich minus 3 mal untere Grenze 2 zur Dritten und das Minus vom Minus wird hier zum Plus mit dem Gesamtminus, also plus 2 in x Richtung. Analog für die anderen bitte einfach mit nachvollziehen. Das lautet dann hier zweimal 4 Quadrat minus 6 mal 4 ist die obere Grenze. Abzüglich der unteren Grenze ist 2 mal 2 Quadrat plus mit dem Minus von oben 6 mal 2 ist die y Richtung. Und dann noch die z Richtung, nämlich 5 mal 4 obere Grenze zur vierten halbe minus 2 mal 4 Quadrat. Und dann die untere Grenze minus 5 mal 2 zur vierten halbe plus 2 mal 2 Quadrat. Wieder mit dem Minus von oben. z Komponente. Und dann einfach nur noch alles zusammengefasst und wir landen bei einem Vektor K aus der Integration von 166 in x Richtung plus 12 in y Richtung und plus 576 in z Richtung.
Zusammenfassung Das ist unser gesuchtes Ergebnis und wir sehen, die Integration des Vektors ist genau analog durchzuführen zur Integration von Polynomfunktionen bzw. von allgemeinen Funktionen. Je nachdem, was im Vektor drinnen steht. Auch das werden wir konkret später noch brauchen. Und wir haben hier jetzt damit diese Einführung in die Vektorrechnung Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Ableitung, Integration und auch die Ortsvektoren abgeschlossen und können uns damit den ersten Themen der eigentlichen technischen Mechanik zuwenden. Das werden wir im nächsten Video tun. Wenn es zu diesem Video oder allgemein zu irgendeinem Thema bzw. konkret zur Vektorrechnung Fragen gibt. Wenn ihr gerne Beispiele hättet, die ich durchbesprechen soll, dann schreibt mir das bitte einfach in den Kommentaren oder per E-Mail und ich werde das alles versuchen zu berücksichtigen. Wir sehen uns dann beim nächsten Mal.
